Chuyên đề Hệ Phơng Trình Nguyễn Văn Đắc I.. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn 1.. Giải hệ bằng phơng pháp thế.. Hệ có một phơng trình là bậc nhất 2 ẩn.. Hệ rút ngay đợc 1 ẩn theo ẩn còn lại
Trang 1Chuyên đề Hệ Phơng Trình Nguyễn Văn Đắc
I Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn
1 Giải các phơng trình
1) 2x + 3y = 5 2) 3x – y = 2
x + 4y = 5 x + 3y = 4
3) 2x + y = 4 4) 2x + y = 3x + 4y + 1
4x – 3y = -2 4x + 3y = 2x + 2y -2
2 Giải và biện luận
1) ax + y = 1 2) (a – 1) x + ay = a
2x + (a + 1) y = 2 ax + (a + 1) y = a
3 Cho hệ phơng trình: (a – 1) x + ay = a + 1
ax + (a + 1) y = a + 2
a) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất
b) Tìm a để nghiệm duy nhất (x, y) của hệ thoả mãn x + y = 2008
4 Cho hệ phơng trình: (m – 1) x + y = 5
X + (m – 1) y = 4
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x, y) thoả mãn x + y < 1
5 Cho hệ phơng trình: (a – 1) x + ay = a + 1
ax + (a – 1) y = a – 2
a) Giải hệ với a = 3
b) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x, y) thoả mãn x + y < 2008
II Giải hệ bằng phơng pháp thế.
1 Hệ có một phơng trình là bậc nhất 2 ẩn.
1) x – 2y = 3 2) 2x + 3y = 5
x2 + 2y2 + x – y = 5 2x2 + y2 – xy + 3y = 5
3) x + 2y = 3 4) 2 2x y+ + −1 x+3y =2
x3 – y2 + 3y = 3 3x + 2y = 5
5) 2 1 2 2
+ + − = −
+ = 6) Giải và biện luận x – y + m = 0
x2 + y2 = 4
2 Hệ rút ngay đợc 1 ẩn theo ẩn còn lại từ 1 phơng trình.
1) 4x2 – x – y – 2 = 0 2) x3 + x – y – 1 = 0
x2 + 2x + y – 4 = 0 x2 + 2x + y – 4 = 0
3) ( 3) 3
1
+ = + 4)
2
4
1
2 1 0
yx
=
− + =
5) (x + 1)2 y – 3 (x + 1) y + 4 = 0 6) x2 y2 + 3xy – x – 1 = 0
xy + y – x – 2 = 0 xy – x – 1 = 0
3 Hệ có một phơng trình đa về dạng tích.
1) x2 – x2 y + 4y = 4 2) 6x2 – 3xy + x = 1 - y
x2 + y2 = 2 x2 + y2 = 1
Trang 2Chuyên đề Hệ Phơng Trình Nguyễn Văn Đắc
3) xy - x - 2y + 2 = 0 4)
1 1
x y
x2 + 2xy = 3
5) x2 + y2 = 2 6) x2 + 3x – 2y – 2 = 0
x + y + 2xy – xy (x + y) = 2 x2 (4x2 + 4y – 1) = y (3y + 4x)
7)
= + +
−
+ +
= + +
4 3 2
2
) 5 )(
3 ( ) 3 )(
1
(
y x
y y x
x
*8)
=
− +
−
−
=
−
−
−
− + +
1 2 2 2 1 2
1 2
2
2 2
y x
xy y x y x xy y
x
4 Hệ đa về các dạng trên bằng phép cộng đại số
1) x2 + 2y2 – 3x + 2y = 10 2) 4x2 - x – y – 6 + 4xy = 0
2x2 + 4y2 + x – 3y = 13 x2 + 2x + y – 5 + xy = 0
3) x2 + 2xy = 3 4) x2y + 2xy2 = y + 2x
2x + x2y = 3 x2y2 + 2xy = y + 2x
5) x2 y + 2x + 3y = 6 6) 3y2 + 4x – 2y – 5 = 0
3xy + x + y = 5 2x2 + 3y2 – 2xy + 2x – 5 = 0
III Giải hệ bằng phép đặt ẩn phụ
1 Hệ đối xứng loại 1:
1) x + y + 2xy = 4 2) x2 + x2 + y2 + y = 4
x2 + y2 + x + y = 4 x (x + y + 1) + y (y + 1) = 5
3) x2 + y2 + xy = 7 4) x + y + xy = 3
x2 + y2 + xy + x + y = 10 x3 + y3 + x2 + y2 = 4
5) x2 y + y2x = 20 6) x y+ − xy =4
x3 + y3 = 65 x+ +5 y+ =5 6
7) x2+y2 + 2xy =8 2 8)
2
5
= +
x
y y x
x+ y =4 x2+y2+xy=21
9) 2 2 1 1
4
+ + + = 10) (x – y) xy = 2
x y 2
y+ =x x2 + y2 +x + y = 8
2 Một số phép thế biến cơ bản
1) 2 (x – y) + xy = 1 2) x – y + xy = 2
x2 + y2 = 2 x2 + y2 = 5
3) 26
5
y+ =x 4) 2
2
1 1
4
x2 – y2 = 24 2
2
(x )(x ) 4
Trang 3Chuyên đề Hệ Phơng Trình Nguyễn Văn Đắc
5) x2 + y2 = 1 6) x x y y+ =2 xy
x y+ + x y− =2 x+ y =2
7) x + y + x2 y2 = 3xy 8) x2 + y2 + xy = 3x2 y2
1 1 xy 1
x+ −y = x2 + y2 – xy = x2 y2
9) x y x y 4
+ + + = 10) x2 y2 + xy2 + y + 1 = 4y2
4
x y
+ + + = x2 y2 + 2x2y + 2x + 1 = 4y2
11) x2 – xy + y2 = 3 (x – y) 12) (x y)(1 1 ) 4
xy
x2 + xy + y2 = 7 (x – y) 2 xy 1 x2 y2 4
+
13) (x y)(1 1 ) 5
xy
+ + = 14) (x y)(1 1 ) 6
xy
xy 1 4
xy
+ = 2 2 1 2
(x y )(1 ) 18
xy
15) 2 2 2
+ + 16) x2 y2 + y4+1 = 3y2
( )(1 1 )
xy y
x+ + =6 xy2 + x = 2y
17) 2x y 1 4
x
+ + = 18) x2 + y2 + x + y = 4xy
2 1
3
x
+ + = 1 1 y2 x2 4
3 Vui chơi cùng toán.
1) 2 (x2 + y2) + 2 (x + y) + xy (x + 1) (y + 1) = 12
x4 + y4 + 2x3 + 2y3 = 3 + x + y
2) 4x – 2x2 – 2y2 = 1 3) x2 + y2 + x – y + xy = 2
2x (x2 – y2) = 6 (x + y) (xy – x + y – 1) = 2
4) (x2 + x) (1 – 2y) + y2 + 4y = 18 5) 2x2 – 12x + 2xy + x2y + y = -2
x4 + 2x3 – x – 4y = -14 x4 + x2 y2 + x3y + xy = 10x2 – 1
V Sử dụng phơng pháp cộng đại số và biến đổi đẳng thức.
1 Hệ đối xứng loại 2:
1) x2 + y = 2 2) x2 + xy + x = 10
y2 + x = 2 y2 + xy + y = 10
Trang 4Chuyên đề Hệ Phơng Trình Nguyễn Văn Đắc
3) x2 – 2y2 = 7x 4) x3 = 2y - x
y2 – 2x2 = 7y y3 = 2x – y
5) 3x3 = x2 + 2y2 6) 2
2
2
3y y
x
+
=
3y3 = y2 + 2x2 3x x2 22
y
+
=
7) x3 + 3y2x = 4 8) x− y+ = −5 3
y3 + 3x2y = 4 y− x+ = −5 3
9) x+ +5 y− =2 7 10) x+ y+ =5 1
x− +2 y+ =5 7 y+ x+ =5 1
11) 3
2
x+ y = 12) 2
x− − y + = −
y+ x3 =2 y− −1 x2+ = −3 2
13) x− −1 y+ = −2 1 14) Giải và biện luận x2 + y = m
y− −1 x+ = −2 1 y2 + x = m
2 Giải hệ bằng phơng pháp cộng đại số.
1) 3x2 + 2x + 2y – 7 = 0 2) -x2 + 3y2 + 2x + y = 5
x2 + 6x + y – 8 = 0 -2x2 + 6y2 + 4x – y = 7
3) xy + 2y2 + x – 4y = 0 4) x2 + y2 + xy (x + y) = 4xy
2xy – y2 + x – 2y = 0 x2 + y2 = xy (x + 1)
5) xy2 + x2 + xy – 4x = -1 6) x2 + 2xy + y = 4
xy2 – x2 + 2xy – 3x = -1 x2 + xy + 4x – 7y = 3
7) 3x2 + 3xy + 4x – 7y = 3 8) 2x2 + y = 3
y2 + 2x2 + 2x – 3y = 2 x2 + xy + x = 3
3 Hệ đẳng cấp.
a) Hệ đẳng cấp.
