Bài 7Xét xem các h/s sau có ltục tại ∀x không, nếu chúng không ltục thì chỉ ra các điểm gián đoạn... 2 19Chứng minh các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:.
Trang 1HỌC KỲ II
0 0
lim f x( ) L hay f x( ) L khi x x
→
2)Giới hạn một bên:( bên phải; bên trái)
•
lim f x( ) L ; lim f x( ) L
3)
lim ( ) lim ( ) lim ( )
o
0
4) lim c c constant( )
x x =
→
5)Định nghĩa 3:(sgk)
+ lim f x( ) L
+ lim f x( ) L
6).Giới hạn vô cực:
• Định nghĩa 4 :(sgk)
lim f x( )
• Nhận xét :
lim f x( ) lim ( f x( ))
7).Một vài giới hạn đặc biệt:
a/ lim x k
x = +∞
→+∞ với k nguyên dương b/ lim x k
x = −∞
→−∞ nếu k là số lẻ
c/ lim k
→−∞ = +∞ nếu k là số chẵn
8) ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN CỦA H/S:
*ĐL: :nếu limx→af(x)=L và
a
x→ limg(x)=M thì:
a
x→
lim[f(x)±g(x)]=L±M;
a
x→
lim ( ) ( )
f x L
g x =M ( M≠0);limx→a f x( ) = L
( L≥0)
*ĐL :Cho 3 hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên 1 khoảng K chứa
điểm a (có thể trừ điểm a) Nếu với mọi điểm của khoảng đó
:g(x)≤ f(x)≤ h(x) và limx→ah(x)=
a
x→
limg(x)=M thì
a
x→ limf(x)=M
* ĐL :+Nếu limx→af(x)=0 và f(x)≠0 với mọi x đủ gần a thì
a
x→
lim ( )
C
f x
= ± ∞
+Nếu limx→af(x)= ±∞ thì limx→a
( )
C
f x = 0 9)P.PHÁP TÍNH GIỚI HẠN:
1)Dạng 1:Khi x→a,a + ,a - : limx→af(x)=A ?
Thế x=a vào ta được:
• Kết qủa là số thì A= số
• Kết qủa là
0
số
thì A= ±∞
• Kết qủa là 0
số thì A= 0
2)Dạng 2:Khi x→ ±∞: lim
x→±∞f(x)=?
*Sử dụng như PP tính giới hạn của dãy số và chú ý khi đưa vào căn bậc hai:
x= 2
x nếu x→+∞
x=- 2
x nếu x→-∞
3)CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH:
a) o
o :Phân tích tử;mẫu thành nhân tử bằng p 2 dùng +HĐT: A 2 -B 2 = (A+B)(A-B); ĐẶT NTC + Nhân liên hiệp nếu chứa căn + ax 2 +bx+c = a(x-x 1 )(x-x 2 )……
b ) ∞∞ : Đặt x k (với k là số mũ cao nhất ở cả tử và mẫu) làm NTC cho cả tử và mẫu sau đó áp dụng : lim C
nα = 0 với α
>0
c) 0 ∞ : *CHÚ-Ý: lim sinx 1 ; lim tanx 1
x o x = x o x =
d) ∞ − ∞ :
3
;
+
I/HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM:
a)Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a,b) Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x o∈(a,b) nếu lim f x( ) f xo( )
x xo
=
-Nếu tại điểm x o hàm số f(x) không liên tục thì gián đoạn tại điểm x O và gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x).
*Liên tục phải-liên tục trái:
-Hàm số f(x) liên tục bên phải x O khi và chỉ khi hàm số f(x) xác định tại
x O và lim f x( ) f xo( )
x xo
= +
→
-Hàm số f(x) liên tục bên trái x O khi và chỉ khi hàm số f(x) xác định tại
x O và lim f x( ) f xo( )
x xo
=
−
→
-Vậy hàm số f(x) liên tục tại x O khi và chỉ khi f(x) liên tục phải và liên tục trái tại x O
lim f x( ) lim f x( ) f x( o)
x x o x x o
Hệ quả:Nếu h/s f(x) là ltục trên [a,b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất 1 điểm c ∈(a,b) sao cho f(c)=0
BẢNG ĐẠO HÀM
Trang 2TT HÀM SƠ CẤP VÀ HỢP TT HÀM SƠ CẤP VÀ HỢP
2
u
u
/ /
xα / =αxα − α∈¡ x〉
3
U
−
÷
V 2
uα / =αuα − u/ α∈¡
1 tan 2
cos
x
x = +
2 x
x = −x ≠
÷
sin
x x
8
2
x a
÷
2
x
10
2
ax b ad bc
c ad bc
cx d cx d
(1 tan ).
