Chương 8 SỰ TRUYỀN ÂM PHẢN DẪN SÓNG n âm phản dẫn sóng diễn ra khi một tia rời khỏi nguồn không bao giờ trở lại độ sâu của nguồn.. Ở đây chúng ta sẽ xét kiểu truyền âm này đối với hai
Trang 1trường phân tầng phương ngang n=n ( z) chúng ta có V =1 tại mọi
Nếu chỉ số khúc xạ có dạng
vế phải của (7.4.24) tỉ lệ với
t
) , ( ) ( ) ,
0
µ Đối với những điều kiện đại dương điển hình, µ là một đại lượng nhỏ (~10−2) và do đó, hàm V rất gần với đơn
vị
cận một chuỗi lũy thừa của ho các số hạng cùng
bậc bằng nhau, ta nhận được một hệ truy ệ số
của chuỗi khai triển của ốn hệ số đầu tiên (bỏ qua các đối số
của chúng) [7.14] là:
3
3 (7.4.25)
ủa chỉ số khúc xạ xuất hiện trong số hạng thứ ba
Chương 8
SỰ TRUYỀN ÂM PHẢN DẪN SÓNG
n âm phản dẫn sóng diễn ra khi một tia rời khỏi nguồn không bao giờ trở lại độ sâu của nguồn Một ví
dụ về truyền phản dẫn sóng được cho trên hình 1.8 Ở đây chúng ta sẽ xét kiểu truyền âm này đối với hai trường hợp khác nhau, tức tùy thuộc građien tốc độ ại một trục phản dẫn sóng không bằng không (mục 8.1) hay bằng không (mục 8.2, 3)
8.1 KÊNH PHẢN DẪN SÓNG TUYẾN TÍNH LÂN CẬN BỀ MẶT NƯỚC
Giả sử rằng trong nửa không gian ới hạn bởi mặt nước tự
do tại phương của chỉ số khúc xạ được cho bằng luật tuyến tính
(8.1.1) Tại ần tương ứng với luật tuyến tính đối với tốc độ âm (mục 6.6) Phương trình (6.5.4) với ản ước thành (6.6.12) nếu chúng ta đặt
trong đó
(8.1.2) Trường âm tại một điểm bất kỳ lại một lần nữa được mô tả bằng (6.6.6) với những hàm riêng được chọn đúng dắn
) , ( ), , , (t r z F t z
V và n2( t z, ) ở
r
hồi cho các h V(m)(r,z) )
, , (t r z
2 2
1
V( ) = , ) =− / , ( ) = / ,
r n k r
V( ) =− − + 0∂ 2/∂
Ta thấy rằng sự hiệu chỉnh liên quan tới sự biến thiên c
Ngược lại với truyền dẫn sóng, sự truyề
dz
dc / t
0
>
z gi 0
=
z , bình
az z
n2( )= 1+
) ( ) (z k n z
k = 0 gi
H z t
t= 0 − / ,
3 1 2 0
2 0 2 2
0 = H ( −k ), H =(ak )− /
)
( z l
Đối với các điều kiện phản dẫn sóng, những hàm này tại
265 266
∞
→
z
phải biểu diễn các sóng đi ra Điều kiện này được thỏa mãn bởi hàm Airy
Trang 2(t
Z (mục 6.6), biểu diễn tiệm cận của hàm này khi z→∞ theo (6.6.14,
16) sẽ là
4 1
3
2 4
/ /
, ) / ( i exp )
(
~
)
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
= +
H
z v
v t
t
do)
kiện biên đòi hỏi rằng hàm này bằng không tạ z=0 (m
0
0 =
=
z t
Z )( hay Z (t0)=0, (8.1.4) điều này cho phương trình đối với các giá trị riêng ξl
Nếu chú ý tới các kết quả thu được ở mục 6.6, nghiệm của (8.1.4) có
thể được viết như sau
) / i
0
t ≡ = (8.1.5)
Nếu sử dụng quan hệ giữa t và 0 ξ (8.1.2), ta được
) / i ( exp ) /
2 0
ξl = k + y l H (8.1.6) Vậy tất cả ξl là
s
số phức và do đó, tất cả các sóng 23 suy giảm Sự suy yếu tăng lên theo ố hiệu thức
