Hệ thống bài tập về phương trình và hệ phương trình

Đối với học sinh, ngoài việc truyền đạt những kiến thức, kĩ năng toán học theo yêu cầu của nội dung chương trình giáo khoa đại trà chúng ta còn rất cần đầu tư bồi dưỡng cho một bộ phận h

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

- Trong quá trình giảng dạy việc đánh giá chất lượng, năng lực tư duy, hay khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh đối với bộ môn Toán chủ yếu thông qua giải bài tập Thông qua việc giải bài tập nhằm củng cố hoàn thiện khắc sâu nâng cao những nội dung kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng, thuật giải, nguyên tắc giải toán Đối với học sinh, ngoài việc truyền đạt những kiến thức, kĩ năng toán học theo yêu cầu của nội dung chương trình giáo khoa đại trà chúng ta còn rất cần đầu tư bồi dưỡng cho một bộ phận học sinh khá, giỏi đây là một việc rất cần thiết và phải được tiến hành

thường xuyên ở trong các nhà trường THCS Nhằm tạo điều kiện để cho họcsinh phát huy được năng lực trí thông minh sáng tạo, giúp nâng cao chất lượng mũi nhọn, bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi các cấp, phát triển nhân tàicho đất nước

- Một trong những vấn đề kiến thức quan trọng đối với học sinh THCS cần nắm vững đó là giải các bài tập về “phương trình và hệ phương trình” nhưng nội dung chương trình sách giáo khoa mới chỉ quan tâm hướng dẫn học sinh cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, những phương trình và hệ phương trình khác thì còn ít dạng, bài tập còn ít và dễ do các yêu cầu về nội dung chương trình khung của Bộ giáo dục

đề ra Chưa đáp ứng được yêu cầu học tập nâng cao tri thức, kĩ năng của những em học sinh có năng lực học tập khá, giỏi Vì vậy, chúng ta cần quan tâm đến việc hướng dẫn, bồi dưỡng cho học sinh cách giải các dạng phươngtrình và hệ phương trình Bởi vì dạy giải các dạng phương trình và hệ

phương trình này là vấn đề giải các bài tập có đặc thù riêng Lí thuyết chỉ dạy về phương trình bậc nhất, bậc hai, hệ phương trình bậc nhất nhưng ở

đưa về các dạng trung gian đã gặp trong chương trình lớp 8, lớp 9, những bài toán hay và khó đặc biệt thường gặp trong việc thi chọn học sinh giỏi, thi vào trường chuyên.

- Về hệ thống bài tập về phương trình và hệ phương trình trong sách giáokhoa, sách bài tập có nhiều đề cập tới nhưng chưa nhiều, chưa đa dạng, chưa

có sự hướng dẫn cụ thể nên chưa thực sự thuận lợi cho người dạy và người học tiếp thu và nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

Đóng góp tích cực vào việc cải tiến, đổi mới phương pháp dạy học Góp

phần rèn luyện các hoạt động trí tuệ của học sinh như phân tích, tổng hợp,…

Hệ thống hóa, phân loại các dạng phương trình và hệ phương trình

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tóm tắt lý thuyết cơ bản về phương trình và hệ phương trình

- Một số dạng bài tập về phương trình và hệ phương trình

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nội dung phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán ở THCS

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận

- Tham khảo thu thập tài liệu

- Nghiên cứu phân tích, tổng hợp

6 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, mục lục, đề tài có cấu trúc:

Chương 1 Lý thuyết về phương trình và hệ phương trình

Chương 2 Hệ thống các dạng bài tập về phương trình và hệ phương trình

g x x x được xem là các hàm một biến f x g x trong ( ) ( ), C Giả sử n

x x x trong không gian C thì (1) là phương trình của n ẩn x x1, , ,2 x n

Tập hợp các giá trị thừa nhận được của các đối số được gọi là miền xác định(tập xác định) của phương trình (1), đó là tập S D= 1∩D2

Nếu x lấy giá trị a S∈ mà f a( ) =g a( ) là một đẳng thức đúng thì a

được gọi là một nghiệm của phương trình (1), hoặc a thỏa mãn phương trình (1), hoặc phương trình (1) được thỏa mãn với x a=

