Coi phương trỡnh trờn là phương trỡnh ẩn t và tham số x.. Phương phỏp lụgarit hoỏ rất cú hiệu lực khi hai vế của phương trỡnh cú dạng tớch cỏc luỹ thừa nhằm chuyển ẩn số khỏi số mũ... Nh
Trang 1Tự Ô n thi đạ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
A PHƯƠNG TRèNH MŨ – LOGARIT
I MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI PHƯƠNG TRèNH MŨ
Phương trỡnh mũ cơ bản a x = m (0 < a≠ 1)
Nếu m≤0thỡ phương trỡnh a x = m vụ nghiệm
Nếu m > 0 thỡ phương trỡnh a x = m cú một nghiệm duy nhất⇔x=loga m
1 Phương phỏp ủưa về cựng cơ số
3
⇔
5 3
2
4
34
tan 7
3 8 7
7.3
7
2 7
Trang 2Tự Ô n thi đạ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
Đặt t = 3x-1(t > 0), phương trỡnh cú dạng 3t2 + (3x - 7).t + 2 – x = 0
Coi phương trỡnh trờn là phương trỡnh ẩn t và tham số x
Khi ủú biệt số ∆=(3x−5)2 Phương trỡnh cú hai nghiệm t = 1/3 và t = -x + 2
Với t = 1/3 thỡ 3 x-1 = 1/3 ⇔ x−1=−1 ⇔x = 0
Với t = -x + 2 thỡ 3 x-1 = 2 - x Ta thấy x < 1 thỡ 3x-1 < 1, cũn 2 - x > 1 suy ra phương trỡnh vụ nghiệm Vậy phương trỡnh cú một nghiệm x = 0
Vớ dụ 4: Giải phương trỡnh 2x2−5x+6 +21−x2 =2.26−5x +1
Lời giải Đặt u =2x2−5x+6, v =21−x2(u > 0, v > 0) Khi ủú u.v = 27-5x = 2.26-5x
Phương trỡnh trở thành u + v = u.v + 1 ⇔(u - 1)(v - 1) = 0⇔u =1 hoặc v = 1
a , ta thường chia cả hai vế cho v 2.f(x) Rồi ủặt
4 Đối với một số bài toỏn ta lựa chọn ẩn phụ và ủưa về phương trỡnh tớch (xem vớ
cos 2 sin 2
15
= +
x x x
x
3 Phương phỏp logarit hoỏ
Phương phỏp lụgarit hoỏ rất cú hiệu lực khi hai vế của phương trỡnh cú dạng tớch cỏc luỹ thừa nhằm chuyển ẩn số khỏi số mũ
=
x
Vớ dụ 2: Giải phương trỡnh 3 8x+ 2 =6
x x
Lời giải ĐK x? - 2 Lụgarit cả hai vế của phương trỡnh theo cơ số 3, ta ủược
02
2log21)1(2log12
−
⇔+
=+
+
x
x x
x
Lưu ý: Khi lấy lụgarit hoỏ hai vế, ta thường lụgarit theo cơ số ủó cú sẵn trong bài
Trang 3Tự Ô n thi đạ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
Bài tập tương tự:
1) 4 3 log 5
5 5
1
=
−
x x
x
; 4)
1 1
1 1
1 1
2
7 log 5 log2 3
+ +
−
− +
= +
−
x x
4 Phương phỏp hàm số
Cỏc bài toỏn dạng này thường ủược sử dụng một trong ba tớnh chất sau (chỳ ý hàm số
fc (x) liờn tục trong tập cỏc ủịnh)
Tớnh chất 1: Nếu hàm y = f(x) tăng hoặc giảm trong khoảng (a; b) thỡ phương trỡnh
f (x) = k ( k∈R )cú khụng quỏ một nghiệm trong khoảng c (a; b)
Tớnh chất 2: Nếu hàm y = f(x) tăng trờn khoảng (a;b) và y = g(x) là hàm giảm trờn (a;b)
Do ủú nếu tồn tại x0∈( )a;b ủể f (x 0 ) = g(x 0 ) thỡ ủú là nghiệm duy nhất của phương trỡnh
Tớnh chất 3: Nếu hàm số y = f(x) liờn tục, tăng hoặc giảm trờn (a;b) thỡ
f(u)= f(v)⇔u=v với mọi u,v ∈ (a; b)
Vớ dụ 1: Giải phương trỡnh 3x+1 = 3 - x
Lời giải ĐK x < 3
Nhận xột:
VT f(x) = 3 x+1 là hàm ủồng biến trờn R VP g(x) = 3 - x là hàm nghịch biến trờn R
x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trỡnh
Lời giải Chia cả hai vế của phương trỡnh cho 3x, ta ủược 1
3
83
+
+
1
<1 Với x < 2 thỡ
x x
+
Vậy phương trỡnh cú nghiệm x = 1
Vớ dụ 4: Giải phương trỡnh xlog29 = x2.3log2x −xlog23(1)
Lời giải Đk x > 0 ỏp dụng cụng thức b c b a
c
alog = log Khi ủú (1) ⇔ 2 log 2x x2 log 2x log 2x
3 3
.
3 = − (2) Đặt t = log2x suy ra x = 2t
Khi ủú phương trỡnh (2)⇔ 32t = 4t.3t - 3t⇔9t + 3t = 12t
Trang 4Tự Ô n thi đạ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
Chia cả hai vế cho 12t và ỏp dụng cỏch giải của vớ dụ 2
Bài tập tương tự: Giải cỏc phương trỡnh
1) 22x-1 + 32x + 52x+1 = 2x + 3x+1 + 5x+2; 2) x
x x
10 6
2 5 6
Vớ dụ 1: Giải phương trỡnh 2x2 = cos 2 x
Lời giải Ta cú x2 = 0 suy ra 3x2 ≥1≥cos2x
Phương trỡnh ủó cho tương ủương với hệ
2cos
01
2cos
1
x x
x x
x
Vậy phương trỡnh cú nghiệm x = 0
Lưu ý:
Ngoài phương phỏp nhận xột ủỏnh giỏ như trờn, ta cú thể sử dụng
Định lớ Rụn: Nếu hàm số y = f(x) lồi hoặc lừm trờn khoảng (a;b) thỡ PT f (x) = 0 cú khụng quỏ hai nghiệm thuộc (a;b)
Vớ dụ 2: Giải phương trỡnh 3x + 5x = 6x + 2
Lời giải Phương trỡnh trờn tương ủương với 3x + 5x - 6x – 2 = 0
Xột hàm số f(x) = 3x + 5x - 6x - 2, với x∈R
Ta cú f’(x) = 3x.ln3 + 5x.ln5 - 6, f’’(x) = 3x.ln23 + 5x.ln25 > 0 với mọi x∈R
Như vậy, hàm số y = f(x) liờn tục và cú ủồ thị lừm trờn R nờn theo Định lớ Rụn phương
trỡnh cú tối ủa 2 nghiệm trờn R
Nhận thấy f(0) = f(1) = 0 Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm x = 0, x = 1
Vớ dụ 3: Giải phương trỡnh 2003 x + 2005 x = 2.2004x
Lời giải Phương trỡnh ủó cho tương ủương với 2003x - 2004x = 2004x - 2005x
Gọi a là một nghiệm của phương trỡnh, khi ủú ta cú 2003 a - 2004a = 2004a - 2005a (2)
Xột hàm số f(t) = t a - (t + 1)a, với t > 0 Dễ thấy hàm số f (t) liờn tục và cú ủạo hàm trờn khoảng (2003; 2005) Do ủú, theo Định lớ Lagrange tồn tại c∈(2003; 2005) sao cho
f’(c) = 0
2003 2005
) 2003 ( ) 2005 ( ) (
Thử lại ta thấy x = 0, x =1 ủều thoả món
Lưu ý:
Bài toỏn trờn ta sử dụng Định lớ LagrangeB: Nếu hàm số y = f(x) liờn tục trờn ủoạn [a;b] và cú ủạo hàm trờn khoảng (a;b) thỡ tồn tại một ủiểm c∈( )a;b sao cho
a b
a f b
II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI PHƯƠNG TRèNH LOGARIT
Phương trỡnh logarit cơ bản cú dạng log a x = m Với mỗi giỏ trị tuỳ ý của m, phương trỡnh cú một nghiệm duy nhất x = a m
1 Phương phỏp ủưa về cựng cơ số
Nếu α > β 0 , > 0 thỡ logaα =logaβ ⇔α =β
Vớ dụ 1: Giải phương trỡnh
2
1)123
(
) 3 (x+ − x − x+ = (1)
Trang 5Tự Ô n thi đạ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
Lời giải Phương trỡnh (1) ⇔
−
−
≠+
<
31
23
1)3(0
2
x x
3
23
x x
23
x x
4(
4
23
2
x x x x
=+
2
;43
2
x
x
x x
Giải hệ tỡm ủược nghiệm
23
x x
2(
2
23
2
x x x x
=+
Vớ dụ 2: Giải phương trỡnh log3[1 + log3(2x - 7)] = 1 (1)