Nếu ta chú ý rằng
l
t
H t
H
∂
=
∂
∂
∂
∂
−
=
∂
ξ
áp suất âm tại điểm (r,z) có thể được viết nếu sử dụng (6.6.6) như sau
∑ ⎢⎣⎡∂ ⎥⎦⎤−
∂
−
=
l
l t
l
t
Z t Z t Z H z r
p
l
) ( )
( ) ( i
) ,
0
2 1
0
, (8.1.7)
H z t t H z t t y
t0l = l exp(iπ/3), l = 0l − / , 1l = 0l − 1/ Như mọi khi, nguồn âm được giả thiết nằm tại điểm
Chúng ta cần xem xét diễn biến tiệm cận của (8.1.7) đối với
) , (0 z
1
1 z>>H l >>
z , , ξ Trong trường hợp này , và các mô đun
Hankel và của hàm 3), ta có
4
l
t và t1l âm
a chúng lớn Do đó, nếu sử dụng các biểu diễn tiệm cận củ
)
(t
Z (8.1
4 1 1 2 1 2
1 1
0
) ( ) ( ) ( ) ( ) (t l Z t l H l r = l r − t l t l −
[( exp 1 ξl r+π/ )], (8.1.8) trong đó
(8.1.9) Bây giờ hàm mũ trong (8.1.8) sẽ là
+ +
l l
v 2 3 3/2 1 0 3/2 2 3 3/2 1/2 0
) / ( ) / )(
/ ( ) / (
) / )(
/
l
v1 2 3 1 3/2 1 1/2 0
) / ( ) / )(
/
1 2 0 0 0 2 1 2 0
2
=(k t l/H )/ k t l( k H )
l
1 2 3 0
) / ( ) / ( /
r k r v
) ( )
l k H r r
0
0 2 , (8.1.10) trong đó
a
z z
r m 2( + 1)
= (8.1.11) Trên hình 8.1 OAAA’ là tia giới hạn tiếp tuyến với bề mặt nước
Ở bên trái của đường AA’ có một vùng có âm do các tia trực tiếp và các tia phản xạ từ bề mặt nước (các tia OE và OCC’) Ở bên phải của AA’ có một vùng tối hình học, nơi đây không có các tia trực tiếp và các tia phản
xạ từ bề mặt đạt tới, và áp suất âm trong phép xấp xỉ hình học bằng không
) (z=0
267 268
ở đây
23 Vì những nguyên nhân sẽ rõ trong mục 8.2, những sóng này được gọi là các
tựa thức
Trang 3Hình 8.1 Sự hình thành một vùng tối hình học và các tia khúc xạ
Dễ dàng chứng minh rằng ảng cách phương ngang do tia
giới hạn OAA’ đi qua đối v
m
r là kho
ới các z và z1 (hình 8.1) Thật vậy,
ngang của OA và AA’ ể tìm từ (2.4.1) nếu ta chú ý rằng đối
ậy, (2.4.1) phải được đặt s
A
OA + ′
r m , rOA và r A′ là nh
OA
r có th
<<
) / (
)
(z c0 1 az 2
2 0
,
r
=
OA
ận được
χ
sin
)
/
( a Bây giờ, nếu nhớ rằng χ1 bé và sử dụng công thức
ợp đang xét công thức này cho
1)/
(az , ta
bằng cách thay thế ằng
2 1 1
OA (z /a)
1
z b z, và ta được biểu thức (8.1.11) cho Bây giờ, nếu sử dụng giá trị của
m
r
H từ (8.1.2), ta viết biểu diễn tiệm cận của (8.1.7) dưới dạng
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
+ +
×expi k0r
[( / )(i ) ( ) ( )]
exp y l − × k a / r−r m
0
3
Có thể thấy rằng, bắt đầu tại biên của vùng tối hình học mỗi sóng suy yếu theo khoảng cách tuân theo luật exp[−βl(r−r m)], trong đó
) /(
) )(
/ ( 3 4 k0a2 1/3y l 31/2 2 2y l H2k0
Đối với ỉ có sóng thứ nhất trong (8.1.12) có thể được
H r
r− m)>>
g này y l =2,2338 r−r m ≤H, tức trong vùng
chuyển tiếp có bề rộng H trên m
ưu ý r
ề rộ
ặt cắt AA’ của tia giới hạn, phải tính tới nhiều sóng Cũng cần l ằng biểu diễn tiệm cận (8.1.12) sẽ không đúng trong lớp có một b ng cỡ H kề cận mặt nước
