Đề thi + đáp án học sinh giỏi 10 Trường Đông Sơn 1

Tìm toạ độ điểm M thuộc E sao cho F1MF2M.. Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai đờng tròn.

Sở GD  ĐT thanh hóa T thanh hóa ĐT thanh hóa ề thi học sinh giỏi lớp 10

Trờng THPT Đông Sơn I Năm học 2007 - 2008

-*** -

Môn thi : Toán

Ngày thi: 04 / 05/ 2008

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

-*** -Câu 1: (2 điểm) Cho f(x) x2 2 (m 1 )xm2 3 Tìm m để f(x) có hai nghiệm

1 2 3 2 1 2 2 1 3

1 x x 4x x x x 4x

Câu 2: (2 điểm) Giải hệ phơng trình 











4 2

3 ) 2 (

2

y x x

x xy

Câu 3: (2điểm) Cho tanacota3, Tính giá trị của biểu thức

a

a a

a a

a A

2 3 2

3

cos

cot cos

sin

1 sin

tan







Câu 4: (2điểm) Giải bất phơng trình sau: x2  2x2  4x 4  5  2x

Câu 5: (2điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC lần lợt ứng với các

góc A, B, C Chứng minh rằng nếu

















C b a

a a c b

a c b

cos 2

2 3 3 3

thì tam giác ABC đều.

Câu 6: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề các vuông góc Oxy, c ho elip

225 25

9

:

)

(E x2 y2  , gọi F1, F2 là hai tiêu điểm của (E) Tìm toạ độ điểm M thuộc (E) sao cho F1MF2M.

Câu 7: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề các vuông góc Oxy cho hai đờng

tròn (C1) :x2 y2 4y 5  0 và (C2) :x2 y2 6x 8y 16  0 Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai đờng tròn.

Câu 8: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề các vuông góc Oxy cho hai điểm A(1 ; 1) và B(4 ; -3) Tìm điểm C thuộc đờng thẳng x – 2y – 1= 0 sao cho khoảng cách từ C đến đờng thẳng AB bằng 6.

Câu 9: (2điểm) Cho n + 2 số dơng a1,a2, ,a n2 thoả mãn a1a n1,a2 a n2,

n

a

n

k



1

Chứng minh rằng: 





n

a a

a

2

2.

Câu 10: (2 điểm) Tìm m để hệ bất phơng trình sau có nghiệm

















m y x

y x

3 5

3

-Hết -Họ và tên thí sinh : Số báo danh : .

Trờng THPT Đông Sơn 1 kì thi chọn học sinh giỏi lớp 10

Năm học 2007 - 2008

Hớng dẫn chấm môn toán

1 Điều kiện để f(x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2

2 0

) 3 ( ) 1 (

















 m m m x13 x1x22  4x1x23x2x12  4x2 0,5

1 2 3 2 1 2 2 1 3

1 x x 4x x x x 4x

x       (x1  x2)[(x1x2)2  2x1x2  4]0 0,75

Do x 1 x2







































(loại)

1 0

4 ) 3 ( 2 )]

1 ( 2 [ 0 4 2

)

m

m m

m x

x x

2































4 2 3 ) 2 ( 4

2

3

)

2

(

2 2 2

y x x y x y

x

x

x

Suy ra x2 2x,ylà nghiệm của phơng trình 

















3

1 0

3 4 2

X

X X

Suy ra 





 3

1 2

2

y

x x

hoặc 





 1

3 2

2

y

x x

0,5

Hệ phơng trình có 4 nghiệm 







 3

2 1

y x

; 





 1 3

y x

;



 1 1

y x

0,5

3

Do tanacota3>2 nên a tồn tại

cos sin

cos sin

) cot 1 (

2 2

2 2

a a

a a

a a

a a

1,0

a a a

a a

a tan (tan cot ) cot cot











18 3 3 3 ) cot (tan

cot tan 3 ) cot













4

Điều kiện2x24x40 xR 0,25

Đặt t 2x2 4x4,t0 ta có bất phơng trình 5 0

2

4

2









t t

0,5































15 1

(loại) 15 1 0

14 2

2

t

t t

+ Với













































15 7 1

15 7 1 15

1 4 4 2 15

x

x x

x

Vậy bất phơng trình có tập nghiệm

)