Lời giải (1) ⇔1 + log3(2x - 7) = 3 ⇔log3(2x - 7) = 2 ⇔2x-7 = 9 ⇔2x = 16 ⇔x = 4
Vớ dụ 3: Giải phương trỡnh log2x + log3x + log4x = log20x
Lời giải Đk: x > 0
Dựng cụng thức ủổi cơ số, ta ủược log2x + log2x.log32 + log2x.log42 = log2x.log202
⇔ (1 +log32 + log42 - log202).log2x = 0 ⇔log2x = 0 ⇔x = 1(t/mủk)
x f
) ( ) (
1 ) ( 0
x x
Với ủiều kiện trờn phương trỡnh tương ủương với
log2 x+1+2=log2(4−x)+log2(x+4)
⇔ log2 x+1.4=log2(16−x2)⇔ 2
164
x+ = − (2)
Nếu x = -1 thỡ (2) ⇔x2 + 4x – 12 = 0⇔x = 2 hoặc x = -6 Kết hợp ủk ta ủược x = 2 Nếu x < -1 thỡ (2) ⇔x2 - 4x – 20 = 0⇔ x=2±2 6
Kết hợp ủiều kiện ta ủược x =2−2 6
Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm x =2 và x=2−2 6
Lưu ý:
Điều kiện của PT chưa ủảm bảo x > 0 thỡ log a x 2 = 2.loga x
Bài tập tương tự:
Trang 6Tự Ô n thi đạ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
2
1 log
2
1 6 5
Đặt t = log2(2x - 1) Phương trỡnh (1) trở thành t2 + t – 2 = 0⇔t = 1 hoặc t = -2
Với t = 1 thỡ log2(2x - 1) = 1 ⇔2x – 1 = 2⇔2x = 3⇔x = log23(tmủk)
Với t = -2 thỡ log2(2x - 1) = -2 ⇔2x – 1 = 1/4⇔2x = 5/4⇔x = log25/4(tmủk)
Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm x = log23 và x = log25/4
Vớ dụ 2: Giải phương trỡnh log23 x+ log23 x+1−5=0
Lời giải Đk:x > 0 Đặt t = log23 x+1, t = 1
Phương trỡnh trở thành P2 + t – 6 = 0 ⇔t = 2 hoặc t = 3 < 0 (loại)
Với t = 2 thỡ log32x+1=2⇔log3
3log
Vớ dụ 3: Giải phương trỡnh log 2x-1 (2x2 + x - 1) + log x+1 (2x - 1)2 = 4
Lời giải Phương ⇔ log2x-1(2x - 1).(x + 1) + logx+1(2x -1)2 = 4 (1)
<
02
1112
0
110
x x
x
(*) Với ủiều kiện (*),phương trỡnh pt (1) ⇔log2x-1(x + 1) + 2logx+1(2x - 1) – 3 = 0
Đặt t = log 2x-1 (x + 1), do ủiều kiện (*) nờn t≠0
Phương trỡnh trở thành + 2− 3 = 0
t
t ⇔t2 - 3t + 2 = 0 ⇔t = 1 hoặc t = 2
Với t = 1 thỡ log2x-1(x + 1) = 1⇔x + 1 = 2x - 1⇔x = 2 (tmủk)
Với t = 2 thỡ log2x-1(x + 1) = 2 ⇔x + 1 = (2x - 1)2⇔4x2 - 5x = 0 ⇔x = 0(loại)
hoặc x = 5/4(tmủk).Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm x = 2 và x =5/4
Lưu ý:
1 Trong phương trỡnh cú chứa căn thỡ cỏch ủặt ẩn phụ cần khộo lộo ủặt ủể pt của
ẩn phụ khụng cũn chứa căn Đối với vớ dụ 2 nếu ta ủặt t =log 3 x thỡ pt vẫn chứa căn, nhưng nếu ủặt t = log23 x+1,thỡ PT của ẩn phụ rất ủơn giản
2 Nếu PT cú chứa log a b và log b a thỡ ta ủặt log a b=t thỡ log b a =1/t (xem vớ dụ 3)
Vớ dụ 4: Giải phương trỡnh ( )log ( )log 2
12
2.2