Trường âm trong vùng tối hình học có thể được mô tả dựa trên các biểu diễn tia nếu chúng ta đưa ra khái niệm về các tia khúc xạ theo gương Keller và nnk (ví dụ, xem [8.1]) và Brekhovskikh [8.2, mục 54] Để nhận được các tia khúc xạ người ta phải hình dung rằng tia giới hạn OAA’ trên hình 8.1 bị tách tại điểm A thành các tia AA’ và AB, tia AB đi dọc theo biên và tại mỗi điểm tạo nên các tia khúc xạ (một trong số chúng, tia BB’ được biểu diễn trên hình vẽ) lan truyền trong môi trường tuân theo các quy luật tia bình thường Trong giới hạn độ của các tia khúc xạ trở thành bằng không
8.2 SỰ PHẢN DẪN SÓNG ĐỐI XỨNG: CÁC TỰA THỨC 24
Những đặc điểm chính của trường hợp đã xét ở mục trước là: građien của chỉ số khúc xạ có một giá trị hữu hạn tại trục kênh phản dẫn sóng (trùng với bề mặt nước Đặc điểm của sự truyền sẽ rất khác khi građien đó bằng không (hình 8.2a) Cụ thể, tia giới hạn và vùng tối
∞
→
0
0
=
z )
≈
l t t l
Z z
z a k
zz k
a r z
r p
2 2
3 1 2 3 2 1 0
4 1 1 6 1 0 2 1
0 4
3 2
2
/ ) (
) / (
) ( ) / ( ) / ( ) , (
/ / /
/ /
/
π
π
269 270
24 Các tác giả cảm ơn A.G Voronovich đã giúp phát triển mục này và mục tiếp theo
Trang 4vắng mặt trong trường hợp này (hình 8.2b) Tia với góc mở bằng không
tại trục tiếp cận trục này một cách tiệm cận (tại ư chúng ta có
thể thấy, ví dụ từ (2.3.2) nếu người ta cho r→∞), nh
) ( cosχ1 =n 0 ở đó và khai triển 2( ) 2(0) một chuỗi của
n
z
trườ
2
z ) Tron
ng hợp này ta được z→0 và r→∞ là lnz
Ta xét trường hợp khi số sóng bình phương được mô tả bằng một
hàm đối xứng so với mặt phẳng
0
0)= ( '
0
=
z
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
bz
A k
z
k2 12 1 2
ch )
( (8.2.1) Khi z→±∞, ta có k(z)→k1 Đại lượng hịch đảo với bề rộng của
kênh phản dẫn sóng
Chúng ta sẽ bắt đầu từ công thức chung (6.5.10) đối với áp suất âm
của một nguồn điểm Các hàm
b ng
) (
~ z p1 và ~ z p2( ) khi z→±∞ phải tương ứng với các sóng đi ra tại vô cùng Nếu ký hiệu
b
k12 2)1/2
µ = − (8.2.2)
ta có
),
i ( exp )
(
~
, ),
i ( exp )
(
~
+∞
→
→
−∞
→
−
→
z bz z
p
z bz z
p
µ
µ
2
Giá trị căn trong (8.2.2) được chọn sao cho
{ }µ ≥0
Im (8.2.4) Điều này đảm bảo những giá trị hữu hạn của ~ và p1 ~ khi p2 z→±∞ Các
(8.2.5) thì phương trình này có thể được viết thành
) (
~ z p1 và ~ z p2( ) phải thỏa m
2 2
1 b Ak
M = /
0
2 2
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
bz
M b
cosh
"
~ µ (8.2.6) Điều này có thể chứng minh bằng cách thế trực tiếp, nên nghiệm của (8.2.6) là
,
th ),
; i , , F(
) i exp(
) (
~
2
1 1
1
bz s
s bz
z
trong đó F(a,b,c;ζ) là hàm hype hình học thỏa mãn phương trình [8.3]
0 1
1
1
2
2
=
−
−
−
− + +
) (
F )
(
) (
F
ζ ζ ζ ζ
ζ
ζ ς
ab d
d c b a d
