Bài soạn Bài toán cực trị và một số vấn đề cần lưu ý trong điện xoay chiều.doc

Điện xoay chiều là một phần quan trọng trong chương trình vật lí lớp 12 và chiếm tỉ trọng lớn trong đề thi của các kì thi Quốc gia hiện hành, và đây cũng là một phần có lượng kiến thức l

1 Tr êng THPT Gio Linh

MỤC LỤC

Trang

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Thực trạng của vấn đề 2

II Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu 2

II.1.Nhiệm vụ 2

II.2.Phương pháp 3

III Phạm vi của đề tài 3

B NỘI DUNG I.Những kiến thức toán học bổ trợ 4

I.1.Tính chất của phân thức đại số 4

I.2.Tính chất của các hàm số lượng giác 4

I.3.Bất đẳng thức Cô-si 4

I.4.Tính chất đạo hàm của hàm số 4

II.Những trường hợp vận dụng cụ thể 4

II.1.Bài tập liên quan đến điều kiện cộng hưởng điện 4

II.2.Bài tập liên quan đến giá trị cực đại của điện áp trên L,C khi giá trị L,C thay đổi 5

II.3.Bài tập liên quan về giá trị công suất cực đại khi R thay đổi 8

II.4.Bài toán cực trị liên quan đến tần số dòng điện biến thiên 9

III Một số vấn đề cần lưu ý khi giải bài tập điện xoay chiều 11

III.1.Về tổng trở 11

III.2.Về điện áp hai đầu đoạn mạch 11

III.3.Về biểu thức điện áp, cường độ dòng điện tức thời 12

III.4.Ghép tụ điện 12

III.5.Các trường hợp cực trị 12

IV.Bài tập đề nghị 13

C.KẾT LUẬN 16

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Thực trạng của vấn đề

Việc thay đổi hình thức thi môn vật lý của Bộ GD&ĐT từ tự luận sang trắc nghiệm khách quan đã bộc lộ những ưu điểm mà tôi thấy rât thiết thực là: Nội dung thi bao quát cả chương trình, tránh được tình trạng học tủ như trước đây

và từ đó có thể đánh giá trình độ học sinh một cách toàn diện Ngoài ra việc chấm bài thi trắc nghiệm được thực hiện nhanh chóng, khách quan nhờ sự hỗ trợ của máy móc

Tuy nhiên để làm tốt bài thi trắc nghiệm đòi hỏi người học phải ghi nhớ đầy đủ kiến thức trọng tâm, biết cách vận dụng linh hoạt, sáng tạo và nhanh nhạy trong phán đoán nhận dạng cũng như trong tính toán mới có thể đạt được kết quả cao

Điện xoay chiều là một phần quan trọng trong chương trình vật lí lớp 12

và chiếm tỉ trọng lớn trong đề thi của các kì thi Quốc gia hiện hành, và đây cũng là một phần có lượng kiến thức lớn và khó đối với nhiều học sinh THPT Với lí do đó, tôi chọn nghiên cứu đề tài: “BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ MỘT SỐ

VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý TRONG ĐIỆN XOAY CHIỀU” nhằm trang bị cho các

em học sinh những kiến thức cơ bản, giúp các em có thể nhanh chóng định hình những kiến thức cần áp dụng để giải các bài tập trắc nghiệm phần điện xoay chiều một cách nhanh chóng và tránh được những nhầm lẫn

II Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu

II.1.Nhiệm vụ

Đề tài nêu ra phương pháp giải các dạng bài tập liên quan đến cực trị trong phần điện xoay chiều, từ đó giúp học sinh hình thành phương pháp luận căn bản để giải quyết các vấn đề khi gặp phải, đồng thời từ đó cũng giúp cho các

3 Tr êng THPT Gio Linh

em có thể phân biệt được, áp dụng được các điều kiện cụ thể trong từng bài tập

Bên cạnh đó, trên cơ sở những kết quả đã nghiên cứu, các kiến thức được phân loại trong từng trường hợp vận dụng giúp học sinh ghi nhớ và áp dụng một cách nhanh chóng

II.2.Phương pháp

-Vận dụng những kiến thức toán học để tìm cực trị, như:

+Tính chất của phân thức đại số

+Tính chất của các hàm số lượng giác

+Bất đẳng thức Cô-si

+Tính chất đạo hàm của hàm số

-Khái quát hóa, phân loại các trường hợp để có thể giải quyết các bài tập trong từng điều kiện cụ thể