2+ 2x +x − 2x = +x (1) Lời giải Đk x > 0 Đặt t = log2x suy ra x = 2t
Phương trỡnh (1) trở thành ( ) (t t )t 2t
2122.22
2+ + − = + (2) Nhận xột: ( ) (t )t t
2222
2+ − = , nờn pt (2) tương ủương với
22
2.2
2
++
t
t t t
22
122212
−+
t
Trang 7Tự Ô n thi đạ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
22
41
12
=
+
1224
122
t t
t
Với t = 0 thỡ x = 1 Vậy phương trỡnh cú nghiệm x = 1
Vớ dụ 5: Giải phương trỡnh log 14log 40.log4 0
3 16 2
2
=+
Lời giải Đk: x > 0, x≠ 1/4, x≠ 1/16, x≠ 2 (*)
Với ủiều kiện trờn phương trỡnh tương ủương với
2.log 42.log16 20.log4 0
2
=+
20 16
log 42 2
log
2
= +
−
x x
x
21
204
1
421
2
=+
++
Kết hợp ủk ta ủược nghiệm của phương trỡnh là x = 4, x =
21
Bài tập tương tự:
1)
3
4 log
2 3
2 x+ x = ; 2) log23(x+1)+(x−5)log3(x+1)−2x+6=0
3) log (9 12 4 ) log (6 2 23 21) 4
3 2 2
7
3x+ + x+ x + x+ x + x+ =
3 Phương phỏp hàm số
Vớ dụ 1: Giải phương trỡnh log5x = log7(x + 2)
Lời giải Đk x > 0 Đặt t = log5x = log7(x + 2) ⇒
=+
=
t t
x
x
72
=
7255
Xột phương trỡnh 5t + 2 = 7t Chia cả hai vế của phương trỡnh cho 7t , ta ủược
17
Trang 8Tự Ô n thi đạ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
+
=
3 3
2
31
2
t t
+
=
⇔
)2(32
)2(1
)1(2
3
t
t x
23
1
3 3 3
+
a u
; sử dụng phương phỏp thế ủể ủưa về một phương trỡnh mũ; tỡm t (thụng thường PT cú nghiệm duy nhất); suy ra x
2 Đối với vớ dụ 2 h /s cần chỳ ý cỏch nhẩm nghiệm: Vế trỏi của PT cú chứa căn bậc
3 và căn bậc 2, vế phải là một số nguyờn Do ủú khi tỡm nghiệm phải tỡm t là bội của 6
322
1
2 2
+
−
++
x x x
x
x x
Lời giải Đặt u = x2 + x + 1; v = 2x 2- 2x + 3 (u > 0, v > 0) suy ra v - u = x2 - 3x + 2
Xột hsố f(t) = log3t + t, ta cú 1 0, 0
3ln
1)(
t t
Từ (1) ta cú f(u) = f(v), suy ra u = v hay v-u=0, tức là x2-3x+2=0
++
x x x
x
x x
4 Phương phỏp khỏc
Vớ dụ1: Giải phương trỡnh 6 x = 1 + 2x + 3log6(1 + 5x)
Lời giải Đk x > -1/5 Đặt a = log6(5x + 1), suy ra 5x + 1 = 6 a
=
+
=
1236
156
x a
x x
Xột hàm g(x) = 6 x - 5x - 1, với x > -1/5 Ta cú g’(x) =6 x ln6-5, g’’(x)=6x .ln2 6> 0 với mọi x
Theo ủịnh lớ Rụn phương trỡnh cú tối ủa hai nghiệm trờn
Trang 9Tự Ô n thi đạ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
Nhận xột rằng g(0) = g(1) = 0 Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm x = 0, x = 1
Vớ dụ 2: Giải phương trỡnh log3 2( 4−x + x+5)=3 2
Lời giải Đk -5 ≤ x≤ 4 Theo bất ủẳng thức Bunhiacopxki ta cú:
4− +x 5+ ≤x (1 1).(4+ − + +x x 5) =3 2 ⇔log3 2( 4− +x 5+x)≤1
Do ủú phương trỡnh cú nghiệm khi và chỉ khi