* Có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau đây:

i Phương trình vô nghiệm: Trong trường hợp này, không có giá trị a

một mệnh đề sai với mọi a S∈ Nói khác đi, tập nghiệm của M của

phương trình (1) là rỗng: M = ∅

ii Bất kì giá trị a nào của x ( a S∈ ) cũng thỏa mãn phương trình, tức là

M = S Trong trường hợp này phương trình là hằng đẳng trên S

iii Có ít nhất một giá trị (nhưng không phải mọi giá trị) a S∈ thỏa mãn phương trình (M = ∅, M ⊂S).

Trong hai trường hợp ii và iii ta nói rằng phương trình có nghiệm Giải một phương trình là tìm tập hợp nghiệm M của nó Nếu M được biểu thị bởi một hay nhiều công thức thì chúng được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình M có thể là một tập hữu hạn hay vô hạn

Trong tất cả các định nghĩa trên, thay cho trường C, ta có thể lấy một trường số K bất kì (có thể là Q, R) làm trường cơ sở Khi đó cần chú ý rằng

tập hợp nghiệm của phương trình phụ thuộc vào trường cơ sở

Ví dụ Phương trình: (x2 −3)(x2+ =4) 0

vô nghiệm trên Q, tập nghiệm trên R là { 3,− 3} , tập nghiệm trên C là

{ 3;− 3;2 ; 2i − i}

b) Phân loại phương trình

Nếu cả hai biểu thức f x và ( ) g x đều là biểu thức đại số thì (1) là ( )

phương trình đại số, trong trường hợp trái lại thì (1) là phương trình siêu việt

Nếu cả hai biểu thức f x và ( ) g x đều là biểu thức đại số hữu tỉ (đa ( )

thức hoặc phân thức hữu tỉ) thì (1) được gọi là phương trình đại số hữu tỉ Đặc biệt, nếu f x và ( ) g x đều là đa thức (biểu thức hữu tỉ nguyên) thì (1)( )

được gọi là phương trình đa thức hoặc phương trình đại số nguyên Nếu trái lại, ít nhất một trong hai biểu thức f x hoặc ( ) g x là phân thức hữu tỉ ( )

thực sự và biểu thức còn lại là đa thức thì (1) được gọi là phương trình phân thức.

Nếu ít nhất một trong hai biểu thức f x hoặc ( ) g x là đại số vô tỉ (tức( )

là có chứa căn số của ẩn) và biểu thức còn lại là hữu tỉ thì (1) được gọi là phương trình vô tỉ

- Phương trình siêu việt: sinx c+ os x=1.

c) Phương trình chứa tham số

Cho hàm số f x , ngoài đối số ra còn có các chữ a, b, c, …Nếu trong ( )

việc khảo sát và nghiên cứu, ta xem các chữ a, b, c, … như là đã biết thì chúng được gọi là tham số, hay thông số, hay tham biến

Phương trình f x a b( , , , ,c) =0 với ẩn số x C∈ n và các tham số a, b,

…, c được gọi là phương trình chứa tham số

Ví dụ Phương trình: 1−a x2 2 + −(b a x) + b2 −a2 =0

chứa các tham số a, b

d) Hệ phương trình

Cho m phương trình f x1( ) =g x f x1( ) ( ), 2 =g x2( ), , f x m( ) =g x m( ) , miền xác định lần lượt là S S1, , ,2 S m

trong đó mỗi phương trình đều được xét trên miền xác định chung của hệ (

Một giá trị a S∈ của x làm cho từng phương trình đều trở thành đẳng

thức đúng: f a i( ) =g a i i( ), =1,2, ,m, được gọi là một nghiệm của hệ (*) Trong trường hợp này , ta nói hệ phương trình có nghiệm Nếu mỗi phương trình f x i( ) = g x i( ) có tập hợp nghiệm là M , thì tập hợp nghiệm của hệ là i

Định nghĩa 1 P x được gọi là hệ quả của 2( ) P x trên S nếu tập 1( )

nghiệm M của 1 P x là tập can của tập nghiệm 1( ) M của 2 P x ,2( )

M1⊆M2

Ta kí hiệu P x1( ) ⇒P x2( ) (trên S)

Định nghĩa 2 P x và 1( ) P x được gọi là tương đương nếu 2( ) M = 1 M 2Nói khác đi, P x và 1( ) P x là tương đương trên S khi và chỉ khi 2( ) P x và1( ) ( )

2

P x là hệ quả của nhau.

