Cuc tri HH.doc

Đặt vấn đề Khi dạy toán học ở bậc trung học cơ sở, tôi nhận thấy khái niệm cực trị nói chung và bài toán cực trị hình học nói riêng, không đợc xây dựng thành một hệ thống lý thuyết hoà

Đặt vấn đề

Khi dạy toán học ở bậc trung học cơ sở, tôi nhận thấy khái

niệm cực trị nói chung và bài toán cực trị hình học nói riêng, không

đợc xây dựng thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh mà chỉ hình thành từng bớc cho học sinh qua một số bài tập trong sách giáo khoa Nhng các bài toán cực trị lại là một vấn đề thờng gặp trong các kỳ thi, các đợt kiểm tra hàng năm Do đó việc hình thành khái niệm cực trị một cách hệ thống cho học sinh và việc giải quyết các baì toán này của học sinh còn gặp nhiều trở ngại Xuất phát từ những kinh nghiệm có đợc của bản thân qua thực tế giảng dạy, từ những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội, từ sự tìm hiểu thêm các tài liệu tham khảo Tôi tự phân loại đợc một số dạng toán về cực trị hình học

Qua bài viết, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, tôi đã tìm một số dạng toán về cực trị hình học, nêu lên một số phơng pháp giải cho từng dạng bài tập Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc nắm các kiến thức về dạng toán này Tôi hy vọng có thể giúp học sinh phát triển t duy sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập góp phần nhỏ nâng cao hiệu quả giờ học của học sinh.

Yêu cầu chung

Đối với giáo viên:

- Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải bài toán cực trị.

- Tuyển chọn, phân loại đợc các dạng bài tập cơ bản và nêu lên các phơng pháp chính giải từng loại về bài toán cực trị hình học.

- Dự đoán đợc các sai sót của học sinh, nêu đợc những điểm cần chú ý khi giải các bài toán về cực trị hình học.

Đối với học sinh:

- Hiểu đợc bản chất của khái niệm cực trị hình học và nắm

đ-ợc các bớc giải của bài toán cực trị hình học.

- Nhận dạng đợc từng loại bài toán cực trị, vận dụng sáng tạo các phơng pháp giải toán cực trị hình học vào từng bài cụ thể, từ dễ

đến khó.

- Bớc đầu ứng dụng đợc các bài toán cực trị hình học vào đời

Phần nội dung chính

cực trị hình học

A Lý thuyết chung

Các bài toán về cực trị hình học là các bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của một đại lợng biến thiên f (độ dài đoạn thẳng, diện tích đa giác, thể tích khối đa diện )

Để giải các bài toán cực trị hình học ta cần tiến hành theo hai b-ớc:

1/ Tìm đợc các giá trị cố định f1,f2 thoả mãn

f1 ≤ f ≤ f2

2/ Chỉ rõ các vị trí hình học của đại lợng biến thiên đang xét để tại đó đạt đợc giá trị lớn nhất f2 hoặc giá trị nhỏ nhất f1 tức là chỉ rõ các

vị trí hình học để cho dấu đẳng thức xảy ra

Đôi khi bài toán chỉ yêu cầu tìm ra 1 trong hai giá trị trên

B Một số dạng toán cực trị th ờng gặp và ph ơng pháp giải:

I/ Các bài toán cực trị về độ dài các đoạn thẳng, quy về độ dài các đoạn thẳng

1/ Các bất đẳng thức hình học cần thiết:

A) Quan hệ giữa đờng xiên và hình

chiếu:

M A ≠

MA ⊥ d ; A ∈ d ; B ∈ d; thì

d C

M

A B

B)Quan hệ giữa cạnh và góc

trong tam giác

C B ≥

*quy tắc các điểm:Với 3 điểm A,B,C

bất kỳ ta có:

*Mở rộng: Với n điểm A1,A2, , A12

bất kỳ ta có:

[A1A12]

A

+ Đờng kính là dây cung lớn nhất của đờng tròn

+ Trong (O) AB và CD là hai dây cung H, K là trung điểm

Phơng pháp này cho phép ta đa về việc xét các bài toán cực trị đại số

Song đặc biệt phải chú ý đến phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhia-copski …

2/ Các bài toán ví dụ:

Ví dụ1: (một câu toán 9 trong bài thi 8 tuần HK II năm học 06-07)

Cho nửa đờng tròn (O;R) đờng kính AB cố định Qua Avà B vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nửa đờng tròn(Ax và By cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ AB chứa nửa đờng tròn) Từ một điểm M tuỳ ý trên nửa đ-ờng tròn ( Mkhác A và B) vẽ tiếp tuyến thứ ba với nửa đđ-ờng tròn cắt tiếp tuyến tại A và B theo thứ tự tơng ứng là H và K

Xác định vị trí của điểm M trên nửa đờng tròn sao cho tứ giác AHKB có chu vi nhỏ nhất

3

2 1 O A

x

y

B

H

K M

N

Giải

Cách 1: có AH= HM ( theo t\ c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

BK = KM( theo t\ c 2 tiếp tuyến cắt nhau

 Chu vi AHKB =AB+ AH + HM + MK + BK=AB+2HK

Có AB không đổi => Chu vi AHKB nhỏ nhất HK nhỏ nhất

=>ABKH Là HCN

Cách 2: Ta có : Theo t\ c 2 tiếp tuyến cắt nhau =>

0

90 180

o



hay HOK 90 ã = 0

Ta có HK= HM+MK

“=” xảy ra khi HM=MK

 HM = MK = R =>AH = BK =R

Có AH// BK (cùng ⊥AB)

=>ABKH Là HCN =>

Ví dụ 2:

Cho ∆ ABC (Â = 1v)

AH ⊥ BC điểm M

chuyển động trên BC

vẽ MD ⊥ AB; ME ⊥

AC

Xác định M để DE

nhỏ nhất

D A

C

E

Vậy khi M là chân đờng cao hạ từ A của

Ví dụ 3:

Cho góc xoy nhọn, A nằm trong góc đó

Tìm trên ox, oy lần lợt hai điểm B và C sao

cho chu vi ∆ ABC nhỏ nhất.

Giải: Xác định A1,A2 lần lợt đối xứng với A

qua ox; oy => A1,A2 cố định

Dấu “=” xảy ra ⇔ B, C ∈ [A1A2]

Vậy nếu B và C lần lợt là giao

là điểm đối xứng của A qua ox, oy thì chu vi

y

A A2

A1 C

B

Ví dụ 4:

Cho điểm A cố định ở bên trong đờng tròn (O;R)

(A≠ 0) và dây MN là dây cung quanh A Xác định vị

trí của dây cung MN để độ dài MN là lớn nhất, nhỏ

nhất.

Giải:

Gọi I là hình chiếu

vậy để MN có độ dài lớn nhất

thì MN là đờng kính đi qua A

Vậy để MN nhỏ nhất thì dây MN phải vuông

góc với OA tại A

O

Ví dụ 5:

Cho nửa đờng troòn tâm O, đờng kính AB=

2R Vẽ tiếp tuyến Ax của nửa đờng tròn đó M

là điểm trên nửa đờng tròn BM cắt Ax tại C,

xác định M để 2BM +BC nhỏ nhất

Giải:

∆ABC có Â=900; AM ⊥ BC

do đó AB2 = BM BC

đặt: 2BM = a > 0

BC = b > 0

M

O

x

C

áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dơng a,b ta có:

a+b ≥ 2 ab =2 8R2 = const

Vậy khi M à trung điểm của cung AB thì 2BM +BC đạt giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 6:

Cho (O;R) và điểm A nằm ngoài

đờng tròn qua A vẽ đờng thẳng (d)

cắt đờng (O) tại B và C (B nằm

giữa A và C) Tìm vị trí của (d) để:

a, AB + AC lớn nhất

b, AB + AC nhỏ nhất

d

O

A T

I T`

Giải:

a, AB + AC lớn nhất

Gọi I là trung điểm BC

Ta có: AB+ AC = (AI- IB )+(AI+ IC) = 2AI

xiên)

Vậy AB + AC lớn nhất khi (d) đi qua O

b, AB + AC nhỏ nhất

Do AB; AC > 0

Mà AB AC = AT2 = const (∆ATB ∼ ∆ACT)

II/ Các bài toán cực trị về diện tích:

1/ Các kiến thức cần thiết:

+ Công thức diện tích các hình

+ Tiên đề về diện tích:

Nếu ta chia miền trong của hình H thành các miền nhỏ không có

điểm trong chung thì diện tích miền trong của hình H bằng tổng diện tích các miền nhỏ

+ Các hằng bất đẳng thức đã trình ở phần I

+ Khi giải các bài toán cực trị về diện tích, ta có thể đa về việc giải các bài toán cực trị về độ dài đoạn thẳng tơng ứng Hoặc có thể đa

về các bài toán cực trị đại số

2/ Các ví dụ:

Ví dụ 7:

đờng chéo AC

hạ ME ⊥ AB tại E MF ⊥ BC tại F

Tìm vị trí của M để diện tích ∆ DEF

nhỏ nhất

45 °

A

D

B

C

E

Giải:

Cách 1: Xét ∆ MAE và ∆ MDE có chung đáy ME và đờng cao tơng ứng với ,đáy chung ME bằng nhau (đều là AE)

=> S ∆MAE = S ∆DME

⇒ S ∆EFC nhỏ nhất ⇔ S ∆EFB lớn nhất (vì S ∆ABC không đổi)

2 1 Theo bất đẳng thức côsi ta có:

BE BF AB

BE BF ≤ + =

cân)

BE BF ≤ BE+BF 2 = AB) 2 =const

2 ( ) 2 (

Cách 2:

Đặt BE = x > 0

⇒AB = x + y

BF = y > 0

= (x+y)2 -

2

1 ( x+y) y + xy + (x+y).x = (x+y)2 -

2

1 ( x+y)2 -

2

1 xy =

2

1

2

)

Ví dụ 8:

Cho (0;R); BC là dây cung cố định

(BC <2R) A là điểm chuyển động trên

cung lớn BC Xác định vị trí điểm A để

diện tích ∆ABC lớn nhất.