2
11
51
4−x = x+ ⇔ x=−
Vậy x = -1/2 là nghiệm của phương trỡnh
Bài tập tương tự:
1) log2[3log2(3x - 1) - 1] = x; 2) 7x-1 = 6log7(6x - 5) + 1
III PHƯƠNG TRèNH MŨ VÀ LOGARIT Cể CHỨA THAM SỐ
Vớ dụ 1: Tỡm m ủể phương trỡnh 4sinx + 21+sinx - m = 0 cú nghiệm
Lời giải Đặt t = 2sinx , 2
1 2
; 2
a do x∈[ ]3;9 nờn x≠ 2
Xột f(x) =
2
122
với x∈[ ]3;9 , 2
2 '
)2(
34)
f , '( )=0⇔ ==13
x
x x
2 Với vớ dụ 1 chỳng ta cụ lập ủược tham số m ngay và sử dụng lưu ý 1
Đối với vớ dụ 2 số mũ của tham số a là giống nhau, do ủú ta rỳt a qua x ủược
a = f(x) Lập bảng biến thiờn của hàm số y = f(x), từ ủú suy ra ủỏp số
Đối với phương trỡnh khụng cụ lập ủược tham số m và khụng cú cụng cụ Định lớ ủảo
ta sẽ sử lớ ra sao? Chỳng ta cựng xem vớ dụ 3
Vớ dụ 3: Cho phương trỡnh log ( 4) 2( 1)log ( 4) 3 2 0
2 1 2
2 2
Tỡm m ủể phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt thoả món 4 < x 1< x2 < 6
Lời giải Đặt t = log ( 4 )
2
1 x− , phương trỡnh cú dạng m.t 2 - 2(m2 + 1).t + m3 + m + 2 = 0 (1)
Yờu cầu bài toỏn tương ủương với phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt thoả
món -1 < t1 < t2(*)
Trang 10Tự Ô n thi đạ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
C1: m≠ 0, ta cú ∆=(m - 1)2 phương trỡnh (1) cú hai nghiệm
m
m m
2 1
+ +
⇔
11
12
1
;0
2
m m
m m
m m
1
;0
2022
1
;02
m m
m
m m
m m
m m
m m
Vậy 0 < m≠ 1 thoả món yờu cầu bài toỏn
C2: Ta chuyển về bài toỏn so sỏnh với số 0
>
++= − >
0)1(
2
0)1(
;0
2
2 '
'
m
m
m m m
m
m m
m m
>
∆
⇔
01
0.1
0)1(
12
0)1).(
2
2 1
m m
t t t t m
S
t t
++
≠
⇔
0
02)
1(21
13 2
m
m
m m m
m m
Giải hệ trờn ta ủược kết quả 0 < m≠ 1
Lưu ý:
Đối với PT trờn cỏc luỹ thừa của tham số m khụng giống nhau nờn ta khụng thể cụ lập ủược tham số Vỡ vậy ta cú thể cú cỏc hướng sau:
Hướng 1: Tớnh trực tiếp cỏc nghiệm và so sỏnh nú với 1
Hướng 2: Đặt X = t + 1 và chuyển về bài toỏn so sỏnh với số 0
PT cú nghiệm -1< t 1 < t 2 khi và chỉ khi PT ẩn X cú hai nghiệm dương phõn biệt
PT cú nghiệm t 1 < t 2 < 0 khi và chỉ khi PT ẩn X cú hai nghiệm õm phõn biệt
PT cú nghiệm t 1 < 0 < t 2 khi và chỉ khi PT ẩn X cú hai nghiệm trỏi dấu
2
0))(
(
02 1
S
t t
2
0 ) )(
(
0
2 1
S t t
* t1< α <t2 ⇔ (t1− α )(t2− α ) < 0
Vớ dụ 4: Cho phương trỡnh (m - 4).9x - 2(m - 2).3x + m – 1 = 0 (1)
a) Tỡm m ủể phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu
b) Tỡm m ủể phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt thoả món x1 + x2 = 3