; 15 7 1 [ ] 15 7 1

;



5

3 3 3

) (b c b bc c a a

c b a a c b

a c b

























0 2

2 2

60 2

1 cos 2

1





bc

a c

c b c

b ab

c b a b a C b

2 2 cos

2 2 2

Từ (1) và (2) ta suy ra tam giác ABC đều 0,25

6

9 25 : ) (

2 2



y

x

E suy ra c2 a2  b2 25 916 0,25

Do tam giác F1MF2 vuông tại M nên OM F F  2cc

2

1 2

1

2

Gọi M(x0;y0) Ta có 



















225 25 9 16 ) 2 2 2 2 2 2

y x y x E M c OM

0,5

























4 9 4 7 5

16

81

16

175

0 0 2

2

y x y

x

0,5

Vậy có 4 điểm cần tìm  

4

9

; 4

7 5

7 (C1) có tâm I1(0; 2), bán kính R1 = 3; (C2) có tâm I2(3; 4), bán kính R2 = 3; 0,25

Ta có I1I2  13  R1 R2 I1I2 R1R2

(C1) và (C2) là hai đờng tròn cắt nhau và có bán kính bằng nhau nên chúng có

đúng hai tiếp tuyến chung, hai tiếp tuyến này song song với đờng thẳng đi qua I1

và I2.

0,5

) 2

; 3 (

2

1I 

I , tiếp tuyến  cần tìm có phơng trình dạng: 2x 3yc 0 0,5

9 4

6 0 )

;











I

Vậy phơng trình tiếp tuyến chung (C1) và (C2) là 2x  x3 6 13 0 0,25

8

Đờng thẳng AB có phơng trình 4 3 7 0

1 3

1 1

4

1





















y x y

x

0,25

Do C thuộc đờng thẳng x – 2y – 1= 0 nên C = (2c + 1; c) 0,25

































11 / 27

3 30

3 11 6 3

4

7 3 ) 1 2 ( 4 6 )

; (

2

c c

c c

AB C

+ Với c 3  C ( 7 ; 3 )























11

27

; 11

43 11

/

Vậy có hai điểm C ( 7 ; 3 ); 

















11

27

; 11

43

9 áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

k k k k k

k k

k k k

k

a a a a a

a a

a a

a

a





























2 1 2 1

2 2

1 2 1

2

với k = 1 ;2 ; ; n 0,5

















n

k k n

k

k k n

k

a a

a a

a

a

1 1

2 1

2



























n

k k n

n n

a a

a

1

2 1 3

2

2

4

2

2

0,5

2 2

1

1

2

n a a

a

k k n





0,25

Dấu “=” xảy ra khi a1a2  a n  1 0,25

10 Đặt u x,v y, điều kiện 0 ≤u, v ≤ 3 Ta có hệ

















m v u v u

3 5 3 2

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta chọn hai vectơ a (u; 5),b (v; 3) 0,5

áp dụng bất đẳng thức a  b ab ta đợc

15 2 17 )

3 5 ( ) ( 3

2

















u

0,5

Đẳng thức xảy xa khi a, b cùng hớng,

tức là 















5 3 3 3 5 3 5 3

3 5 3

v u v u v u

Khi đó















15 2 8 9 15 2 8 45

y

x

Hệ bất phơng trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m lớn hơn hoặc bằng giá trị

nhỏ nhất của biểu thức 2 5 2 3





u với điều kiện 









3 , 0

3

v u v

Vậy các giá trị m cần tìm là m 17 2 15 0,25

Chú ý :

- Hớng dẫn chấm có 03 trang

- Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5

- Thí sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa