đề và đáp án thi HSG toán 12 tỉnh Thái Nguyên năm 2010

Mặt phẳng phân giác của nhị diện tạo bởi hai mặt ADB và ADC cắt BC tại M..  là góc giữa hai mặt ADB và ADC.. Hướng dẫn chấm môn Toán lớp 12.

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THÁI NGUYÊN năm học 2010-2011

Môn thi : TOÁN HỌC Lớp 12

Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1

(4 đ )

Giải phương trình: x 1 x2 2x  3 x2 1

Bài 2

(4 đ )

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 3

(4 đ )

Tìm số các số hạng là số nguyên trong khai triển ( 7 3  3) 125

Bài 4

(4 đ )

Tìm các nghiệm thuộc khoảng (0; 2) của phương trình

1 cos 1 cos 4sin

cos

x x



Bài 5

(4 đ )

Cho tứ diện ABCD có diện tích các tam giác ADB và ADC là Sb

và Sc Mặt phẳng phân giác của nhị diện tạo bởi hai mặt (ADB) và (ADC) cắt BC tại M  là góc giữa hai mặt (ADB) và (ADC) Chứng minh:

c

S MB

b/ Diện tích Sm của tam giác ADM là: b c

m

b c

2S S cos

2 S







.Hết

Họ và tên : SBD:

Hướng dẫn chấm môn Toán lớp 12

Kì thi chọn HSG năm học 2010-2011

Bài 1 : Đặt x2  2x  3 t t,  2 Khi đó :

 1  x 1t x2  1

 x2  2x  3 x 1t 2x 1  0

 t2  x 1t 2x 1  0

 t t2x 1

 



Với t  2 x2  2x  3 2

 x2  2x  3 4

 x2  2x 1 0  1 2

x x

  

 

 

Với t  x 1 x2  2x   3 x 1

2 1 0 2

x

 



 

Bài 2: : Đặt t x y  t 2

Xét hàm số f(t)=A

f ’(t)= 4t3 – 10t + 1

2

f ''(t)= 12t - 10 0   t  2 Nên hàm số f ’(t) đồng biến

Vậy f t( )  2 t  2 Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là Amin = -2 đạt được khi t = -2 hay (x + y)2 = 0  x = - y

Bài 3:

125 125

125

125 0

k k k



  Do vậy, để số hạng trong khai triển là số

nguyên thì

,

125

2

3

k N

k

k

N

k

N









Có 21 giá trị của m thoả

mãn nên có 21 số hạng nhận giá trị nguyên

Bài 4 : Điều kiện cosx ≠ 0 Biến đổi dẫn đến 2( cos sin ) 2sin 2

x

-Với x (0; ) 0

x 



4

k x

l x









Chọn được k, l = 0 => 36

10

x x













 



-Với x ( ; 2 )



4

4

k x

l x









Chọn được k,l = 1 =>

7 6 13 10

x x













 



Bài 5

a.Do M nằm trên mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh AD nên khoảng cách từ M đến hai mặt phẳng (ADB) và (ADC) bằng nhau, kí hiệu là d

Do đó

ADBM b b

V

MCdt(DCM) V S d S

2S S sin





ABCD ADBM ADCM

=> b m c m



Rút gọn được : b c

m

b c

2S S cos

2 S