1) x2 + y2 + xy = 3 2) x3 + y3 = 2x
x2 – y2 + xy = 1 x3 – y3 = x
3) x2 + y2 + 2xy = 4 4) 2 2
x
x2 – y2 + xy = 1 2 2
y
5) x2 + 3y2 – 3xy = 1 6) 2x2y + xy2 = 15
2x2 + y2 – xy = 2 8x3 + y3 = 35
7) 2x2 + 3y2 – 3xy = 8 8) x3 + 3y2x = 4
Trang 5Chuyên đề Hệ Phơng Trình Nguyễn Văn Đắc
2x2 + y2 + xy = 2 y3 + 3x2y = 4
9) 4x2 + 2xy = 3 10) (x – y) (x2 – y2) = 7
y2 + 2xy = -2 (x + y) (x2 + y2) = 175
11) (x – y) (x2 + y2) = 13 12) xy (x + y) = 6
(x + y) (x2 – y2) = 25 x3 + y3 = 9
b Hệ đa về dạng đồng bậc.
1) x2 + y2 – xy = 1 2) x2 + y2 + xy = 3
2x3 = x + y x3 + 2y3 = y + 2x
3) x3 + 2y3 = 2x 4) x3 + y3 = 2x2 y2
2x3 – y3 = x 2y + x = 3xy
5) 2x2 + 2y2 = 1 + 2x + y 6) x2 + y2 + xy + 2y + x = 2
6xy – 2y2 = 1 + 2x + y x2 = 1 + y2 + y
7) x2 (1 + y2) = 2 8) x2 + 2y2 + 2x + 8y + 6 = 0
x2 y2 + xy = 3x2 – 1 x2 + xy + y + 4x + 1 = 0
9) 2x2 + 2xy + y = 5 10) x2 + y2 + xy + x + 2y = 2
y2 + xy + 5x = 7 2x2 – y2 + xy + x – 2y = 1
V Giải hệ bằng phơng pháp đánh giá
1) x+ x+ y+ =1 1 2) x2 + y2 = 1
y+ y+ x+ =1 1 x10 + y10 = 1
3) x+ y =1 4) x+ 2−y2 =2
x4 + y4 = 1 2
5) x+ x2+ =1 y− +1 y2−2y+2
x2 + 2y2 + 3xy + 2y = 4
6) x+ +1 x+ +3 x+ =8 y+ +3 y+ +6 y+11
x2 + y2 – xy + 3x – 10 = 0
7)
= +
−
+
= +
2 1
2
2
4
y x
y y x
x
8)
= + +
+ + + +
= + +
7
8 4 4
8
2
2 2
y y x
y y y y x
x
9)
= +
+ +
+
= +
+
2012 2010
) 2010 ) (
2 )(
1 ( ) 2009 ) (
1
(
y x
y y
y x
x
x
10)
= + + + + +
+
= +
12 )
2 3 3 (
2 3
3
2 2
y x y
x xy y x
y x
VI Hệ phơng trình trong các đề thi tuyển sinh.