Hàm F được biểu diễn bằng một chuỗi
) (
) )(
( )
; , ,
+
⋅
⋅
+ + +
⋅
⋅ +
1 2
1
1 1 1
ζ
c c
b a a c
b a c
b a
Tham số s trong (8.2.7) là một nghiệm bất kỳ của phương trình
ẽ lấy 0
s
271 272
Trang 52 1
4
1 2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
2 1 2
4 1 4
) / ( i ) /
( ,
ứ nhất của (8.2.3) là hiển nhiên b
1 0
−
thbz ζ khi z→−∞ Với tư cách nghiệm độc lập
thứ hai, ta lấy
)
; i , , F(
) i exp(
) (
~ ) (
~
2 1
2 z = p −z = µbz 1+s −s 1− µ ζ
2
1
2
bz
th
−
=
ζ (8.2.10) Biểu thức sau cùng thỏa mãn điều kiện thứ hai trong (8.2.3) Như ta thấy
từ công thức (6.5.10), cần phải biết toán tử Wronski phụ
thuộc vào
w Vì nó không
z, ta tính nó đối với z→−∞, lấy (8.2.3) cho Để tìm
ử dụng các công thức đã biết đối với các hàm hype hình học
1
p
~ )
(
~ −∞p2 , ta s
(Γ( x) là hàm gamma)
)
; ,
, F(
) ( ) (
) (
) ( )
; ,
,
− Γ
− Γ
−
− Γ Γ
b c a c
b a c c c
b
a
) ( ) (
) (
) ( )
(
b a
c b a c b a c c
Γ Γ
− + Γ Γ
− +ζ1 − 1 ζ − −
)
; ,
,
× 1 a1 b c a b 1 1 (8.2.11) Khi z→−∞ ta có ζ2 →1 và từ (8.2.11), nếu sử dụng (8.2.9) và công
thức
x x
x
π
π
sin ) (
)
Γ 1 [8.3], ta tìm được khi z→−∞
) i exp(
sin
sin i ) i exp(
) i ( ) i (
) i ( ) i (
s s
πµπ
µ µ
−
Γ
− Γ
− Γ
→
1
1
2
(8.2.12) Bây giờ, nếu chú ý tới quan hệ Γ 1( −iµ)=−iµΓ(−iµ), ta nhận được cho
toán tử Wronski
) i ( ) i (
) i (
~
~
~
~
s s
b p
p p p w
+
− Γ
−
− Γ
− Γ
=
′
−
′
=
µ µ
µ
1
1
1 2 2
Nhân tiện, hãy lưu ý rằng nếu xem số hạng thứ nhất trong (8.2.12) như một sóng phẳng tới lớp xác định bởi (8.2.1), số hạng thứ hai như một sóng phẳng phản xạ từ lớp đó và được cho bằng (8.2.3) như một sóng
2
ền qua lớp, ta có thể nhận được
p
~
V
và hệ số truyền qua W đối với lớp
w
b W
w
s b
πµ
π
, sh
Nếu sử dụng giá trị của ừ (8.2.13), từ (6.5.10) ta thu được cho áp suất âm
w t
ξ ξ ξ µ
ξ ξ µ
b z r
) i (
) , (
~ ) (
~ ) i
( ) i ( ) ( ) ,
1 1
2 − ∫−∞∞
− Γ + +
− Γ
−
− Γ
=
(8.2.15) Chúng ta tính tích phân bằng cách làm biến dạng quãng đường lấy tích phân nguyên gốc thành một nửa đường tròn vô hạn trong nửa mặt phẳng phía trên mà trên đó tích phân bằng không (điều này có thể dễ dàng chứng minh) Biểu thức dưới dấu tích phân là một hàm trị số kép của ξ
do giá trị căn đường tích phân trong (8.2.15)
đi qua khiên “cao”, n 4) được thỏa mãn Để phân biệt các khiên “cao” (
b
( 12 ξ2 1/2
ơi điều kiện (8.2
0
>
} Im{µ ) và “dưới” (Im{µ}<0), chúng ta tạo ra những lát cắt từ các điểm ξ =±k1 dọc theo các đường Im{µ}=0 Nếu giả thiết rằng lát cắt được biểu diễn bởi các đường gợn
1
k có một phần ảo bé, các
1
C và '
1
C trên hình
273 274
Trang 6Hình 8.3 Các lát cắt trong
1
k
đi ra từ các điểm
Bây giờ ta khảo sát những điểm kỳ dị của biểu thức dưới dấu tích
phân trong (8.2.15) Vì các hàm
±
=
ξ
) i ( /
; i , , F(