Trang 11Tự Ô n thi đạ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
Lời giải Đặt t = 3 x , (t > 0) Phương trỡnh (1) trở thành (m - 4).t2 - 2(m - 2).t + m – 1 = 0 (2)
a) Phương trỡnh (1) cú hai nghiệm trỏi dấu khi và chỉ khi phương trỡnh (2) cú hai nghiệm
phõn biệt thoả món 0 < t1 < 1 < t2 (*)
2
1
−+
m m
2
114
22
m m
t
Ta nhận thấy 0 < t2 < 1 với mọi m > 0 Vậy ủể thoả món (*)ta cần cú t1 > 1
40
21
C2: (*) tương ủương với
−
−
t
t với t > 0
)1(
24)
f , f’(t) = 0 khi t = 1/2 Do ủú cú bảng biến thiờn
Từ bảng biến thiờn suy ra m > 4
b) Phương trỡnh cú hai nghiệm dương phõn biệt và thoả món t1.t2 = 27
26107
04
)2(
2
274
Vớ dụ 5: Tỡm a phương trỡnh sau cú nghiệm duy nhất log5(ax) = 2.log5(x + 1) (1)
Lời giải Phương trỡnh trờn tương ủương với
01
x ax
−+
−
>
⇔
(*)01)2(
1
2
x a x
2
4
a− + − =− + + −
Trang 12Tự Ô n thi đạ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
x 2=
2
41
⇔ a a a a (luụn ủỳng do a < 0)
Nếu a > 4 thỡ x1 > -1, do ủú ủể thoả món bài thỡ x2 < -1⇔a− a2 −4a<0
044
TH2: ∆' >0, pt cú hai nghiệm phõn biệt và ủể thoả món bài ta cần cú x1≤−1<x2
Nếu pt cú nghiệm x = -1 thỡ a = 0 Với a = 0 thay vào ta ủược pt x2 + 2x +1 = 0 suy
22009
cú 3 nghiệm phõn biệt
Lời giải Đk m < 0 hoặc m > 2
Lụgarit hoỏ hai vế theo cơ số
2009
2008, ta ủược phương trỡnh tương ủương với )
2(log5
2009 2008 2
m m x
−
=
51
);
56(
51
;56)
2
x x
x
x x x x x g
2 2
2009
2008
2009
20081
1
2009
20081
10
2009
20082
4)2(
log
m
m m
m m
Trang 13Tự Ô n thi đạ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
≥
⇔
= + +
+ +
≥
≥ +
⇔
= + +
⇔
x x
x x x
x x x
x
x x
x
3 ) 3 ( 0 9
) 3 ( 2 3
0
0 3 3
) 3 ( ) 3 (
0 3 0
2
x x
x x
x x
x x
Vậy x =1 là ủiều kiện cần ủể phương trỡnh nghiệm ủỳng với mọi a
Điều kiện ủủ
Với x =1, phương trỡnh (1) cú dạng
loga2+2( 1+3−1)=loga2+2(2− 1)⇔loga2+21=loga2+21⇔0=0(luụn ủỳng)
Vậy x = 1 là ủiều kiện cần và ủủ ủể phương trỡnh cú nghiệm với mọi a
2 1 2
2 a x − a x + −x = +a − x−
Phần C BẤT PHƯƠNG TRèNH MŨ VÀ LOGARIT
I Một số phương phỏp giải bất phương trỡnh mũ và lụgarit
Cũng giống như phương trỡnh mũ và PT lụgarit, bất PT mũ và lụgarit cũng cú cỏch giải tương tự Chỳng ta cú lưu ý sau:
Bất phương trỡnh mũ
Nếu a >1 thỡ a f x) <a g x) ⇔ f(x) <g(x)
Nếu 0 < a < 1 thỡ a f x) <a g x) ⇔ f(x) >g(x)
Bất phương trỡnh lụgarit
Trang 14Tự Ô n thi đạ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
0 ) (
0 ) ( )
( log ) (
x g x f
x g
x f x
g x
0 ) (
0 ) ( )
( log ) (
