de thi dap an Toan 8 - 3

Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các cạnh BC và CD hoặc đờng thẳng chứa các cạnh đó tại các điểm E và F.

TRƯỜNG THCS VINH THANH

đề thi học sinh giỏi cấp trờng

Năm học : 2009 - 2010

Môn : Toán 8 - thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao nhận đề)

Bài 1 : Cho a, b, c thỏa mãn : a b c b c a c a b

Tính giá trị biểu thức : P 1 b 1 c 1 a

GIẢI :

Từ gt suy ra : a b c 2 b c a 2 c a b 2 a b c b c a c a b

Xét hai trờng hợp :

- T/h 1 : Nếu a + b + c = 0  a + b = -c b + c = -a c + a = -b

P

- T/h 2 : Nếu a + b + c ≠ 0  a = b = c  P = 2.2.2 = 8

Bài 2 : Chứng minh rằng nếu 1 1 1

2

a b c   và a + b + c = abc thì ta có 2 2 2

2

a b c 

GIẢI :

2

a b c   

2

2 a b c 4

 

  theo giả thiết a + b + c = abc  a b c 1

abc

 



Bài 3 : Cho các số x, y, z tùy ý Chứng minh rằng

2

x y z x y z  

GIẢI :

Áp dụng BDT Côsi ta có :

2 2

2 2

2 (1)

2 (2)

2 (3)

x y xy

y z yz

z x zx

Cộng từng vế ba BDT trên ta đợc : 2(x2 y2 z2 ) 2(  xy yz zx  )

Chia hai vế cho chín ta đợc :

x y z x y z 

2

x y z  x y z  

(đpcm)

Bài 4 : Cho a, b, c là ba số dơng thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1

Chứng minh rằng : a b 16

abc





GV: Đễ̃ KIM THẠCH ST 1

A

TRƯỜNG THCS VINH THANH GIẢI :

áp dụng BDT Côsi ta có : x + y ≥2 xy do đó ( a + b ) + c ≥ 2 (a b c )

      nhân hai vế với a + b > 0 ta đợc :

2

a b  a b c mà ta chứng minh đợc (a b ) 2  4ab

Do đó (a + b) ≥ 4(4ab)c hay a + b  16abc → đpcm

Bài 5 : Cho hình vuông ABCD Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các cạnh BC và CD ( hoặc

đờng thẳng chứa các cạnh đó ) tại các điểm E và F Chứng minh rằng : 12 12 12

AE  AF AD

GI I : ẢI :

D

E

Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với AF cắt CD tại G

Chứng minh đợc ABE = ADG ( g.c.g)

→ AE = AG Xét tam giác AGF vuông tại A có AD là đờng cao nên ta có :

AG  AF AD do đó thayta đợc AG =

AE

AE  AF AD (đpcm)

Bài 6 : Cho ∆ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đờng phân giác Biết IA = 2 5 cm,

IB = 3 cm Tính độ dài AB?

GIẢI :

H

M

I

∆AMI cân tại I

IM = IA = 2 5

Kẻ AHMI => HM = HI Đặt HM = HI =

x ( x > 0 ) Xét ∆AMC vuông tại A ta có

AM MH MC

2 2

x x

x x

 x = 2,5 hoặc x = -4 (loại vì x > 0) Vậy MC = 8cm

Ta có AC2 MC2  AM2  8 2  (2 5) 2  64 20 44  

GV: Đễ̃ KIM THẠCH ST 2