) i exp(
) i
(
) (
~
µ ζ
µ µ
−
Γ
z
p
và ~p2(z /Γ 1( −iµ)
không có các điểm kỳ dị trong mặt phẳng ξ,25 các điểm kỳ dị duy nhất
có thể là các cực được xác định bằng những phương trình
, , ,
i ,
i − =− − +1+ =− =012
trong đó một hàm Γ nào đó ở tử số trong biểu thức dưới dấu tích phân
(8.2.15) là vô cùng Nghiệm của phương trình thứ nhất là
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
−
=
2 1
4
1 2
i ) (
µ
Với 4M<1/ khi µ là ảo thuần túy, cũng như với 4M>1/ khi
25 Nếu sử dụng một chuỗi (8.2.8’), có thể dễ dàng chứng minh rằng hàm
) (
/
;
,
,
F(a b c ζ Γ c là hàm giải tích ở mọi nơi theo tham số c
2 1 2
4
) / ( i ) /
( −M = M− , ta có Im{ }µl <0, t
y có thể ch
ức các cực nằm trên khiên thấp Theo cách tương tự điều nà ứng minh đối với họ cực thứ hai, đối với chúng
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
−
= + +
−
=
2 1
1 2
1 1
/
i ) (
µ
Như vậy, biểu thức dưới dấu tích phân trong (8.2.15) không có các cực ở trong khiên cao Do đó, nghiệm của bài toán của chúng ta chỉ có một phổ liên tục (tích phân đường rẽ nhánh) và không bao gồm các thức chuẩn Tuy nhiên, để tính tích phân đường rẽ nhánh, hợp lý hơn cả là dịch chuyển quãng đường lấy tích phân từ lát cắt n lát cắt ), bởi vì, như chúng ta sẽ thấy dưới đây, tích phân trên các rìa của lát cắt sau dễ tính bằng phương pháp giảm nhanh Trong trường h y quãng đường lấy tích phân đi từ rìa phải của ơi một mũi tên chỉ hướng đường đi lên) qua một khiên cao đến ết Ngược lại, quãng đường lấy tích phân từ rìa trái c đi trong quá trình biến dạng
1
C đế C2 (hình 8.3
ợp nà
1
C (n
2
C không có các v
ủa C1
2
C trên khiên th Im{µ}<0) và chúng ta ph
ực nằm ở
ải thêm vào nghiệm những phần dư tại các c khiên thấp giữa
Điều này cho phép chúng ta tách một số sóng trong nghiệm tương tự như các thức chuẩn, được gọi là các tựa thức hay các thức khuếch tán (hay các thức không chuẩn, thức không quy tắc)
Tiếp tục phân tích các cực, có thể dễ thấy rằng với 4
1
C và C2
1/
<
có các cực nằm giữa C1 và C2 Thật vậy, trong trường hợp này µl trong (8.2.17) đơn thuần ảo; do đó
Với 4
2 2 2 1 2
b
1
k
> 1/
>
M (8.2.17) được viết thành
/
)
Ta s
2 1
4 1 2
(
−
µ
ẽ chứng minh rằng trong trường hợp này một số hữu hạn các cực có
275 276
Trang 7thể nằm giữa C1 và C2 Với mục đích đó, ta xét hình 8.4a trong mặt
phẳng ξ Hình này biểu diễn các đại lượng 2
) (
b µ
µ (cả hai trong lũy
1 2
)
( b
ξ = − và ξ như các vectơ (chỉ số l bị bỏ đi)
Trong trường hợp này Re{ξ}<k1 và do đó, ằm g ữa
điều đó đúng nếu điều kiện
một cực n i C1 và
2
C Tuy nhiên,
{ }µ Im{ }µ
Trường hợp ngược lại (
) / ( ) / (M−1 4 1/2 > l+1 2 (8 được thực hiện
o
45
>
} arg{µ ) được biểu diễn trên hình 8.4b Ở đây 2 2 ở trong lũy thừa ba, nó dẫn tới bất đẳng thức
