Gọi O là giao điểm của AC với BD và I là giao điểm của AD với BC.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.. Hãy tính diện tích tứ giác IAOB theo a.
Trang 1TRƯỜNG THCS VINH THANH
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS
NĂM HỌC 2008-2009 MÔN THI: TOÁN - LỚP 8
Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm)
a) Cho x > y > 0 hãy so sánh A = x x y y và B = 2 2
2 2
y x
y x
b) Cho a + b = 1
Tính giá trị của biểu thức C = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2 )
Giải :
a) Vì x > 0; y > 0 suy ra x+y 0
A = x x y y = ( ) 2
) )(
(
y x
y x y x
x2 +y2 +2xy > x2 +y2 ; x2 – y2 > 0
2 2
2xy x y
y
x
< 2 2
2 2
y x
y x
x Vậy A < B
b) C = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) = 2( a+b)(a2 – ab + b2) - 3(a2 + b2 )
= 2 (a2 – ab + b2) - 3(a2 + b2 )
= 2 (a2 + b2) – 2ab - 3(a2 + b2 )
= - (a2 + b2) – 2ab = - ( a+b)2 = -1
Bài 2: (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:
a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12
b) 2008x12007x22006x3 2005x42004x52003x6
Giải :
a) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x
y2 + 4y -12 = 0 y2 + 6y - 2y -12 = 0
(y + 6)(y -2) = 0 y = - 6; y = 2
* x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x +6 > 0 với mọi x
* x2 + x = 2 x2 + x -2 = 0 x2 +2x -x -2 = 0
x(x + 2) – (x + 2) = 0 (x + 2)(x - 1) = 0 x = -2; x = 1 Vậy nghiệm của phương trình x = -2 ; x =1
b) 2008x12007x22006x3 2005x42004x52003x6
) 1 2003
6 ( ) 1 2004
5 ( ) 1 2005
4 ( ) 1 2006
3 ( ) 1 2007
2 (
)
1
2008
1
(x x x x x x
2003
2009 2004
2009 2005
2009 2006
2009 2007
2009 2008
x
GV: ĐỖ KIM TH ẠCH ST
Trang 2TRƯỜNG THCS VINH THANH
2003
2009 2004
2009 2005
2009 2006
2009 2007
22009 2008
2009
x
2003
1 2004
1 2005
1 2006
1 2007
1 2008
1 )(
2009
(x
Vì 20081 20051 ; 20071 20041 ; 20061 20031
2003
1 2004
1 2005
1 2006
1 2007
1 2008
1
Vậy x + 2009 = 0 x = -2009
Bài 3: (1,5 điểm)
2
2
2
2 3 2
x
x x
x y
y y
a) Rút gọn biểu thức D
b) Tính giá trị của biểu thức D với các giá trị của x và y thỏa mãn đẳng thức
x2 + x 2 + 4y2 – 4xy = 0
Giải :
a) Rút gọn D =
25
25 10
: 2
2
2
2 3 2
x
x x
x y
y y
(y 2; x 0, x 5 )
=
) 5 )(
5 (
) 25 10 (
: 2
2
2
x x
x x x y
y
y
y
=
) 5 )(
5 (
) 5 ( : 2
) 1 ( 2 ) 1
x x
x x y
y y
y
) 5 )(
5 ( 2
) 2 )(
1 (
x x
x x y
y y
) 5 )(
5 )(
2 )(
1
(
x y
x
x x y
y
=(y x(x1)(x5)5) b) Vì x2 + x 2 + 4y2 – 4xy = 0
x2 – 4xy +4y2 + x 2 = 0 (x -2y)2 + x 2 = 0
(x -2y)2 = 0 và x 2 = 0
vì (x -2y)2 0 với mọi x; y và x 2 0 với mọi x
x -2y = 0 và x 2 = 0 x = 2y và x -2 = 0 x = 2 và y = 1
) 5 (
) 5 )(
1
(
x
x
x
y
3
7 3
7 )
5 2 ( 2
) 5 2 )(
1 1 (
Bài 4: (2,0 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của M = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
b) Cho a,b,c,d > 0 Chứng tỏ rằng giá trị của
N = a a b c b c b d c d c a d d a b
Giải :
a)M = ( x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x2 + 5x + 6)( x2 + 5x - 6)
= (x2 + 5x)( x2 + 5x) – 36
= (x2 + 5x)2 – 36 - 36 vì (x2 + 5x)2
M - 36 với mọi x
GV: ĐỖ KIM TH ẠCH ST
Trang 3TRƯỜNG THCS VINH THANH
Vậy GTNN của M là -36
b)Ta có a a b c a b a c d
;b c b d a b b c d
d c b a
c a
d c
c
d c b a
d b
a d
d
Suy ra N = a b a c b c b d c d c a d d a b
1
d c b a d c b a
d d
c b a
c d
c b a
b d
c b
a
a
Ta có: a a b c a a c c d c a a c c
; ; b c b d b b d d d a b b d d
N =
b a d
d a d c
c d c b
b c
b
a
a
d b
d d b
b c a
c c a
a
d
b
d
b
c
a
c
a
Do đó 1 < N < 2 Suy ra giá trị của N không phải là số nguyên
Bài 5: (3,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB //CD) Gọi O là giao điểm của AC với BD và I là
giao điểm của AD với BC.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD
a) Chứng minh : OC OA OB OD IC IA IB ID
b) Chứng tỏ rằng : I; M; O; N thẳng hàng
c) Giả sử 3AB = CD và diện tích hình thang ABCD bằng a Hãy tính diện tích
tứ giác IAOB theo a
Giải :
a) OAB ∾OCD
OD OC
OB OA CD
AB OD
OB
OC
OA
IAB ∾ IDC
ID IA IC IB CD AB IC IAID IB
OD OC
OB OA
ID IC
IB IA
b) OC OA CD AB OC OA AM NC
OAM ∾OCN(c-g-c)
M;O;N thẳng hàng
DN
AM IC
IA
CD
AB
ID
IA
GV: ĐỖ KIM TH ẠCH ST
AOM CON
O
C N
M
I
D
Trang 4TRƯỜNG THCS VINH THANH
IAM ∾IDN ( c-g-c)
I;M;N thẳng hàng
Vậy I;M;O;N thẳng hàng
c)
3
1
CD
AB
OD
OB
AOD
AOB
S
S
=31
AOB AOD
AOB
S S
S
1
ABD
AOB
S
S
= 14 S AOB S ABD
4
1
3
1
CD
AB
S
S
BDC
ABD
1 3
1
BDC
ABD
S S
S
4
1
ABCD
ABD
S
S
SABD = 4
1
SABCD
16
1
9
1
ICD
IAB
S
S
1 9
1
ICD
IAB
S S
S
8
1
ABCD
IAB
S
S
1
SABCD
SIAOC = SIAB + SAOB = 81 SABCD + 161 SABCD= 163 SABCD = 163 a
GV: ĐỖ KIM TH ẠCH ST
AMI = DNI