III Phạm vi của đề tài

Đề tài nghiên cứu một vấn đề tương đối khó, đề cập đến các dạng bài tập nâng cao thường gặp trong đề thi TSĐH, CĐ và chủ yếu dành cho học sinh khá giỏi Với phạm vi một sáng kiến, kinh nghiệm ở trường THPT chúng tôi chỉ đề cập đến một số vấn đề nhỏ của môn vật lý lớp 12:

-Nghiên cứu về bài toán cực trị trong điện xoay chiều và một số trường hợp vận dụng

-Một số vấn đề cần lưu ý khi giải bài tập điện xoay chiều

B NỘI DUNG I.Những kiến thức toán học bổ trợ

I.1.Tính chất của phân thức đại số

Xét một phân số P = B A , trong điều kiện A là hằng số dương, thì phân

số P đạt giá trị lớn nhất nếu mẫu số B nhỏ nhất.

I.2.Tính chất của các hàm số lượng giác

Đối với các hàm số lượng giác :

+ y = sinx thì y max = 1 khi x = /2 + k (kZ)

+ y = cosx thì y max = 1 khi x = k (kZ)

I.3 Bất đẳng thức Cô-si

Với hai số thực dương a,b thì ta luôn có : a + b  2 ab

Điều kiện để đẳng thức xảy ra là: a = b, và nếu ab không đổi thì khi đó tổng (a + b) bé nhất

I.4 Tính chất đạo hàm của hàm số

Xét hàm số y = f(x); (x  R) có đạo hàm tại x = x o và liên tục trong khoảng

chứa x o Nếu hàm số đạt cực trị tại x = x o thì f’(x o ) = 0

Và : + Nếu f’’(x o ) > 0 thì x o là điểm cực tiểu

+ Nếu f’’(x o ) < 0 thì x o là điểm cực đại

II.Những trường hợp vận dụng cụ thể

II.1.Bài tập liên quan đến điều kiện cộng hưởng điện.

Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ:

Hiệu điện thế luôn duy trì hai đầu đoạn mạch là:

A

V

M

5 Tr êng THPT Gio Linh

u AB = 200cos(100t)(V) Cuộn dây thuần cảm, có L =



1

(H); điện trở thuần có

R = 100; tụ điện có điện dung C thay đổi được.Vôn kế có điện trở rất lớn.

a.Điều chỉnh C để công suất tiêu thụ của mạch đạt cực đại Tính công suất cực đại đó

b.Với giá trị nào của C thì số chỉ vôn kế V là lớn nhất, tìm số chỉ đó

Bài giải

Ta có Z L = L = 100; R = 100; U = 200/ 2 = 100 2V

a.Công suất của mạch tính theo công thức: P = I 2 R = R

Z

U

2 2

Ta thấy rằng U và R có giá trị không thay đổi, vậy P lớn nhất  Z =

2

2 (Z L Z C)

R   nhỏ nhất  Z C = Z L = 100 => C =





4

10



C

Z (F) và khi đó

Z = R =>

R

U P

2 max  = 200W.

b.Số chỉ vôn kế là: U v = U AM = I.Z AM = 2 2

L

Z R Z

U



Dễ thấy do U và 2 2

L

Z

R  = 100 2 không đổi, nên U AM lớn nhất  Z nhỏ

nhất  Z C = Z L = 100 => C =





4

10



C

Z (F) và khi đó Z = R

=> U vmax = Z AM

R

U

= 100 2 100

2

100 = 200V

*Nhận xét: Trong bài tập này ta đã áp dụng tính chất cực đại của phân thức

đại số khi mẫu số nhỏ nhất, đây cũng là điều kiện cộng hưởng điện mà ta thường gặp

II.2.Bài tập liên quan đến giá trị cực đại của điện áp trên L,C khi giá trị

V

Cho mạch điện như hình vẽ:

Hiệu điện thế luôn duy trì hai đầu đoạn mạch là u AB = 100 2cos(100t)(V).