x g x f
x g
x f x
g x
x
Lời giải Đk: x ≤ 0 hoặc x ≥ 2 Khi ủú bất phương trỡnh tương ủương với
3 x− x ≥3x x− − ⇔ x −2x ≥ − −x 1 x (1)
Nếu x ≤ 0 thỡ x−1 =1−x, khi ủú pt (1) ⇔ x2 −2x ≥2x−1(Vụ nghiệm)
Nếu x ≥ 2 thỡ x−1= x−1, khi ủú pt (1) ⇔ x2−2x≥ −1 luụn ủỳng
Vớ dụ 2: Giải bất phương trỡnh logx(5x2 - 8x + 3) > 2 Lời giải Bất phương trỡnh trờn tương ủương với
/11
15
/3
2/32
/1
10
0384
1
15
/3
0384
10
38
5
1
038
5
38
5
10
2 2
2 2
2
2 2
x x
x
x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x
x
x x
x x
1
x x
Lưu ý:
- Với bất pt dạng log f(x) g(x)>a, ta xột hai trường hợp của cơ số 0<f(x)< 1 và 1<f(x)
- Ta cú thể giải bằng cỏch khỏc như sau:
Điều kiện : 2
3 0
5
x x
Với ủiều kiện (*), BPT ⇔ (x-1)(5x 2 -8x+3-x 2 )>0 ⇔ ẵ<x<1 hoặc x>3/2
Kết hợp ủiều kiện (*) ta ủược tập nghiệm
x 3 3
3 2
log
3
3 = = ⇒BPT ⇔ log 3x + log 3x ≤6⇔ log 3x ≤3
x x
Lấy lụgarit cơ số 3 hai vế, ta ủược:
1log.log3log)
(
3
11log
Trang 15Tự Ô n thi đạ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
Lời giải Bất phương trỡnh trờn tương ủương với
>
++
11
21log
01
21log
2 2
x x x x
01
1
01
21
21
11
21
x x
x x
x x x
x x x x
Vậy x > 0 là nghiệm của bất phương trỡnh
2
x x
kx x
Lời giải Hàm số cú nghĩa
1
1 3
0 1
1
2 2
2
+ +
kx x x
x
kx x
>
+ + +
⇔ + +
0 2 ) 3 ( 2 ) 1 (
3 1
) 1 (
3 1
2 2 2
2
2 2
x k x
x k x
x x kx
x
x x kx
=
− +
=
∆
11 5
1 7 0
55 6 64
) 3
(
0 7 6 16
) 3 (
2 2
2
2 2
k
k k
k k
k k k
Vậy -5 < k < 1 thoả món yờu cầu của bài
Bài tập tương tự:
4 log
log
2 6
2 3
x x
(1)
Lời giải ĐK x≠ 0 Chia cả tử và mẫu cho 2x, ta ủược (1) 1
1 2 3
4 2
3 2
3 0
t
t t
Vậy bất phương trỡnh cú nghiệm 0 log 3
2 3
≤
<x
8log)(
2 1 2
2
3 2 2 1 4
Trang 16Tự Ô n thi đạ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
9log 32 4log ( )
8log)(
3 2 2 4
2 2
2 2 3 2 4
⇔
⇔ log42(x) −[3 log2 x− 3]2 + 9[5 − 2 log2 x]< 4 log22(x)
Đặt t = log2(x), bất phương trỡnh trờn tương ủương với
4
1 8
1 3
log 2
2 log
3 3
2
2 3
9 4
2
2 2
x
x x
x t
t t
Vậy bất phương trỡnh cú nghiệm ( )4,8
4
1,8
315
5550
x x
Y X Y
06
02
x x
183
60
5421
6)
6()
2
(
9
06
2
x
x x
x
x x
1
1
4 2
2 1 2
2x+ x − > x − ; 3)32x −8.3x+ x+4 −9.9 x+4 >0
3 Phương phỏp sử dụng tớnh ủơn ủiệu của hàm số
Vớ dụ 1: Giải bất phương trỡnh log5(3+ x)>log4 x
Lời giải ĐK x > 0
Đặt t = log4x ⇔x = 4t, ⇒ log5(3+2t) > t ⇔3 + 2t > 5t ⇔ 1
5
25
t t
Hàm số
t t
=
5
25
3)
( nghịch biến trờn R và f(1) = 1
Bất phương trỡnh trở thành : f(t) > f(1) ⇔ t < 1, ta ủược log4x < 1 ⇔0 < x < 4