2 cos
u
u u
u = +
/
/
(1 cot ).
2 sin
u
u u u
/
/
2
v v
v = −v ≠
÷
*CHÚ Ý:
1)TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH
NGHĨA:
B1:Tính ∆ =y f x( 0+ ∆x) − f x( 0)B2:Lập Tỉ
Số: y
x
∆
∆
∆
∆ → ∆
2) TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG
THỨC :
B1: NHẬN DẠNG HÀM SỐ
(Tổng-Hiệu,Tích,Thương,LũyThừa,Căn
,Lượng Giác,Mũ,Logarit)
B2: ÁP DỤNG BẢNG ĐẠO HÀM
25 *( [ ( )])f u x / = y x/ = y u u x/ /. (Hàm hợp)
* ( ) limo 0
x
y
f x
x
∆ →
∆
=
∆
* Đạo Hàm Cấp Cao : f (n) (x) = [ f(n-1)(x) ]′
*Vi Phân: dy = y′dx hoặc d[f(x)] = ( )f x′ .dx
*LOẠI :TIẾPTUYẾN TẠI M 0 (x 0 ; y 0 )
a.PP:B1:Tìm toạ độ tiếp điểm M0 x0 y0
⇒
⇒
B2:Tìm hsg k=att = f (x )/ 0 B3:Vậy phương trình tiếp tuyến d của ( C ) tại M0 là:
y = f (x )/ 0 (x-x0 ) +y0
13
2
÷
Trang 3BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (GIỚI HẠN HÀM SỐ ) E-GIỚI HẠN HÀM SỐ:
Bài 1)Tìm các giới hạn sau :
1/
2
6
x x
+ +
→ − − 3/ lim 322
7 49
x
− −
2
lim 2
x
→ − + 5/ lim 3 7
→− 6/ ( ) 1
1
x
Bài 2)Tìm các giới hạn sau :
1./ lim ( cos )1
0 x
x→ x 2./
2
lim
x x
→− + 3/
2 2
1
x x
− −
→− + 4./
2
x x
− +
→− + 5./
2
x x x
→−∞ + − 6./ lim 23 1
x
−
7./ lim 3 3 7
→− 8/
2 6 lim
x x
+ −
→ − 9/
2
2
x x
→+∞ + 10/ ( 2 )
→+∞ 11/ 3 8 11 7
Bài 3) Tìm các giới hạn sau :
1/ lim 4
x
x→ + −x 2/ lim 2 7 3
x
+ −
→ − + 3/
1
x x x
→ − + 4/
2
→ − + 5/ lim 9 16 7
0
→ 6/ lim (x x2 5 )x
→±∞
Bài 4)Tính các giới hạn sau :
1/
x x
→∞ − 2/ lim 23 1
x
−
→∞ + + 3/ lim ( 1 33)
→ − − 4/ lim ( 4x2 7x 2 )x
→−∞ 5/ lim ( x2 x 2 x2 x 1)
Bài 5) Cho biết lim sin 1.
0
x
x x =
→ Tính : 1/ lim 1 cos2
0
x
−
→ 2/ lim sin sin 22
0
x x
x→ x 3/
2
1 cos lim
x
−
→ 4/ lim 1 cos 3
0 1 cos
x
−
→ − 5/ lim 1 cos 4
x
−
→ 6/ lim 1 2 1
0 sin 2
x
7/ lim 2 1 1
→ 8/ lim xsin
π
→∞ 9/ lim sin 3
0
x
x→ x 10/ lim 1 cos 52
0
x
−
→ 11/ lim cos 2cos 3
−
→ 12/ lim ( 1 )
cos 2
tgx x
x→π −
Bài 6) Tính các ghạn sau: 1/ lim (x3 5x2 10x)
0
→ 2/ lim (5x2 7x)
3
→ 3/
2
lim
x x
→ −
lim 2
x
+
→− + − 5/ lim x( x2 1 x)
→+∞
Bài 7) Tính các ghạn sau: 1/
lim 0
x h x
→− 2/
x a x a
−
→ − 3/
2
lim 0
x x
→− + − 5/ lim 1 1
x
→
6/
1 lim
x x x
→ − 7/
1 x
x
x
2
2 1
+
