Câu 5: Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh a vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I.Chứng minh rằng 1 2 12 12 a AI Câu 6: Một tam giác có số đo các đường cao là nh
Trang 1PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO
TRƯỜNG THCS TAM ĐẢO
-ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 3
NĂM HỌC 2009-2010 MÔN: TOÁN 9 Thời gian:150 phút(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: Giải các phương trình sau
a) x+ 1 = x2 − 1
b) 3 2 −x+ x− 1 = 1
Câu 2:
a)Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x,y thoả mãn:
5 3
1 5
3
x
b)Tìm tất cả các số dương x,y,z thoả mãn:
= + +
≤ + +
3 9 4 1
12
z y x
z y x
Câu 3: Mỗi cô gái trong nhóm 50 cô gái có tóc nâu hay tóc vàng và mắt xanh
hay mắt nâu.Nếu có 14 cô tóc nâu mắt xanh,31 cô gái tóc vàng và 18 cô gái mắt nâu thì có bao nhiêu cô gái tóc vàng mắt nâu
Câu 4: For a, b, c are positive numbers satisfying: a + b + c = 3 Prove that:
2
3 2 2
3 2
2
3 2
2
3
≥ +
+ +
+
c c
b
b
b
a
a
Câu 5: Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh a vẽ một đường thẳng cắt cạnh
BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I.Chứng minh rằng 1 2 12 12
a AI
Câu 6:
Một tam giác có số đo các đường cao là những số nguyên và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1.Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều
-Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN 9
=
−
− +
−
≤
≥
⇔
−
= +
≥
−
⇔
−
= +
0 1 1
1
; 1 1
1
0 1 1
2 2
x x x x
x x x
x
x x
x
⇔ x= − 1hoặc
2
5
1 +
=
x
0.75đ
b
ĐK:x≥ 1;Đặt
−
=
−
=
1
2 3
x v
x u
Khi đó ta có:
=
−
=
=
=
=
=
= +
= +
3 2 0 1 1 0
1
1 2 3
v u v u v u
v u
v u
Trở lại cách đặt ta được:
=
=
1
0
v
u
2 1
1
0 2
3
=
⇔
=
−
=
−
x x
x
=
=
0
1
v
u
1 0
1
1 2
3
=
⇔
=
−
=
−
x x
x
=
−
=
3
2
v
u
10 3
1
2 2
3
=
⇔
=
−
−
=
−
x x
x
0.25
0.25
0.25
2 a
ĐK:x≥ − 1 ;y≥ 5
+)Nếu x+1>y-5 => x+3>y-3;x+5>y-1.Khi đó VT>VP
+)Nếu x+1<y-5 => x+3<y-3;x+5<y-1.Khi đó VT<VP
Từ đó ta suy ra x+1=y-5 hay x-y=-6 (1)
Nghiệm nguyên tổng quát của (1) có dạng t Z
t y
t x
∈
+
=
=
; 6 với điều kiện x≥ − 1 ;y≥ 5,để nghiệm của phương trình đã cho là
nghiệm nguyên dương thì ta phải có t≥ 1.Vậy nghiệm nguyên dương
của phương trình đã cho có dạng ; , 1
+
=
=
t Z t t y
t x
0.25 0.25 0.25
0.25
Trang 34
9 4 1
≤ + + + +
z y
Mặt khác ta có:
1 4
1 2 4
1 + ≥ x =
x
x
4
4
≥
4
9
≥ + z
z
4
9 4
1 + + + x+ y+z ≥
z y
x (2)Do vậy để (1) xảy ra thì ta phải
4
9 4
1 + + + x+ y+z =
z y
=
=
=
⇔
=
=
=
6 4 2
4 9 4
4 4 1
z y x
z z
y y
x x
0.25
0.25 0.25
0.25
3
Mỗi cô gái trong 50 cô gái phải thuộc 1 trong 4 nhóm sau:
1.tóc nâu mắt xanh 2.tóc nâu mắt nâu 3.tóc vàng mắt xanh 4.tóc vàng mắt nâu
Gọi x,y,z,t là số cô gái thuộc các nhóm 1,2,3,4.Khi đó ta có hệ
phương trình
= +
= +
=
= + + +
18 31 14 50
t y
t z x
t z y x
13
=
1.5
4
We have:
2 2
2 2
2
2 2
2
a ab
ab a b a
ab a b a
−
=
−
≥ +
−
=
Similarly we have.:
2
;
3 2
2
c a c
c c
b c b
+
−
≥ +
Thus we have.:
2
3 2
2 2
3 2
2
3 2
2
3
= + +
≥ +
+ +
+ +
c b a a c
c c
b
b b
a
a
Sign "=" occurs if and only if a = b = c = 1
0.5
0.5 0.5
5
Trang 4Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt DC
kéo dài tại K
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác AKI ta có:
2 2 2
1 1
1
AI AK
Mặt khác do ∆AKD= ∆AMB (cạnh góc vuông,góc nhọn) do đó suy ra
AM
Do vậy ta có 12 1 2 12
AI AM
0.5 0.5
0.5 0.5
6
Gọi x,y,z lần lượt là các đường cao tương ứng vứi các cạnh a,b,c của
tam giác ABC.Ta có:SABC=1ax 1 1 1( )
2 = 2by= 2cz= 2 a b c r+ + .Thay r=1 ta
được ax=by=cz=a+b+c (*)
Từ ax=a+b+c x a b c 1 b c 2
⇒ = = + > .Chứng minh tương tự ta
được y>2,z>2.Mặt khác từ:
ax
1 1 1
1
by cz a b c
a b c
a b c
+ +
+ + + +
+ +
Không mất tính tổng quát giả sử x y z≤ ≤ .Khi đó
1 1 1 3
Trường hợp x=2;y=9 bị loại nên ta có x=y=z=3.Do đó a=b=c (theo *) Vậy tam giác ABC đều
0.25
0.25
0.25 0.25
0.25
0.25