322
x x x
x
x x Lời giải Đặt u = x2 + x + 1; v = 2x2 - 2x + 3 (u > 0,v > 0) suy ra v-u=x2-3x + 2
Bất phương trỡnh ủó cho tương ủương với log 3u v u log 3u log 3v v u
v > − ⇔ − > − ⇔log3u + u > log3v + v (1)
Trang 17Tự Ô n thi đạ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
Xột hàm số f(t) = log3t + t, cú 1 0, 0
3ln
1)(
t t f Nờn h /s ủồng biến khi t > 0 Từ (1) ta cú f(u) > f(v) ⇔u > v
⇔x 2 + x + 1 > 2x2 - 2x + 3 ⇔x2 - 3x + 2 < 0 ⇔1 < x < 2
Lưu ý:
1 Với bất phương trỡnh dạng log a u<log b v, ta thường giải như sau:
Đặt t =log a u (hoặc t =log b v); ủưa về bất phương trỡnh mũ và sử dụng chiều biến thiờn của hàm số
v
u
a a
5log
Lời giải Bất phương trỡnh trờn tương ủương với hai hệ
2
05
05
5log
x x x x
Giải hệ (I)
5
215
505
x x
x x
x
+) 2x < 3x - 1, ta vẽ ủồ thị của hai hàm số y = 2x và y = 3x - 1 trờn cựng một hệ trục toạ
ủộ Khi ủú ta ủược nghiệm là 1< x < 3 Do ủú hệ (I) cú nghiệm 1 < x < 3
5 0
5 5
0 5
2 5 5
1 5
5 0 0 5
5
x x
x x
x x x
x x
x
+) 2x > 3x - 1 ⇔x < 1 hoặc x > 3 Do ủú hệ (II) cú nghiệm -5 < x < 0
Vậy bất phương trỡnh cú nghiệm (−5,0)∪(1,3)
1 2
1 2
1
1log42
x x
Lời giải Điều kiện x ≥ 2
1 1
1
1 1
−
x x
x x
⇔VP=2 ⇒ Vậy bất phương trỡnh cú nghiệm ⇔
022
2
x x
x VP
VT
Trang 18Tự Ô n thi đạ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit
Vậy bất phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = 2
Như chỳng ta ủó biết việc ủặt ủiều kiện ủể bất phương trỡnh cú nghĩa là cần thiết, vỡ
ủú là bước ủầu tiờn khi giải bất phương trỡnh Từ ủ/k ủú ủể loại ủi cỏc giỏ trị khụng thoả món bất phương trỡnh ủó cho Đú là ý nghĩa chung của việc ủặt ủiều kiện ủối với một bất phương trỡnh Hơn nữa trong nhiều trường hợp, chớnh từ bước này cho phộp ta ủơn giản hoỏ phộp giải tiếp theo Sau ủõy ta xột thờm một số vớ dụ
Vớ dụ 2: Giải bất phương trỡnh logx[log9(3x-9)] < 1
Lời giải Để log9(3x-9) cú nghĩa, ta cần cú 3x > 9 ⇒3x > 9 ⇒x > 2 (*)
Với ủiều kiện (*), BPT ⇔
x
x x
x x
993
193)
93(log
0)93(log
2
9 9
3 0 0
2 2
2 4 3 2
655log)(log6
>
3 0 0 6
0
x x
x
Bất phương trỡnh ủó cho tương ủương với ( log 5 )( 6 2 1 ) 0
− +
3 0 0
1 6
3 0
2
x x
x x
x x
x x
x
12
202
01
0
x x
11
)2
(
4
01
2 2
2
x x
x x
1
x x
x
Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh là x∈[−1; 2]
Vớ dụ 5: Giải bất phương trỡnh
)23(log
1)
1(log
2
31
01
1230
110
x
x x
x x
x
log2(x + 1) > 0 ⇔x + 1 > 1⇔x > 0
log2(3 - 2x) > 0 ⇔3 - 2x > 1 ⇔x < 1
Ta cú bảng xột dấu