A Hệ phơng trình trong các đề thi tuyển sinh ĐH- CĐ 2002-2009
1) (KB 2002) 3 x y− = x y− 2) KA 2003 x 1 y 1
− = −
x y+ = x y+ +2 2y = x3 + 1
3) KB 2003 2
2
2
3y y
x
+
= 4) KD 2004 (Tìm m để hệ có nghiệm) x+ y =1
Trang 6Chuyên đề Hệ Phơng Trình Nguyễn Văn Đắc
2
2
2
3x x
y
+
= x x y y+ = −3m 5) TK 2x y+ + −1 x y+ =1 6) TK x2 + y2 + x + y = 4
3x + 2y = 4 x (x + y + 1) + y (y + 1) = 2
7) KA 2006 x y+ − xy =3 8) TK x2 + 1 + y (x + y) = 4y
x+ +1 y+ =1 4 (x2 + 1) (y + x – 2) = y
9)TK x3 - 8x = y3 + 2y 10) TK x2 – xy + y2 = 3 (x – y)
x2 – 3 = 3 (y2 + 1) x2 + xy + y2 = 7 (x – y)2
11) TK 2x2 y + xy2 = 15 12) TK xy + x2 = 1 + y
8x3 + y3 = 35 xy + y2 = 1 + x
13) KA 2008 2 3 2 5
4
x + +y x y xy+ +xy= − 14) KB 2008 x4 + 2x3y + x2y2 = 2x + 9
4 2 5
(1 2 )
4
x +y +xy + x = − x2 + 2xy = 6x + 6 15) KD 2008 xy + x + y = x2 – 2y2 16) TK x + y + xy = 3
x 2y y x− − =1 2x−2y x2y + y2x = 2
17) TK 3( x+ y) 4= xy 18) TK x2 + y2 + x + y = 8
xy = 9 xy + x + y = 5
19) TK x2 + y2 + 4 (x + y) = -7 20) TK x2 + y2 = 3
xy = 6 x+ +y 3xy= +1 4 2
21) TK x3 + 1 = 2y 22) TK x2+y2 + 2xy =8 2
y3 + 1 = 2x x+ y =4
23) TK 2x y 32
x
+ = 24) TK 5
2
2y x 32
y
21
25) KB2009 xy+x+1=7y 26) KD2009 x(x+y+1)+3=0
x2y2+xy+1=13y2 (x+y)2- 52
B Hệ phơng trình trong các đề thi vào các trờng ĐH - CĐ trớc 2002
1) x+ y+ =9 9 2) 1 1 1
x+ =y 3) x+ 2− =y 2
x+ +9 y =9 x2+xy y+ 2 =12 2− +x y = 2
Trang 7Chuyên đề Hệ Phơng Trình Nguyễn Văn Đắc
4) x+4 y−1=1 5) x 3y 4y
x
− = 6) x3 – y3 = 7
y+4 x−1=1 y 3x 4x
y
− = xy (x – y) = 2 7) x3 = 3x + 8y 8) x + xy + y = 3 9) x y y x+ =30
y3 = 3y + 8x xy (x + y) = 2 x x y y+ =35
10) / 2x – y / - 2 / y – x / = 1 11) x2 – xy + y2 = 19
3 / 2x – y / + / x – y / = 10 x + xy + y = -7
12) x2 + y2 – 3x + 4y = 1 13)
2
5 2
+ + = − +
3x2 – 2y2 – 9x – 8y = 3 3
2
x
+
14) (2x + y)2 – 5 (4x2 – y2) + 6 (2x – y)2 = 0 15) 2y (x2 – y2) = 3x
2 1 3
2
x y
x y
− x (x2 + y2) = 10y
16) x2 y + y2 x = 30 17) x y+ − =1 1
x3 + y3 = 35 x y− + =2 2y−2
x + + + + +x y x y + + + + =x y y 19) (x y)(1 1 ) 5
xy
x2+ + + − +x y 1 x y2+ + + − =x y 1 y 2 2 2
2 2
1 (x y )(1 ) 49
x y
20) x + xy + y = 1 21) (x – y) (x2 – y2) = 3
y + yz+ z = 4 (x + y) (x2 + y2) = 15
z+ zx + x = 9
22) x+ +1 y− =7 4 23) x2 y2 – 2x + y2 = 0
y+ +1 x− =7 4 2x2 – 4x + y3 + 3 = 0
24) 2 2
12
x+ y −x = −y 25) x y 7 1
x y2−x2 =12 (x y+ ) xy =78
26) 2x 1 3
+ = 27) x + y = 9 28) x (x + 2) (2x + y) = 9
2y 1 3
+ = x2 + y2 = 41 x2 + 4x + y = 6
Trang 8Chuyên đề Hệ Phơng Trình Nguyễn Văn Đắc
29) 2 1
2x y
y
= + 30) x – xy – y = 1 31) x3 + y3 = 8
2 1
2y x
x
= + x2 y – xy2 = 6 x + y + 2xy = 2
32) x2 – 2xy + 3y2 = 9 33) x2 + y2 = 1 34) x3 – 3x = y3 – 3y 2x2 – 13xy + 15y2 = 0 x3 + y3 = 1 x6 + y6 = 1
35) (x – y)2 y = 2 36) x – y = 6 37) x+ y =2
x3 – y3 = 19 x3 – y3 = 126 x+ +3 y+ =3 4
38) x + y = 4 39) x y+ − x y− =2 40) x4 + y4 = 1
(x2 + y2) (x3 + y3) = 280 2 2 2 2
4
x +y + x −y = x6 + y6 = 1
41) x3 + 1 = 2y 42) 1 + x3 y3 = 19 x3 43) x+ +1 7− =y 4