b
µ
{ }ξ >k1
Re và một cực nằm ở phía phải của đó chúng ta không
quan tâm
2
C và do
Theo cách này, có thể chứng minh rằng tất cả các cực của họ
(8.2.18) nằm ở phía phải của ết quả là, chúng ta thấy rằng các tựa
thức sẽ được cho bởi những phần dư tại các cực (8.2.19) ngoại trừ rằng
(8.2.20) được thực hiện Biểu thức sau cùng xác định số lượng cực đại
các tựa thức
(8.2.21) trong đó cặp dấu ngoặc ỉ số nguyên bé nhất lân cận Vậy, rõ ràng rằng những điều kiện sau là cần thiết để tồn tại một tựa thức (
2
C K
m l
{( −1/4)1/2 −1/2}
= M
{ } ch
2 1/
>
M hay 2 2 1
2
1 >
b
Ak
, (8.2.22)
có nghĩa là A không thể quá bé và bề rộng của kênh phản dẫn sóng
thể là rất bé so với bước sóng
Nếu tính toán các phần dư tại các cực bằng cách sử dụng liên tiếp quan hệ cơ bản đối với các hàm
b
/ 1 không
Γ
), ( ) / ( )
người ta có thể thu được
0 1
1 1
1
1
→
−
=
− +
−
−
+ Γ
≈
−
x l x x l
x l x
x l
x
l
,
!
) ( ) ) (
)(
(
) ( )
Áp dụng kết quả này cho Γ(−iµ −s)=Γ[− (µ−µl)−l] trong (8.2.15)
ở lân cận của cực µl và đặt x=− (µ −µl), ta nhận được ở lân cận này
l
l
l
s
µ µ
µ
−
−
≈
−
−
!
) ( i ) i ( (8.2.23)
Bên ngoài lân cận đó người ta có thể đặt µ =µl = (s−l) tron
hân theo một bi
g (8.2.15) Khi ước lượng các phần dư, chúng ta tích p ến µ
các ký hiệu
µ ξ µ µ
µ ξ
d =( l/ l) =− 2( l / l) Sau
) ( ) (
) (
l s l
A l
− Γ +
− Γ
+
− Γ
≡
1
1 2
1
, (8.2.24)
277 278
Trang 80
⎠
⎞
⎜
⎝
−
=
≡
2
1 1
1
1
bz l
s s s bz
l s z
p
l
th
; ,
, F ) ( exp ) , (
~
)
) ( ) , (
~ ) , (
l l
l = ξ − =ψ −
chúng ta thu được từ (8.2.15) đối với trường được xác định bởi một tổng
các phần dư
.2.26)
=
l
l l
l l l
r z
z A b
z r
p( , ) iπ ( ) ψ ( )ψ ( )H1)(ξ )
0 1
Sử dụng (8.2.11) với ζ =ζ1 cho bởi (8.2.7), có thể chứng minh rằng
)
( z
l
ψ là một hàm chẵn theo z đối với l chẵn và là một hàm lẻ đối với
ẻ Khi đó (8.2.16) đố ự ức có thể viết thành
(8.2.27) Biểu thức này đối xứng theo
∑
=
l
l l
l
A b z r
p( , ) iπ ψ ( )ψ ( )H1)(ξ )
0
z và z1 và do đó, đúng đối với ũng như ạng của biểu thức này hoàn toàn tương tự với (6.4.11) đối
với tổng của các thức chuẩn trong kênh dẫn sóng Nhưng mỗi tựa thức
trong (8.2.27) là một thành tạo khá đặc biệt Vậy theo (8.2.3) ta có
1
z
z< c
1
z
z> D
) i exp(
) (
z→−∞ ψl → − µl
nhưng, như chúng ta đã thấy, Im{ }µl <0 và do đó, ψl tăng theo hàm
mũ khi z→−∞ Có thể dễ dàng chứng minh rằng ψl diễn biến theo
cùng cách khi z→+∞ Vậy năng lượng chứa trong mỗi thức là vô hạn
Thay vì vậy, các hàm đó thường tỏ ra tiện dụng [8.4-6]
Các tựa thức luôn sinh ra nếu sự thấm năng lượng từ một kênh xảy
ra Chẳng hạn, các sóng đã xét ở mục 8.1 là những tựa thức
Nếu chúng ta sử dụng biểu diễn tiệm cận của hàm Hankel trong