Cuộn dây thuần cảm, có L =



2

1

(H); điện trở thuần có R = 50 3; tụ điện

có điện dung C thay đổi được.Vôn kế có điện trở rất lớn

a.Điều chỉnh C để số chỉ vôn kế cực đại Tính số chỉ cực đại đó

b.Tìm C để công suất P tiêu thụ trong mạch cực đại Phác vẽ đồ thị P theo ZC

Bài giải

Ta có Z L = L = 50; R = 50 3; U = 100V

a.Số chỉ vôn kế là U C = I.Z C = Z C

Z U

=> 2

C

U = 2

2

2

C

Z Z

U

2 2

2

) (Z L Z C Z C R

U



2 2

2

2

L

Z Z Z Z Z R

U







2

C

2

1 )

2







C

L C L

Z

Z Z Z R

U

Đặt: x =

C

Z

1

; a = 2 2

L

Z

R  ; b = -2 Z L ; y = ax 2 + bx + 1

=> U C U y

2 2

Ta có: y’ = 2ax + b

y’ = 0  x = x o =  2b a => x o là điểm cực trị

Do y’’ = 2a > 0 nên y đạt cực tiểu khi x = x o = 2b a (1)

Ta thấy rằng U C lớn nhất khi y nhỏ nhất

Từ điều kiện (1) ta có: R2 Z L2 Z L Z C

7 Tr êng THPT Gio Linh

=>ZC =

L

L

Z

Z

R2 2



= 100 => Z C 10 4 (F)







Và

min max

y

U

C

L C L

Z

Z Z Z

R ) 1 2 1

1 =

2 1

U Cmax = U 2 = 200V.

b -Công suất tiêu thụ của mạch: P = I 2 R = R

Z

U

2

2

Z Z R

U

C L

2 2

2

)



Dễ thấy P max  Z L = Z C = 50 => C =



4

10

2 

(F)

- Ta có: P = 2

6

) 50 ( 7500

10 3 5

C

Z



 -Khi ZC = ZCo = 50 thì P = Pmax = 1155W -Khi ZC = 0 thì P = Po = 866W

-Khi ZC  + thì P 0

Đồ thị:

*Nhận xét:

1.Với bài tập này có thể giải câu a dựa vào điều kiện cực đại của hàm

số lượng giác như sau:

Hiệu điện thế hai đầu mạch được biểu diễn bằng

véc tơ quay Unhư hình vẽ

C L

U

U    

gọi φ, φ’là góc lệch pha giữaURL vàU so với I

Theo định lí hàm số sin ta có:

) ' 2 sin(

)

'

sin(







U

U c

=> U C .U

' cos

) ' sin(





 



Do L và R không đổi nên ’ = const => cos’ = const, và U cũng không đổi, nên khi C biến thiên thì chỉ φ thay đổi, U C cực đại khi sin(φ’- φ) = 1

=> φ’- φ = π/2

=> tanφ = - cotanφ’  tanφ.tanφ’ = -1

P(W)

O

ZC()

P

max

Po

50

    1

R

Z Z R

Z L L C

=> R2 Z L2 Z L Z C

2.Trong trường hợp L thay đổi, tìm điều kiện để hiệu điện thế hai đầu cuôn dây có giá trị cực đại.

Cách giải tương tự như bài này, ta dễ dàng tìm được điều kiện bài toán là:

C L

Z

R2 2 

II.3.Bài tập liên quan về giá trị công suất cực đại khi R thay đổi

Một mạch điện xoay chiều gồm:

Cuộn cảm thuần có L =



2

(H); tụ điện có C =



4

10

2 

(F); R là một biến trở.

Giữa hai đầu AB được duy trì một hiệu điện thế u = 120 2cos(100t)(V).

Điều chỉnh R để công suất tiêu thụ của đoạn mạch cực đại Tìm R và công suất

đó

Bài giải

Ta có Z L = L = 200; Z C =

C



1

= 50; U = 200V

Công suất tiêu thụ của mạch: P = I 2 R = R

Z

U

2

2

Z Z R

U

C L

2 2

2

)



Có thể viết: P =

R

Z Z R

U

C L

2

2

)

 = U y2 với y =

R

Z Z

R L C

2

)



Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a = R và b =

R

Z

Z L C) 2

ta luôn có: y =

R

Z Z

R L C

2

)

  2 Z  L Z C = const

=> giá trị nhỏ nhất của y là: ymin = 2 Z  L Z C <=>

R

Z Z

R L C

2

)



=> R = Z  L Z C = 150

9 Tr êng THPT Gio Linh

Và P max =

C

Z

U y

U



 2 2

min

2

= 48W

II.4.Bài toán cực trị liên quan đến tần số dòng điện biến thiên

Một đoạn mạch xoay chiều gồm điện trở thuần R, cuôn dây thuần cảm L và một tụ điện C mắc nối tiếp Đặt vào hai đầu mạch một hiệu điện thế xoay

chiều: u = U 2cos(t),có U = const nhưng tần số thay đổi Xác định  để:

a.hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu điện trở đạt cực đại

b.hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu cuộn cảm đạt cực đại

c.hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu tụ điện đạt cực đại

Bài giải

a.Hiệu điện thê hiệu dụng hai đầu điện trở:U R = I.R = R

Z

U , dễ dễ thấy U, R

không đổi nên U Rmax  Z min  Z C = Z L =>  = LC1

b.Điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện: U C = I.Z C = Z C

Z U

=> 2

C

U = 2

2

2

C

Z Z

U

2 2

2

) (Z L Z C Z C R

U



2 2

2

2

L

Z Z Z Z Z R

U







2

C

2

2 2

2

C C

L L R

C

U





2





C L

U

Đặt: x =  2 > 0; a = L 2 C 2 ; b = R 2 C 2 -2LC; y = ax 2 + bx + 1

=> U C U y

2 2



Ta có: y’ = 2ax + b

y’ = 0  x = x o =  2b a => x o là điểm cực trị.

Do y’’ = 2a > 0 nên y đạt cực tiểu khi x = x o = 2b a (2)

Ta thấy rằng U C lớn nhất khi y nhỏ nhất

Từ điều kiện (2) ta có: 22

2

1

L

R

LC 



 với R 2 < 2C L

c Điện áp hiệu dụng hai đầu cuôn cảm: U L = I.Z L = Z L

Z U

=> 2

L

U = 2

2

2

L

Z Z

U

2 2

2

) (Z L Z C Z L R

U



2 2

2

2

L

Z Z Z Z Z R

U







2

L

2 2 2

2 2 2 2

2

C C

L L R

L

U





=

1

1 )

2 (

1 1

2 2

2 4 2 2

2









R C

L

U

Đặt: x = 2

1

 > 0; a = 2 2

1

C

L ; b =

LC L

R 2

2

2

 ; y = ax 2 + bx + 1

=> U L2 U y2



Ta có: y’ = 2ax + b

y’ = 0  x = x o =  2b a => x o là điểm cực trị

Do y’’ = 2a > 0 nên y đạt cực tiểu khi x = x o = 2b a (3)

Ta thấy rằng U C lớn nhất khi y nhỏ nhất

Từ điều kiện (3) ta có: 2 2

2

2

C R

LC 



 với R 2 < 2C L

III Một số vấn đề cần lưu ý khi giải bài tập điện xoay chiều

11 Tr êng THPT Gio Linh

Qua một thời gian trực tiếp giảng dạy mộn vật lý, bản thân tôi đúc rút được

một số kinh nghiệm về phần dòng điện xoay chiều trong vật lý THPT là ngoài

việc nắm vững những kiến thức căn bản trong SGK, các em học sinh cần lưu ý một số điều như sau:

III.1.Về tổng trở: Z = R2  (Z L  Z C) 2

-Nếu trong đoạn mạch không có mặt của phần tử nào thì gán cho đại lượng tương ứng của nó bằng 0

-Nếu đoạn mạch có nhiều điện trở thì R chính là điện trở tương đương

của các điện trở đó

-Nếu cuôn dây không thuần cảm, có điện trở r thì xem như mạch điện có thêm điện trở r ghép nối tiếp, và khi đó: Z = (Rr) 2  (Z L  Z C) 2

III.2.Về điện áp hai đầu đoạn mạch

-Biểu thức điện áp hai đầu đoạn mạch: U = U R2  (U L  U C) 2

-Khi tính điện áp hai đầu đoạn mạch, có thể lấy cường độ dòng điện I

nhân với tổng trở của đoạn mạch đó

III.3.Về biểu thức điện áp, cường độ dòng điện tức thời

III.3.1 Nếu đã biết điện áp tức thời hai đầu mạch là:

u = U o cos(t + )

Biểu thức cường độ dòng điện tức thời trong mạch có dạng:

i = I o cos(t +  + i )với I o = U o /Z; tan i =

R

Z

Z C  L

III.3.2 Nếu đã biết cường độ dòng điện tức thời trong mạch là:

i = I o cos(t + )

Biểu thức cường độ dòng điện tức thời trong mạch có dạng:

u = U o cos(t +  + u ) với Uo = I o Z; tan u =

R

Z

Z L  C

III.4 Ghép tụ điện

Hai tụ điện C 1 , C 2

-Ghép nối tiếp: C b =

2 1

2 1

C C

C C



-Ghép song song: C b = C 1 + C 2

III.5 Các trường hợp cực trị

III.5.1 Khi giá trị L,C biến thiên, điều kiện để điện áp hiệu dụng trên L,C đạt cực đại.