M

O

A

H A`

Giải:

Gọi A′ là điểm chính giữa cung BC lớn hạ AH ⊥BC tại H ta có:

2

1

Ta đã đa đợc bài toán tìm diện tích

(lớn nhất về bài toán tìm độ dài đoạn thẳng lớn nhất)

Ví dụ 9:

Cho (O;R) và dây BC = R 2 vẽ các tiếp tuyến

của (0) tai B và C cắt nhau tại A Điểm M di động

trên ằBC Tiếp tuyến tại M với (0) cắt AB, AC tại

D và E Vị trí của M để diện tích ∆ ADE

Giải:

Đặt AD= x > 0

AE = y > 0

= AD + DM + ME + EA

= AD + DB +EC +EA

= AB + AC = 2AB = 2R

O

C

D

E M

) 1 2 ( 2

2 2

2

+

= +

xy

Hay xy ≤R2 ( 6 − 4 2 )

2

1xy=R −

Nhận xét : Các bài toán về cực trị diện tích phần lớn là giải đợc bằng

phơng pháp đại số Trong đó đặc biệt là phơng pháp vận dụng bất đẳng thức côsi và bất đẳng thức Bunhiacopski

L

u ý:

Khi giải các bài toán cực trị về thể tích ta tìm cách đa bài toán đó

về bài toán cực trị diện tích hoặc cực trị về độ dài đoạn thẳng tơng

ứng Cũng có thể chỉ ra một số vị trí của hình để tại đó thể tích đang xét

đạt giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) và chứng minh điều đó

III/ Một số cách sáng tạo bài toán cực trị:

- Từ kết quả của một số bài toán, đặc biệt là các bài toán cực trị ta

có thể sáng tạo các bài toán cực trị mới bằng cách dựa vào các định lý, các tính chất của hình học hoặc các hình cụ thể

Các ví dụ:

1/ Từ bài tâp của ví dụ 1 ta có thể phát biểu các bài tập mới nh sau:

Bài tập 1 Cho nửa đờng tròn (O;R) đờng kính AB cố định Qua Avà B vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nửa đờng tròn(Ax và By cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ AB chứa nửa đờng tròn) Từ một điểm M tuỳ ý trên nửa đờng tròn ( Mkhác A và B)vẽ tiếp tuyến thứ ba với nửa đ-ờng tròn cắt tiếp tuyến tại A và B theo thứ tự tơng ứng là H và K

Xác định vị trí của điểm M trên nửa đờng tròn sao cho tứ giác AHKB có diện tích nhỏ nhất ( hoặc tổng AH+BK nhỏ nhất)

2/ Từ bài tâp của ví dụ 8 ta có thể phát biểu các bài tập mới nh sau:

chuyển động trên (O;R sao cho AD⊥BC Tìm vị trí A để S ABDC là lớn nhất

chuyển động trên (O;R) Tìm vị trí A để S ABDC là lớn nhất

(O;R) xác định vị trí điểm A sao cho diện tích hình giới hạn bởi cung nhỏ BC dây AB và dây AC lớn nhất.

(O;R) Gọi S 1 là diện tích hình viên phân cung AB nhỏ Xác định vị trí Asao cho S 1 +S 2 nhỏ nhất

…

Thực tế khi cha triển khai thì số lợng học sinh làm và trình bày

đợc rất ít chỉ chiếm khoảng 0% => 2/90 = 2%

Thực tế triển khai ở năm học sau thì số lợng học sinh làm và trình bày đợc tăng lên chiếm khoảng 20/90 = 22% trở lên Điều cơ bản là học sinh thêm tự tin khi học toán

kết luận

Trên đây là một số bài toán về cực trị hình học thờng gặp trong chơng trình Trung học cơ sở Trong bài viết này, tôi đã cố gắng phân tạo các dạng toán một cách cụ thể Trong mỗi phần, mỗi dạng tôi cũng đã có gắng nêu lên những cách giải cơ bản, những kiến thức cần thiết Tôi mong rằng tài liệu này sẽ góp phần nhỏ vào việc giúp học sinh học tốt hơn về dạng toán cực trị, phát triển đợc

óc sáng tạo của các em qua từng dạng, bài cụ thể.

Mong tiếp tục nhận đợc sự phê bình góp ý của bạn bè đồng nghiệp do trình độ có hạn chắc chắn còn có thiếu sót hạn chế

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Giáo viên Nguyễn Xuân Trờng