−
→
lim 9/
5 x
5
x2 1
+
−
→
lim 10/
2
x x
→ + 11/
2
x x
2
1
x x
13/
→∞ + 14/
2
→∞ − + 15, 3
lim
+
→−
+ 16, 3
x 3
x 5 3 4 x x 2 lim
x 3 +
→−
+
Bài 8) Cho các hàm số :
a/f(x)=
1
x
x x
−
>
b/f(x)=
2 2 1 1
2
x x
x x
+ −
>
−
lim ( )
1f x
x
→−∞
9) Tính các ghạn sau: 1/
3 1 lim 2
x
−
2
x x
→ + 3/ lim 2
x x
→ + − 4/ lim ( 1 33)
→ − − 5/ lim 4
x
x→ + −x 6/
x x
F-HÀM SỐ LIÊN TỤC:
Bài1) Xét sự liên tục tại x 0 của hàm số f(x) trong các trường hợp sau :
1/ f(x) =
5
2
x
x x
−
>
− −
tại x 0 = 5 2/ f(x) =
2
3
2
x x x
x
−
≠ + −
=
tại x 0 = 4 3/ f(x) =
1 1
x x
x
≠
−
=
tại x 0 = 1
Trang 44/ f(x) =
2
x
x x
x
≠
−
=
tại x 0 = 2 5/
( )
x
f x
x
−
=
≤
nếu x>1 5x+3 nếu x 1
tại x o =1 6/ ( ) 2 1 1 1
2 3
x
x
≤
nếu
tại xo nếu x 1
Bài2) Định a,b để hàm số f(x) liên tục tại điểm x 0 :
1/f(x) =
3
1
; ( 1)
1
2; ( 1)
x
x x
ax x
−
<
−
tạix o =1 2/ f(x) =
2
3
x x
x x
x b x
>
−
tại x 0 = 3 3/ f(x) =
2 1
4
x
x x
ax x
+ −
>
−
tại x 0 = 2 4/ f(x) =
2
3 8
x x
x x
>
−
=
tại x 0 = 2
Bài3) Chứng minh rằng :
1/ Phương trình x 3 + 5x – 3 = 0 có nghiệm thuộc (0,1) 2/ Phương trình x 4 - 5x +2 = 0 có ít nhất một nghiệm 3/ Phương trình x 4 + 3x – 7 = 0 có 2 nghiệm phân biệt 4/ Phương trình x 3 + 3x 2 – 1 = 0 co ù3 nghiệm phân biệt 5/ P/t 2x 3 –3x 2 –3x + 2 = 0 có 3 nghiệm thuộc (-2,3) 6/ P/t x 5 +x-1=0 có nghiệm thuộc khoảng (-1,1) 7/Phương trình: a/ 3x 2 +2x-2 có ít nhất 1 nghiệm b/ 4x 4 +2x 2 -x-3 có ít nhất 2n 0 pb trên (-1,1) 8/ Phương trình : 2x 3 -6x+1 = 0 có 3 nghiệm trên (-2,2).
Bài 4)Cho hàm số :f(x) =
=
≠
−
−
1 2
1 1
1
2
x
x x
x
Xét tính ltục của h/s đã cho tại x o =1
Bài 5)Cho hàm số :f(x) =
≥
<
+
0
0 1
2
x ax
x x
.Xét tính l tục của h/s đã cho tại x o =0
Bài 6)Cho h/s :y=
<
− +
≥ +
1 1
1 1
x
x ax
.Xét tính ltục của h/s trên toàn trục số.
Bài 7)Xét xem các h/s sau có ltục tại ∀x không, nếu chúng không ltục thì chỉ ra các điểm gián đoạn.
a/f(x)= x 3 -2x 2 +3x+1 b/f(x)=
2 3
1 2
+
x x
x
c/f(x)=
2
6
2
2
−
−
x
x x
d/ y=tan x
x e/ f(x)=
=
≠
−
−
4 8
4 4
16
2
x
x x x
Bài 8)Cho các hs f(x) chưa xác định tại x=0 có thể gán cho f(0) giá trị bằng bao nhiêu để f(x) l tục tại x=0.