Ta kí hiệu bởi: P x1( ) ⇔ P x2( ) hoặc P x ~ 1( ) P x 2( )

b) Các định lí về phương trình tương đương

Định lí 1 Cho phương trình f x( ) =g x( ) Nếu h x có nghĩa trong ( )

miền xác định của phương trình đã cho thì:

f x( ) =g x( ) ⇔ f x( ) ( )+h x =g x( ) ( )+h x

Định lí 2 Cho phương trình f x( ) =g x( ) Nếu biểu thức h x có ( )

nghĩa và khác không trong miền xác định của phương trình đã cho thì:

f x( ) =g x( ) ⇔ f x h x( ) ( ) =g x h x( ) ( )

Định lí 3 Nếu nâng hai vế của một phương trình lên lũy thừa bậc lẻ thì

ta được một phương trình tương đương với phương trình đã cho (trên trường

số thực)

* Hai quy tắc cơ bản biến đổi tương đương phương trình:

• Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó

• Quy tắc nhân với một số:

o Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một

số khác 0

o Hoặc: Trong một phương trình, ta có thể chia cả hai vế cho cùng một số khác 0

* Chú ý: Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hoặc quy tắc nhân

với một số, ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

* Các phép biến đổi phương trình khác:

Muốn giải phương trình, ta phải biến đổi phương trình đó thành các phương trình tương đương với nó Tuy nhiên, nhiều khi để giải phương trình, ta phải thực hiện những phép biến đổi khác Do đó cần chú ý có những phép biến đổi có thể làm mất nghiệm hoặc làm xuất hiện thêm

nghiệm (nghiệm ngoại lai) của phương trình Các phép biến đổi không tương đương đó cùng với cách giải quyết được hệ thống ở bảng sau:

Phải đặt điều kiện cho phân thức có nghĩa (tìmĐKXĐ của phương trình), hoặc thử lại giá trị tìm được của ẩnNhân 2 vế của phương

trình với cùng một đa thức chứa ẩn

Phải đặt điều kiện cho

đa thức khác 0, hoặc thử lại giá trị tìm được của ẩn

Bình phương (hoặc lấy lũy thừa chẵn) hai vế của phương trình

Phải thử lại giá trị tìm được của ẩn

Phép biến đổi có thể

làm mất nghiệm

Chia 2 vế của phương trình cho cùng một đa thức chứa ẩn

Phải đặt điều kiện cho

đa thức khác 0, rồi xét trường hợp đa thức bằng 0, hoặc đưa về phương trình tích

Bỏ lũy thừa chẵn (hoặc khai căn bậc chẵn) của phương trình dạng

Phải thay bằng hai phương trình

c) Các định lí về hệ phương trình tương đương

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

, , , , , 0, , , 0

n n

CHƯƠNG 2 HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG

• Nếu b=0, phương trình nghiệm đúng với mọi x R∈

• Nếu b≠0, phương trình vô nghiệm

 Với a b= =0, phương trình nghiệm đúng với mọi x R∈

 Với a=0 và b≠0, phương trình vô nghiệm

Ví dụ Giải và biện luận phương trình:

m x2 + =6 4x+3 m

Giải:

Viết lại phương trình dưới dạng:

=+

 Với m=2, phương trình nghiệm đúng với mọi x R∈

 Với m= −2, phương trình vô nghiệm

* Chú ý:

- Trong quá trình biến đổi:

+ Chuyển vế một hạng tử phải đổi dấu

+ Chỉ được cùng nhân hoặc cùng chia với một số khác 0

2.1.2 Phương trình bậc nhất một ẩn thỏa mãn điều kiện K

a b

a b a b

2.2.1 Giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn

• Nếu c=0, phương trình nghiệm đúng với mọi x R∈

• Nếu c≠0, phương trình vô nghiệm

 Với a b c= = =0, phương trình nghiệm đúng với mọi x

 Với a b= =0 và c ≠0, phương trình vô nghiệm

c

 Với a≠0 và ∆ <0, phương trình vô nghiệm.