y3 + 1 = 2x y + xy2 = - 6 x2 y+ +1 7− =x 4
44) x5 + y5 = 1 45) / xy – 10 / = 20 – x2 46) 5
4
x y xy+ + =
x9 + y9 = x4 + y4 xy = 5 + y2 2 2 1
4
47) x y y x+ =6 48) x+ +9 y− =7 4 49) x2 + xy + y2 = 4
x y y x2 + 2 =20 y+ +9 x− =7 4 x + xy + y = 2
50) 2x 2y 3
y + x = 51) 2xy = x + y + 1
x y xy− + =3 2yz = y + z + z
2zx = z + x + 2
53 22 1
+ = + a) CMR hệ luôn có nghiệm ∀x
1 b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
54 Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
5( ) 4 4
1
+ − = −
55 Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất
4 4
Trang 9Chuyên đề Hệ Phơng Trình Nguyễn Văn Đắc
56 Cho 2
y y m
+ =
a) Giải hệ với m =4
b) Tìm m để hệ có nhiều hơn 2 nghiệm
57
a) Giải hệ với m = 0
b) Tìm m để hệ có nghiệm
58 Tìm k để hệ có nghiệm duy nhất x2 + y2 = 1
x – y = k
59 Cho a ≠ 0 xét hệ phơng trình
3
2
3
2
0
a
x y
x a
x fy
y
+ − =
CMR hệ có nghiệm duy nhất khi a > 0 Điều đó còn đúng không khi a < 0?
60 Giải và biện luận 3
− =
61 Giải và biện luận:
1
2 5 2
2 2
a
+ + =
−
−
62 Tìm m để hệ (m + 1) x – my = 4 có nghiệm (x, y) thoả mãn x - y < 2
3x -5y = m
63 Cho xy + x2 = m (y – 1) a) Giải hệ với m = -1
xy + y2 = m (x – 1) b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
64 (x2 – y2 + a (x + y ) = x – y + a a) Giải hệ với a = b = 1
x2 + y2 + bxy = 3 b) Tìm tất cả các giá trị của a và b để hệ có nhiều hơn nghiệm phân biệt
65 Tìm a, b để hệ có nghiệm (a + b) x + (a – b) y = 2a
(a2 + b2) x + (a2 – b2) y = 2a2
66 x + y + x2 + y2 = 8 a) Giải hệ với m = 12
xy (x + 1) (y + 1) = m b) Tìm m để hệ có nghiệm
67 Biết hệ
=
−
= + + +
b x y
b y x y x
có nghiệm với mọi giá trị của b Chứng minh a = 0
68 Tìm b để với mọi giá trị của b hệ có nghiệm x + 2ay = b
ax + (1 – a) y = b2
69 x2 + y2 = m a) Giải hệ với m = 1
x + y – xy = 1 b) Tìm m để hệ có nghiệm
Trang 10Chuyên đề Hệ Phơng Trình Nguyễn Văn Đắc
70 Tìm m để hệ có nghiệm 4 1 4
3
− + − = + =
71 Tìm m để hệ có nghiệm 5 (x + y) – 4xy = 4
x + y – xy = 1 – m
72 Tìm m để hệ có nghiệm x + y = 4
x2 + y2 = m
73 x + y = m + 1 a) Giải hệ với m = 3
x2y + y2x = 2m2 – m – 3 b) CMR với mọi m hệ trên luôn có nghiệm
74 Tìm m để hệ có nhiều duy nhất
7 7
75 Tìm a để hệ có đúng 1 nghiệm
2
3 / /
76 Tìm a để hệ sau có nghiệm 2
2 ( 1) 2
x y
+ ≤
77 2 2 1 ( 1) 1
1
x y xy
+ = + a) Giải hệ với R = 0 b) Tìm R để hệ có nghiệm duy nhất
78 Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất
2
2
( 1) ( 1)
+ = + + = +
2
2
( 1) ( 1)
+ = + + = +
79 Tìm m để hệ có nghiệm
2
1
m
m
−
80 Tìm a để hệ có nghiệm (x, y) thoả x ≥ 4 3
81 1 2
+ + − =
+ + − = (m ≥ 0) a) Giải hệ với m = 9 b) Tìm m để hệ có nghiệm?
82 2 2 6 2
x y a
+ =
+ = − a) Giải hệ với a = 2 b)Tìm min của F = xy + 2 (x + y) với (x, y) là nghiệm của hệ trên.
83
1
x y
+ = Tìm m để hệ có 3 nghiệm (x1; y1), (x2; y2), (x3, y3) với x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng
và trong 3 nghiệm đó có 2 số có trị tuyệt đối > 1