a/f(x)=
x
x
x2 −2 Đs:f(0)=-2 b/f(x)=
2
x
x
Đs:k 0 tồn tại
Bài 9)Cho hs :f(x)=
>
≤
2 3
2
2
x
x ax
Tìm a để hs f(x) là ltục ∀x, khi đó hãy vẽ đồ thị của y=f(x)
BÀI TẬP CHƯƠNG 5 (ĐẠO-HÀM)
Bài 1)Tính đạo hàm bằng định nghĩa:
y = x2 + 3x tại x0 =1 ;y =
x
3
− tại x0 = 2 ;y =
1
1
−
+
x
x
tại x0 = 0 ; y= 7+x-x2 tại x0 = 1 ; y= x3–2x+1 tại x0 = 2 Bài 2)Tính đạo hàm các hàm số sau:
a/ y= x5 –4x3 +2x –3 ; y =
2
4
x –
3
2 3
x +
5
4 2
b a
b ax
+
+
(a+b ≠0) ; y = (x7 +x)2
b)y = (x2 +1)(5–3x2) ; y =
1
2
2 −
x
x
;y =
1
3 5
−
x x
x
; y = x(2x–1)(3x+2) ; y = (x+1)(x+2)2(x+3)3 ; y = x2 −3x+2 c) y = 2 2
x a
x
− ( a là hằng số ) ;y = x x
1 ;y =
x
x
−
+
1
1 ; y= sin
2
x
;y= cos22x ;y= 2tg2x ;y= 3cotg2x d) y= 3 x ;y= 3 x2− +x 1 ;y= 5 2
1
x ; y= cotg
5( 1 x+ 3 ) ; y=sin2(cos3x) ;y= 2x x−−31 ; y=
2
x
−
Bài 3)Cho đường cong y = x3.Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong:
Trang 5a/ Tại điểm có hoành độ bằng –2 b/Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 Bài 4)Cho hàm số y = f(x) = 2cos2(4x –1).Tìm tập giá trị của f (x)′
Bài 5) f(x) = cos2x.Tính f x′′( )
Bài 6)Cho hàm số: f(x) = 1 x+ Tính f(3) + (x-3)f'(3)
Bài 7)Tìm b ;c sao cho đồ thị của hàm số y= x2 +bx +c tiếp xúc với đường thẳng y= x tại điểm A(1;1)
Bài 8)Cho đồ thị (C) của hàm số y= x3+x2+3x+1.Chứng minh rằng đồ thị (C) không thể có hai tiếp tuyến vuông góc nhau
Bài 9)Cho đồ thị (C) của hàm số: y= x2 2 1
1
x x
− .Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) vuông góc với đường
thẳng (d): y= x
Bài 10)Viết phương trình tiếp tuyến của: a/Đồ thị (C):y= 2x+ 1 2x+ 2 tại điểm có hoành độ x=2 b/ Đồ thị (C): y= +
−
1 1
x
x và song song với (d):y= –2x Bài 11) Cho hàm số: y = x(3–x)2 có đồ thị là (C)
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y= −19x+2
Bài 13)Cho hyperbol (H) y = 1x
a/ Viết phương trình tiếp tuyến với (H) song song với đường thẳng y = x
4
1
−
b/ Viết phương trình tiếp tuyến với (H) vuông góc với đường thẳng y = x
4
1
−
14)Cho y = x3–3x2+2 Tìm x để: a/ y′> 0 b/ y′< 3
15)Chứng minh rằng mỗi hàm số sau thoả mãn hệ thức tương ứng đã cho:
a/ y = x x−34
+ ; 2
2
y′ = (y-1) y′′ b/ y= 2x x− 2 ; y3 y′′+1= 0
16) Giải p/t f ( ) 0 ,/ x = biết f x: ( ) 3cos= x+4sinx+5x
17) Tính đạo hàm các hàm số sau: sin22 cos22 cos44
y
=
18) Tính đạo hàm các hàm số sau:
2
3 ( ) 2 ( cot ) 2 cos(
) sin(π + x − x−π + g π −x +tg π −x
2
3 ( cot )
2 ( ) 2
3 sin(
) cos(π −x + − π +x −tg π +x g π −x
2
3 cos(
)
2
19)Chứng minh các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:
Trang 6a) y= 3(sin 4x + cos4x ) – 2(sin6x+cos6x) b) y=
gx
x x x
g
x x
g
cot
cos sin cot
cos cot
2
2 2
+
−
c) y=cos2x.cotg2x + 3cos2x – cotg2x – 4sin2x d) y= x x
x tg
x x
x x
x
cos sin
1
cos sin
cos sin
sin
2
2
−
−
−
+
−
−
e) y=
x tg
x tg x
2 2
1 cos sin
1
−
+ +
− f) y=2cos 1
sin 2 1
2
2
−
−
k) y= cosx + cos(1200 - x) cos(1200 + x) l) y = )
3 ( cos ) 3 ( cos cos2 x+ 2 π +x + 2 π −x
20)Cho hàm số f(x)=2cos (42 x−1).Tìm tập giá trị của f x/( )
……….