(8.2.26), ta sẽ thấy rằng biên độ của mỗi tựa thức giảm theo khoảng cách
quy luật
r tuân theo exp(−rIm{ }ξl ) Nếu chú ý rằng
ta nhận được đối với ử dụng giá trị của
2 2 2 1 2
b
l bé (l<<M1/ 2), s µl từ (8.2.19)
(8.2.28)
Hệ số suy giảm không phụ thuộc vào tần số và tăng lên khi ăng Trong [8.2, mục 55] đã chứng minh đối với ý rằng khi trục kênh phản dẫn sóng trùng với bề mặt nước, trong p ấp xỉ WKB hệ số
đánh số hiệu của
đây quy tỷ lệ theo trục kênh phản dẫn đã giả thiết rằng
ễ dàng chứng minh rằng biểu thức sau cùng trùng với
i với đối với ang xét ở đây
Đối với những tần số đủ cao, trường trong kênh phản dẫn có thể được tính toán bằng phương pháp tia Các hình 8.5 và 8.6 biểu diễn những biểu đồ tia trong tọa độ đối với trường hợp
ể chứng minh một cách dễ dàng nhất đối với trường hợp ằng trường nhận được như là một tổng của các tựa thức hoàn toà g hợp với trường theo phép xấp xỉ tia trong miền mà phép x ụng được Tích phân đường rẽ nhánh trên ể bỏ qua Ngoài ra, tổng của các tựa thức sẽ mô tả trường trong m
ột cách tổng quát hơn so với trường hợp được xét ở đây Do đó, trong trường hợp truyền âm trong một
ựa thức sẽ tươn
Imξl = A 1− A 1/2 l+1 2
l t
)
( z
n tùy hép x suy giảm đối với tựa thức thấp nhất (l=1 theo cách
2 1
0 2
)]
( )[
/ ( n′′ n(z)= c(0 /c(z)
0
=
z , và 0
0 =
′ )(
(8.2.28) đố l=1 và n ( z) đ
br và bz
2
1 = bz =
z , và A=0,04 Có th
0
1 =
= z
n trùn
ấp xỉ tia áp d
1
ột số trường hợp khi lý thuyết tia không áp dụng được, ví dụ tại các điểm tụ tia Kết quả này tỏ ra đúng m
C có th
lớp chất lỏng nằm bên trên một nửa không gian lỏng, thì các t
279 28
g ứng với các tia có phản xạ một phần tại mặt phân cách với nửa không gian [8.7]
26 Khi xác định a [8.2, phương trình (55.17)] đã mắc lỗi số thay vì 1/2 đã viết
số 1
Trang 9Hình 8.5 Sơ đồ tia đối với
Để tổng kết mục này, chúng ta lưu ý rằng các biểu thức (8.2.25, 26)
đối với các tựa thức còn có thể sử dụng khi bề mặt rắn lý tưởng hay bề
mặt tự do nằm ở g trường hợp thứ nhất, trường sẽ là một tổng
của (8.2.26) và tr ủa một nguồn ảo nằm đối xứng ở phía khác của
mặt phẳng ết quả là trường sẽ được cho bằng một tổng kép của
tổ
04 0 0
1 = , A = ,
z
0
=
z Tron ường c 0
=
z K
ựa thức chẵn (8.2.26) Trong trường hợp th
ng kép của các tựa thức không chẵn
Hình 8.6 Như hình 8.5 đối với
8.3 SỰ PHẢN DẪN SÓNG ĐỐI XỨNG: SÓNG RÌA
uả tích phân trong (8.2.15) dọc theo đường rẽ nh
ọi là sóng rìa Để tránh những phức tạp toán học chúng ta xét sóng rìa đối với một trường hợp khi nguồn và máy thu nằm trên trục kênh
2
1 =
bz
Kết q 8.2) được g
ánh C2 (hình
) (z = z1 =0 và gi M>> Những giản ước này không ảnh hưởng tới sự nhận thức về bản chất của sóng rìa và tầm ý nghĩa của nó
Theo các định nghĩa (8.2.7, 10) và công thức đối với hàm hype hình học [8.3]