 Với a≠0 và ∆ =0, phương trình có nghiệm kép:

• Với m= ⇒ ∆ =0 ′ 0, do đó phương trình có nghiệm kép x=0

• Với m≠ ⇒ ∆ <0 ′ 0, do đó phương trình vô nghiệm

2.2.2 Dùng đồ thị để giải phương trình bậc hai

Bài toán: Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình

Khi đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của Parabol (P):

2 4

y x= − x và đường thẳng (d): y m= .

Ta được:

 Với m< −4, phương trình vô nghiệm

 Với m= −4, phương trình có nghiệm kép x0 =2

 Với m> −4, phương trình có hai nghiệm phân biệt

Đảo lại, nếu hai số ,x y thỏa mãn x y S+ = và xy P= thì ,x y là nghiệm

của phương trình bậc hai X2 −SX+ =P 0

Hệ quả 1) Nếu a b c+ + =0 thì phương trình có một nghiệm bằng 1, và

- Muốn chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm, có hai nghiệm phân biệt, vô nghiệm ta chứng minh ∆ luôn không âm, luôn dương, luôn âm.

- Muốn tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm, vô nghiệm tagiải bất phương trình

Vậy với m=0 phương trình có nghiệm duy nhất

Dạng 2 Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm

Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x của phương trình2

- Kiểm tra điều kiện có nghiệm Tính tổng và tích hai nghiệm theo Viet

- Biến đổi biểu thức về dạng toàn tổng và tích hai nghiệm

Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x 2

theo S và P, ví dụ:

- Nếu gặp hiệu, căn thì tính bình phương rồi suy ra.

- Nếu biểu thức không đối xứng thì có thể dùng

2 2

- Nếu mũ quá lớn thì có thể nhẩm nghiệm

- Ngoài ra ở những bài khó cần khéo léo vận dụng linh hoạt

Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số (giả

sử tham số là m), ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có hai nghiệm

m

m m

Đây chính là hệ thức cần tìm.

Dạng 4 Tìm tham số biết một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

* Phương pháp giải:

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x x 1, 2

Bước 3 Biến đổi tương đương hệ thức về dạng toàn tổng và tích hai

nghiệm Nếu không được thì giải hệ

* Chú ý:

- Phải đối chiếu với điều kiện có nghiệm

- Nếu hệ thức chứa hiệu, căn thì có thể bình phương; chứa dấu giá trị tuyệt đối thì có thể thành hai phần

m m

Dạng 6 Xét dấu các nghiệm của phương trình

• Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1< <0 x2 ⇔ <P 0

• Phương trình có hai nghiệm cùng dấu 0

P S

P S

P S

Cách 2: Trước hết phải có ∆ ≥0, khi đó phương trình có ít nhất 1 nghiệm không âm nếu:

S >0 (trường hợp này tồn tại nghiệm dương)

Hoặc S =0 (trường hợp này tồn tại nghiệm không âm)

Hoặc S <0,P≤0 (trường hợp này tồn tại 1 nghiệm bằng 0)

Tùy theo đầu bài mà chọn cách xét P hay S

m m

Vậy với 0< <m 1 phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

Dạng 7 Nghiệm chung của hai phương trình

Ví dụ Cho hai phương trình

0

0

1(1 )( 1) 0

• Với x0 =1, thay vào (1) ta được a= −2

Khi đó hai phương trình có dạng:

x2 + − =x 2 0

x2 −2x+ =1 0

và dễ thấy chúng chỉ có một nghiệm chung là x=1

Dạng 8 Hai phương trình tương đương

Học sinh hay nhầm lẫn vấn đề sau: Khi tìm ra hai phương trình vô

nghiệm thường vội kết luận ngay là hai phương trình đó không tương đươngvới nhau

Hai phương trình trên tương đương trong hai trường hợp:

• Trường hợp 1: Phương trình (1) và phương trình (2) vô nghiệm

2 1

2 2

• Trường hợp 2: Phương trình (1) và phương trình (2) cùng có nghiệm

m

m m

Vậy với m=2 thì 2 phương trình đã cho tương đương với nhau

 Với loại toán này ta cần lưu ý học sinh: Khi cả hai phương trình vô nghiệm thì hai phương trình đó cũng là hai phương trình tương đương Cho nên với một số bài toán ta phải xét hai trường hợp, trường hợp cả hai

phương trình vô nghiệm và trường hợp cả hai phương trình có cùng một tập hợp nghiệm

Dạng 9 Giải bài toán hàm số

Ví dụ Cho Parabol (P) có phương trình

( )P y x: = 2

Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1, 2 Viết phương trình đường thẳng AB

Giải:

Cách 1 Cách giải thông thường

Từ giả thiết, ta được: A (-1, 1) và B(2, 4)

Phương trình đường thẳng AB được cho bởi:

Giả sử phương trình đường thẳng (AB): y ax b= +

Phương trình hoành độ giao điểm của (AB) và (P) là:

x2 =ax b+ ⇔ x2 −ax b− =0

Ta có: x A = −1 và x B =2 là nghiệm của phương trình và theo Viet ta được:

1 2

(Trong đó: A x A x1( ) ( ), 2 , ,A x là các đa thức bậc không lớn hơn 2) n( )

Ta giải n phương trình (1), (2), …, (n) rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng

Ví dụ Giải các phương trình

a) (3x2−5x+1)(x2 − =4) 0 b) ( 2 )2 2

2x + −x 4 =4x −4x+1Giải:

a) (3x2 −5x+1)(x2 − =4) 0

2 2

32

x x

2.4 Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Loại phương trình này, học sinh cũng đã được làm quen từ lớp 8 và đây cũng là một dạng phương trình thường gặp trong chương trình Toán THCS

2.4.1 Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

* Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức:

Bước 1 Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình

Bước 2 Quy đồng mẫu thức ở hai vế rồi khử mẫu thức.

Bước 3 Giải phương trình vừa nhận được

Bước 4 Nghiệm của phương trình là các giá trị tìm được của ẩn thỏa mãn điều kiện xác định

Ví dụ 1 Giải phương trình chỉ chứa một ẩn:

Vậy tập nghiệm của phương trình là S ={ }0

Ví dụ 2 Giải phương trình có chứa tham số:

⇔ − = − (3)

• Nếu a=3 thì (3) có dạng 0x=0, nghiệm đúng với mọi x thỏa mãn

điều kiện (2a), tức là x ≠ −3 và x a≠ (do a=3 nên điều kiện này là3

- Cách giải trên là cách giải thường dùng nhưng chỉ nên áp dụng với các phương trình mà sau khi quy đồng, khử mẫu 2 vế thì được phương trình bậc không lớn hơn 2, không phức tạp Đối với một số dạng phương trình chứa

ẩn ở mẫu đặc biệt, ta phải dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải

+ Điều kiện xác định: 1; 1

2

+ Ta thấy x=0 không là nghiệm của phương trình Chia cả tử và mẫu của

mỗi phân thức cho x≠0, ta được:

+ = (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

* Chú ý: Dùng phương pháp giải trên, chúng ta cũng giải được các phương

* Chú ý: Tìm tập xác định của phương trình để xét sự có nghiệm của

• 1

04

Để giải một phương trình bậc cao hơn 2 ta có thể:

Cách 1 Dùng phép thử trực tiếp để tìm ra một nghiệm đặc biệt.

Cách 2 Dùng phương pháp phân tích đa thức thành tích các thừa số bậc

thấp hơn

Cách 3 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.

* Chú ý:

i Nếu tổng các hệ số bằng 0, thì phương trình có một nghiệm x=1

(Với phương trình: ax3+bx2 + + =cx d 0 thì điều kiện là: