DE VA DAP AN THI HSG TOAN 8

O lµ mét ®iÓm thuéc miÒn trong cña tam gi¸c.. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC.[r]

Đề thi chon đội tuyển học sinh giỏi lớp 8

Năm học: 2009-2010 Môn: Toán

(Thời gian làm bài:120 phút – Vòng 1) Vòng 1)

Bài 1(2,5 điểm): Cho đa thức: f(x)=x4+6x3+11x2+6x

1/ Phân tích f(x) thành nhân tử.

2/ Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) +1 luôn có giá trị là

số chính phơng.

Bài 2 (3 điểm):

a)Cho x,y,z là những số nguyên khác 0 và a=x2-yz; b=y2-xz; c=z2-xy Chứng minh rằng

ax+by+cz chia hết cho a+b+c.

b)Tìm các cặp số tự nhiên (x,y) thoả mãn phơng trình.

(x+1) y = x2+4

Bài 3(1,5 điểm):

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B = x+y+z; Biết rằng x; y; z là

các số thực thoả mãn điều kiện y2 + yz + z2 = 2 -

2

3x2

Bài 4(3 điểm):

a)Cho tam giác ABC O là một điểm thuộc miền trong của tam giác Gọi D, E,

F, M, N, P lần lợt là trung điểm của AB, BC, CA, OA, OB, OC Chứng minh các

đoạn thẳng EM, FN, DP đồng quy.

b)Cho tam giác ABC (AB<AC) Dựng về phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABD cân tại B và tam giác ACE cân tại C sao cho góc ABD = góc ACE Gọi M

là trung điểm của BC Hãy so sánh MD và ME.

Họ và tên thí sinh: ……… ; Số báo danh: ………

Chú ý:Ngời coi thi không đợc giải thích gì thêm.

Đáp án, biểu điểm môn toán

Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8 – vòng I vòng I

Năm học 2009 – vòng I 2010

1.Lần lợt phân tích để có kết quả f(x)=x (x+1) (x+2) (x+3)

………

1

………

1(2,5 đ) 2.Từ kết quả ở câu 1 ta có:

+ f(x) +1 = x (x+3) (x+1) (x+2) + 1 = (x2 +3x)(x2 + 3x+2) + 1

+ Đặt x2 + 3x = t; ta có A=t(t+2)=t2+2t+1=(t+1)2

+ do xZ nên t=x2+3x  Z ;do đó (t+1)2 Z và (t+1)2 là số chính phơng

+ KL :với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) +1 là số chính phơng

0,5

0,75 0,25

2(3đ)

a,(1,5) ta có: ax+by+cz = x3+y3+z3-3xyz

Mà :

x3+ y3+z3-3xyz = (x+y)3-3xy(x+y)+z3-3xyz =

= (x+y+z)( x2+y2+z2-xz-yz+2xy)-3xyz(x+y+z)=

=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)

x3+ y3+z3-3xyz = (x+y+z)( x2+y2+z2-xy-yz-zx)

Mặt khác : a+b+c = (x2+y2+z2-xy-yz-zx)

Từ đó ta có : ax+by+cz chia hết cho a+b+c (đpcm)

0,25

1đ 0,25

b,(1,0đ) Ta có : (x+1)y= x2+4 (x+1)y-(x2-1)=5 (x+1)(y-x+1)=5

Do đó : x+1N và là ớc của 5 Suy ra x+1=1 ;5

Suy ra x=0,4 Thử trực tiếp ta đợc các cặp số tự nhiên (x,y) thoả đề là (0;4);

(4;4)

0,5 0,5 0,5

3(1,5đ)

+Ta có y2+yz+z2

=2-2

3x2

 2y2+2yz+2z2=4-3x2

 3x2+2y2+2yz+2z2=4 (1)

 x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz+x2-2xy+y2+x2-2xz+z2=4

 (x+y+z)2+(x-y)2+(x-z)2=4

+Do (x-y)20 ; (x-z)20 nên từ (*) suy ra (x+y+z)24

Hay -2x+y+z2

+Dấu “=” ” = xảy ra khi x-y=0 và x-z=0 hay x=y=z

Thay vào (1) ta đợc 9x2 = 4  x =

3

2

hoặc x=

-3 2

+KL : Với

x=y=z=-3

2

thì min B = -2

Với x = y = z =

3

2

thì max B = 2

0,25

0,5

0,25

0,5

a.(1,5đ) Vẽ hình chính xác

Học sinh chứng minh đợc MF//NE; MF=NE (Tính chất đờng trung bình)

Suy ra MFEN là hình bình hành nên EM, FN cắt nhau tại một trung điểm I

của chúng

Chứng minh tơng tự: MDEP là hình bình hành nên ME, DP cắt nhau tại

trung điểm của mỗi đờng

Từ đó suy ra DP, ME, NF đồng quy tại I

0,5đ

0,5đ 0,5đ

b.(1,5đ)

*Vẽ hình chính xác

Dựng hình bình hành ABFC

Học sinh chứng minh đợc BDF  CFE(c.g.c)  FDFE

Trên cạnh CA lấy điểm A1, trên cạnh CE lấy điểm C1 sao cho

CA1=CC1 A1CC1 ABD(c.g.c) A1C1 BD.Dựng hình bình hành

AEGA1 do tam giác ACE cân tại C nên góc CAE<900, suy ra góc AEG>900

do đó góc CAE= góc AEC< góc AEG suy ra A1C1<A1G hay DA<AE Xét

hai tam giác AFD và AFE suy ra góc AFD = góc AFE Xét 2 tam giác MFD

và tam giác MFE suy ra MD<ME.(đpcm)

0,25 0,25 0,5

0,5

Chú ý : Học sinh làm cách khác nếu hợp lý và đúng thì vẫn có thể cho điểm tối đa

theo thang điểm quy định.