1 2
1 1
2 2
2 2
⎥
⎦
⎢
⎠
⎜
⎝ Γ Γ
=
⎟
⎠
⎜
−
⎤
⎡ ⎛ + ⎞ ⎛ + − ⎞
⎞
281 282
Trang 10) , , , (c≠0 −1−2 ,
ta có
) /
; i , , F(
) (
~ ) (
~p1 0 = p2 0 = 1+s −s1− µ 1 2
1 2
1
2
1 2
2 1
2
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − − Γ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
Γ
− Γ
) i (
/
(8.3.1) Bây giờ nếu dùng “công thức nhân đôi” đối với các hàm Γ
) / ( ) ( )
(2 = 1/222 1Γ Γ +1 2
ta nhận được từ (8.2.15) biểu thức đối với sóng rìa (z = z1 =0)
∫
−
p1at (4 ) 1 ( )H01)( ) , (8.3.2) trong đó
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
Γ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − − Γ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + − Γ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛− − Γ
=
2
2 2
1
2
1 2
µ µ
µ µ
µ φ
i i
i i
) (
s s
s s
(8.3.3)
và tích phân được lấy dọc theo các cạnh của đường rẽ nhánh
8.3) Vì giá trị của biểu thức dưới dấu tích phân tại điểm như nhau trên
các khiên khác nhau chỉ khác nhau bởi dấu của
2
C (hình
µ, nên tích phân (8.3.2)
có thể viết thành
(8.3.4)
ở đây
∫ +∞
=( ) 1 i ( ) ( ) H )( )
1
1 0
1
k
{ }µ >0
Nếu khai triển hàm φ(µ) thành một chuỗi và sử dụng các thuộc tính
đã biết của hàm Γ sẽ cho
(8.3.5)
trong đó
) ( i
) ( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + Γ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − Γ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + Γ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − Γ
−
=
2
2 2 1
2
1 2
s s
s
B
π
π
sin (8.3.6)
Ta đưa vào (8.3.4) một biến tích phân mới s sao cho 2
k +i
=
∞
<
< s
0 Đối với s bé ta có
ex ) )(
/ (1 2 1/2
1
Nếu sử dụng biểu diễn tiệm cận đối với hàm Hankel, ta thu được trong (8.3.4) tích phân
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
0
2 3 2 1 2
2
4
) exp( rs s ds π r (8.3.7) Bây giờ chúng ta sẽ thấy rằng lát cắt C2 trên hình 8.3 thực sự là một quãng đường suy giảm đột ngột Trong tích phân (8.3.4), µ và s bé sẽ
đáng kể tại ớn Kết quả là ta được
(8.3.8) ững nét điển hình như một sóng rìa trong trường hợp của
ẫn sóng, cụ thể là, nó truyền với tốc độ
r l
) i exp(
) ( i
z
z1 = =0 1at =− 1 −2 1 ;
lat
p có cùng nh
giảm the
ằng tốc độ
âm bên ngoài kênh phản dẫn sóng và biên độ của nó o 1 r/ 2 tại những khoảng cách lớn
Tại những khoảng cách ngắn từ nguồn, các tựa thức có đóng góp lớn cho trường Nhưng vì tất cả chúng suy giảm theo hàm mũ với khoảng cách, nên trường của sóng rìa sẽ áp đảo tại ở đây ột khoảng cách “chuyển tiếp” nào đó Chúng ta sẽ ước lượng kho
đó cho trường hợp
t r
r> , r t là m
ảng cách 0
1 = z=
1/ ) (k b
c lượng
ức khi kên phản dẫn sóng là rộng so với bước sóng Để ướ B trong (8.3.6), chúng ta
283 284