-Khi L biến thiên, điều kiện để điện áp trên L cực đại là:

C L

Z

R2  2 

và khi đó u vuông pha với u RC

-Khi C biến thiên, điều kiện để điện áp trên C cực đại là:

C L

Z

R2  2 

và khi đó u vuông pha với u RL

III.5.2 Khi R biến thiên, điều kiện để công suất của mạch đạt cực đại là:

R = Z  L Z C

và khi đó P max =

C

Z

U

 2 2

III.5.3 Khi tần số dòng điện biến thiên, điều kiện để:

-Điện áp trên tụ điện C đạt cực đại là:

2

2

2

1

L

R

LC 



 với R 2 < 2C L

-Điện áp trên cuộn cảm thuần L đạt cực đại là:

13 Tr êng THPT Gio Linh

2 2

2

2

C R

LC 



 với R 2 <

C

L

2

III.5.4 Trong các trường hợp khác như:

-Điện dung C của tụ điện, độ tự cảm L của cuộn dây hay tần số dòng điện (hay ) biến thiên để: I max , P max , cos max , u cùng pha với i, u L (u C ) vuông

pha với u…

-Độ tự cảm L biến thiên để điện áp hiệu dụng U C , U R cực đại; điện dung

C biến thiên để điện áp hiệu dụng U L , U R cực đại…

Ta áp dụng điều kiện cộng hưởng: Z  L Z C

IV.Bài tập đề nghị

Bài tập 1.Cho đoạn mạch như hình vẽ:

r = 10; L = ( )

10

1

H

 ; C biến thiên Hiệu điện thế hai đầu mạch là:

u = 100 2cos100t(V).

a Tìm C để công suất tiêu thụ của đoạn mạch cực đại

b.Định giá trị nhỏ nhất của công suất đoạn mạch trong điều kiện ứng với một giá trị của công suất đoạn mạch có hai giá trị khác nhau của C

Đáp số: a.C = 10-3/(F); b P = 500W); b P = 500W

Bài tập 2 Cho đoạn mạch xoay chiều như hình vẽ:

R = 80; L = 0,6(H)

 ; C biến thiên

Hiệu điện thế hai đầu mạch là: u = 240 2cos100t(V) Khi C thay đổi, hãy

tính giá trị cực đại mỗi vôn kế và giá trị điện dung C ứng với các số chỉ cực đại này Đáp số: U1max = 240V; C = C1 = 53F); b P = 500W

U2max = 180V; C = C2 = 53F); b P = 500W

r, L

B

C A

V 1 V 2 V 3

U3max = 300V; C = C3 ≈ 19F); b P = 500W

Bài tập 3 Cho đoạn mạch xoay chiều:

Điện trở thuần R = 100; C =



4

10 

(F); b P = 500W); cuộn dây thuần cảm, có L biến thiên

Hiệu điện thế hai đầu mạch là: u = 200cos100t(V).

a.Tính L để hệ số công suất của đoạn mạch cực đại Tính công suất của mạch khi đó

b.Tính L để điện áp hiệu dụng trên L đạt cực đại

Đáp số: a L = 1/ (H); Pmax = 200W

b L = 2/(H)

Bài tập 4.

Một mạch điện xoay chiều AB

gồm biên trở R và cuộn cảm thuần có L =0,09/ (H) ghép nối tiếp như hình vẽ

Hiệu điện thế hai đầu mạch AB là: u = 5 2cos100t(V)

Tính R để công suất của đoạn mạch cực đại Tính công suất cực đại đó

Đáp án: R = 9,0; Pmax ≈ 1,4W

Bài tập 5.

Một mạch điện xoay chiều như hình vẽ:

Cuộn dây có độ tự cảm L = 0,5/ (H) và điện trở nội r = 10 3; Tụ điện có

C =



4

10 

(F) Điện áp hai đầu mạch: u AB = 100 2cos100t(V).

a.Tính công suất tiêu thụ của mạch

b Để điện áp hai đầu cuộn dây cực đại, phải mắc thêm một tụ C o vào

mạch, nêu cách ghép và giá trị C o

c.Để công suất đoạn mạch cực đại, phải mắc vào đoạn mạch ban đầu

một điện trở R Nêu cách mắc và tìm giá trị R.

A

A

r, L

B C A