33 chuyên đề khai thác tứ diện vuông cho bài toán bđt và cực trị HH

B§t ¯ng thùc cuèi óng theo AM-GM cho ba sè d÷ìng... B§t ¯ng thùc cuèi óng theo AM-GM.

1

KHAI THC TÙ DI›N VUÆNG CHO B€I TON B‡T NG

THÙC V€ CÜC TRÀ

Ki·u ¼nh Minh1

Ng y 1 th¡ng 4 n«m 2011

Tâm t­t nëi dung

Tù di»n l  èi t÷ñng cì b£n cõa h¼nh håc trong khæng gian Tr¶n t¤p ch½ THTT sè 367, th¡ng 1 n«m 2008, ¢ giîi thi»u b i vi¸t "Sü ph¥n lo¤i tù di»n v  ùng döng" Trong b i b¡o n y chóng tæi xin ÷ñc tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ khai th¡c tù di»n vuæng cho b i to¡n b§t

¯ng thùc v  cüc trà º ti»n cho vi»c theo dãi cõa b¤n åc chóng tæi nh­c l¤i mët sè k¸t qu£ quan trång

Cho OABC l  tù di»n vuæng t¤i O, OA = a, OB = b, OC = c, S =

SABC, S1 = SOAB, S2 = SOBC, S3 = SOAC Gåi OH l  ÷íng cao

R, r, R1 l¦n l÷ñt l  b¡n k½nh m°t c¦u ngo¤i ti¸p, nëi ti¸p tù di»n v  b¡n k½nh ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡c ABC; α, β, γ l  sè o c¡c gâc nhà di»n c¤nh AB, BC, CA Khi â:

1 Tam gi¡c ABC câ ba gâc nhån;

2 1

OH 2 = a12 +b12 +c12;

3 cos2α + cos2β + cos2γ = 1;

4 S2

1 = SHAB.S, S22 = SHBC.S, S32 = SHCA.S;

5 S2

1 + S22+ S32 = S2 (ành lþ Pythagore);

6 VOABC = 16abc; Stp = 12(ab + bc + ca +√a2b2+ b2c2+ c2a2)

Ta chia th nh c¡c nhâm b¡i to¡n sau: (B¤n åc tü v³ h¼nh cho c¡c

b i to¡n trong b i vi¸t n y)

∗1 Gi¡o vi¶n THPT chuy¶n Hòng V÷ìng Phó Thå

1 C¡c b§t ¯ng thùc l÷ñng gi¡c

B i tªp 1 Chùng minh r¬ng cosα.cosβ + cosβ.cosγ + cosγ.cosα ≤ 3

2 Líi gi£i

C¡ch 1 Gåi B0 l  h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa B l¶n CA, th¸ th¼ \OB0B.Ta câ 1

OB2 = 1

a2 + 1

c2 ⇒ OB02 = a

2c2

a2+ c2 ⇒ tan2γ = OB

2

OB02 = b

2(a2+ c2)

a2c2

⇒ tanγ = b

√

a2 + c2

b√

a2+ c2 T÷ìng tü th¼

c√

a2 + b2; cotβ = bc

a√

b2+ c2 M°t kh¡c

cosB = AB

2+ BC2 − CA2

a2+ b2+ b2+ c2− a2− c2 2p(a2+ b2)(b2+ c2) =

b2 p(a2+ b2)(b2+ c2). Suy ra cotα.cotβ = cosB.V¼ vªy

cosα.cosβ + cosβ.cosγ + cosγ.cosα ≤ 3

2. C¡ch 2 ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ:

cosα.cosβ + cosβ.cosγ + cosγ.cosα

= √ b2

(a 2 +b 2 )(b 2 +c 2 ) +√ c2

(b 2 +c 2 )(c 2 +a 2 ) +√ a2

(a 2 +b 2 )(c 2 +a 2 )

≤ 1

2(a2b+b2 2 +b2b+c2 2) + 12(b2c+c2 2 +c2c+a2 2) + 12(c2a+a2 2 +a2a+b2 2) = 32

B i tªp 2 T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc

M = tan2α + tan2β + tan2γ + cot2α + cot2β + cot2γ

Líi gi£i

C¡ch 1 ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ

M = a

2(b2+ c2)

b2c2 +b

2(c2+ a2)

c2a2 +c

2(a2+ b2)

a2b2 + b

2c2

a2(b2+ c2)+

c2a2

b2(c2+ a2)+

a2b2

c2(a2+ b2)

= (a

2

b2+b

2

a2+c

2

b2+b

2

c2+c

2

a2+a

2

c2)+( b

2c2

a2b2+ a2c2+ c

2a2

b2c2+ b2a2+ a

2b2

c2a2+ c2b2) ≥ 6+3

2 =

15

2 . D§u b¬ng x£y ra khi v  ch¿ khi a = b = c Vªy gi¡ trà nhä nh§t cõa M l  15

2 khi OABC l  tù di»n vuæng c¥n t¤i O

C¡ch 2 °t cos2α = x; cos2β = y; cos2γ = z ⇒ x + y + z = 1

⇒ tan2α1 − cos

2α cos2α =

1 − x

y + z

x . T÷ìng tü nh÷ th¸

tan2β = x + z

y ; tan

2γ = x + y

z .

Do â theo b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ

M = y

x +

x

y

 + y

z +

z y

 +z

x +

x x

 +

 x

y + z +

y

z + x+

z

x + y



≥ 6+3

2 =

15

2 .

D§u b¬ng x£y ra khi v  ch¿ khi x = y = z ⇔ α = β = γ ⇔ OABC l  tù

di»n vuæng c¥n t¤i O

B i tªp 3 Chùng minh r¬ng

 cosα

cosβ

2

+ cosβ

cosγ

2 +

cosγ cosα

2

≥p3 + tanα.tanβ + tanβ.tanγ + tanγ.tanα Líi gi£i Tr÷îc h¸t ta chùng minh b§t ¯ng thùc

 x

y +

y

z +

z x

2

≥ (x + y + z) 1

x +

1

y +

1 z

 , ∀x, y, z > 0(∗)

Thªt vªy

(∗) ⇔ x

y

2 +y z

2 +z x

2 +x

z +

z

y +

y

x ≥ 3 + x

y +

y

z +

z x

⇔ x

y − 1

2

+y

z − 12+z

x − 12+ x

y

2 +y z

2 +z x

2 +2 x

z +

z

y +

y x



≥ 9

B§t ¯ng thùc cuèi óng theo AM-GM cho ba sè d÷ìng p döng (∗) cho

x = cos2α; y = cos2β; z = cos2γ ta ÷ñc

 cosα

cosβ

2

+ cosβ

cosγ

2 +cosγ cosα

2

≥

r 1 cos2α +

1 cos2β +

1 cos2γ

= p3 + tan2α + tan2β + tan2γ

≥ p3 + tanα.tanβ + tanβ.tanγ + tanγ.tanα

2 C¡c b§t ¯ng thùc h¼nh håc

B i tªp 4 Chùng minh r¬ng

OH ≤ √R1

2. Líi gi£i

C¡ch 1 Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ành lþ sin v  k¸t qu£ sin2A + sin2B + sin2C ≤ 94, ta câ

1

OH2 = 1

a2 + 1

b2 + 1

a2+ b2+ c2

⇒ OH2 ≤ a

2+ b2+ c2 9

⇒ 2OH2 ≤ (a

2+ b2) + (b2 + c2) + (c2+ a2)

9

M  ta l¤i câ:

(a2+ b2) + (b2+ c2) + (c2+ a2)

AB2+ BC2+ CA2

9

= (2R1sinC)

2+ (2R1sinA)2+ (2R1sinB)2

9

= 4R

2

1(sin2A + sin2B + sin2C)

1

Tø â suy ra

OH ≤ √R1

2.

C¡ch 2 Theo ành lþ Pythagore ta câ

SABC2 = SOAB2 + SOBC2 + SOCA2

⇒ AB.BC.CB

4R1

2

4OA

2.OB2+ 1

4OB

2.OC2+ 1

4OC

2.OA2

⇒ (OA

2+ OB2)(OB2+ OC2)(OC2+ OA2)

4R2 1

= OA2.OB2+ OB2.OC2+ OC2.OA2

°t OA2 = x; OB2 = y; OC2 = z th¼

R21 = (x + y)(y + z)(z + x)

4(xy + yz + zx) .

L¤i câ

1

OH2 = 1

OA2 + 1

OB2 + 1

OC2 = xy + yz + zx

xy + yz + zx.

B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi

2OH2 ≤ R2

1

xy + yz + zx ≤ (x + y)(y + z)(z + x)

4(xy + yz + zx)

⇔ (x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz

B§t ¯ng thùc cuèi óng theo AM-GM Vªy ta câ OH ≤ √ R 1

2 D§u b¬ng x£y

ra khi v  ch¿ khi OA = OB = OC

B i tªp 5 Chùng minh r¬ng

VOABC ≤ AB.BC.CA

12√ 2

Líi gi£i

Ta câ

OA =

r

CA2+ AB2− BC2

r

AB2+ BC2− CA2

OC = BC

2+ CA2 − AB2 2

Suy ra

VABC = 1

6OA.OB.OC

6

r

(CA2+ AB2 − BC2)(AB2+ BC2− CA2)(BC2 + CA2− AB2)

L¤i câ

(CA2+ AB2 − BC2)(AB2+ BC2− CA2) = AB4− (CA2− BC2)2 ≤ AB4 T÷ìng tü

(AB2+ BC2− CA2)(BC2+ CA2− AB2) ≤ BC4 (CA2+ AB2− BC2)(AB2+ BC2− CA2) ≤ CA4 Suy ra

VOABC ≤ 1

6

r

AB2BC2CA2

AB.BC.CA

12√ 2

B i tªp 6 Chùng minh b§t ¯ng thùc

S1

S + 2S1 +

S2

S + 2S2 +

S3

S + 2S3 ≤ 3

√ 3

3 + 2√

3 Líi gi£i

°t

S + 2S1

+ S2

S + 2S2

+ S3

S + 2S3

S + 2S1 +

2S2

S + 2S2 +

2S3

S + 2S3

= 3 − S( 1

S + 2s1

S + 2s2

S + 2s3

)

Ta câ

1

S + 2s1 +

1

S + 2s2 +

1

3S + 2(S1+ S2+ S3

3S + 2p3(S2

1 + S2

2 + S2 3

(3 + 2√

3)S

Suy ra:

2P ≤ 3 − S 9

(3 + 2√

3)S =

6√ 3

3 + 2√

3 ⇒ P ≤ 3

√ 3

3 + 2√

3

3 C¡c b§t ¯ng thùc ¤i sè

B i tªp 7 Cho x, y, z l  c¡c sè thüc d÷ìng Chùng minh r¬ng

x p(x + y)(x + z) +

y p(y + z)(y + x) +

z p(z + x)(z + y) ≤

3 2

Líi gi£i

Düng tù di»n OABC vuæng t¤i O câ c¡c c¤nh OA =√x; OB =√y; OC =√z th¼ ta câ

cos A = AB

2+ AC2− BC2 2AB.AC

= x + y + y + z − (y + z)

2p(x + y)(x + z)

p(x + y)(x + z) T÷ìng tü

p(y + z)(y + x); cos C =

z p(z + x)(z + y)

Do â

x

p(x + y)(x + z)+

y p(y + z)(y + x)+

z p(z + x)(z + y) = cos A+cos B+cos C ≤

3 2

B i tªp 8 (Korea.1998) Cho a, b, c > 0 : a + b + c = abc Chùng minh r¬ng

1

√

1 + a2 +√ 1

1 + b2 + √ 1

1 + c2 ≤ 3

2

Líi gi£i

Theo b i to¡n 7, gi£ sû xy + yz + zx = 1 th¼

x

√

1 + x2 + y

p1 + y2 + √ z

1 + z2 ≤ 3

2

°t x = 1

a, y = 1

b, z = 1

c, ta câ b i to¡n 8

B i tªp 9 Cho x,y,z l  c¡c sè thüc d÷ìng Chùng minh r¬ng

1

(x + y)(x + z)+

1 (y + z)(y + x)+

1 (z + x)(z + y) ≤ 9

4(xy + yz + zx)

Líi gi£i

Düng tù di»n OABC vuæng t¤i O câ c¤nh OA = √x; OB =√y; OC =√z

Ta câ:

p(x + y)(x + z) ⇒ sin

2A = xy + yz + zx (x + y)(x + z)

Do â suy ra

xy + yz + zx

(x + y)(x + z)+

xy + yz + zx (y + z)(y + x)+

xy + yz + zx (z + x)(z + y) = sin

2A+sin2B sin2C ≤ 9

4

N¸u gi£ thi¸t xy + yz + zx = 1 th¼ ta câ b§t ¯ng thùc quen thuëc sau:

1

x2+ 1 +

1

y2+ 1 +

1

z2+ 1 ≤ 9

4

B i tªp 10 Cho a, b, c > 0 : ab + bc + ca = (a + b)(b + c)(c + a) Chùng minh r¬ng

a

√

a + b +

b

√

b + c +

c

√

c + a ≤ 3

√ 3

4 (∗) Líi gi£i

Tø gi£ thi¸t a, b, c > 0 : ab + bc + ca = (a + b)(b + c)(c + a) ta bi¸n êi (*) nh÷ sau:

√

ab + bc + ca

√

a + bp(a + b)(b + c)(c + a) +

b√

ab + bc + ca

√

b + cp(a + b)(b + c)(c + a)+

+ c

√

ab + bc + ca

√

c + ap(a + b)(b + c)(c + a) ≤

3√ 3 4

p(a + b)(a + c)

s

ab + bc + ca (b + a)(b + c) +

b p(b + a)(b + c)

s

ab + bc + ca (c + b)(c + a)+

p(c + a)(c + b)

s

ab + bc + ca (a + b)(a + c) ≤ 3

√ 3

4 (∗∗) Düng tù di»n OABC vuæng t¤i O câ OA =√a,OB =√b,OC =√c Gåi A,B,C l  ba gâc cõa tam gi¡c ABC (tam gi¡c ABC nhån), th¸ th¼

cos A = AB

2+ AC2− BC2

a + b + a + c − b − c 2p(a + b)(a + c)

⇒ sin A =√1 − cos2A =

s

ab + bc + ca (a + b)(a + c) T÷ìng tü công câ

p(b + a)(b + c); sin B =

s

ab + bc + ca (b + a)(b + c)

p(c + a)(c + b); sin C =

s

ab + bc + ca (c + a)(c + b) Khi â (*) trð th nh

sin A cos C + sin C cos B + sin B cos A ≤ 3

√ 3

4 (∗ ∗ ∗) Nhªn x²t r¬ng vîi 0 < x < π

2 th¼ f(x) = sin x + 1

2sin 2x ≤ 3

√ 3

4 Thªt vªy:

f0(x) = cos x + cos 2x, f0(x) = (cos x + 1)(2 cos x − 1) ≥ 0 ⇔ 0 < x ≤ π3

⇒ f (x) ≤ f (π

3) =

3√ 3 4

°t P = sin A cos C + sin C cos B + sin B cos A Gi£ sû A = min{A; B; C} Khi â x£y ra tr÷íng hñp sau:

• A ≤ B ≤ C Th¸ th¼ (sin C − sin B)(cos B − cos A) ≤ 0 v  0 < B < π

2 Suy ra

P ≤ sin A cos C + sin C cos A + sin B cos B = sin B + 1

2sin 2B ≤

3√ 3 4

• A ≤ C ≤ B Th¸ th¼ (sin A − sin C)(cos C − cos B) ≤ 0 v  0 < C < π

2 Suy ra

P ≤ sin A cos B + sin B cos A + sin C cos C = sin C + 1

2sin 2C ≤

3√ 3 4

Ta th§y r¬ng (***) ÷ñc chùng minh chùng tä (**) ÷ñc chùng minh Vªy b§t ¯ng thùc (*) ¢ chùng minh xong

4 B i tªp cõng cè

Tr¶n ¥y l  nhúng khai th¡c ban ¦u cõa chóng tæi v· tù di»n vuæng cho c¡c

b i to¡n b§t ¯ng thùc v  cüc trà Hy vång r¬ng c¡c b¤n s³ khai th¡c th¶m

÷ñc nhi·u b i to¡n mîi v  nhi·u i·u thó và v· tù di»n °c bi»t n y Cuèi còng xin míi c¡c b¤n l m mët sè b i to¡n sau:

B i 1: Chùng minh r¬ng: (2 + tan2α)(2 + tan2β)(2 + tan2γ) ≥ 64

B i 2: T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc:

M = (cot α cot β + cot β cot γ + cot γ cot α)2+ 6(cos α cos β cos γ)2

B i 3 T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc

P = cos α + cos β

cos2γ +

cos β + cos γ cos2α +

cos γ + cos α cos2β

B i 4 Chùng minh:

a)1

r ≥ 1

a +

1

b +

1

c +

3√ 3

a + b + c;

b)2R

r ≥ 3(1 +√3)

B i 5 Gåi M l  iºm thuëc tam gi¡c ABC T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc:

AM2

AO2 + BM

2

BO2 +CM

2

CO2

B i 6 X¡c ành và tr½ iºm M º biºu thùc sau l  nhä nh§t

√ 3M O + M A + M B + M C

B i 7 Chùng minh r¬ng

S2 1

S2 + S2

1

2 2

S2+ S2

2

2 3

S2+ S2

3

≤ 3

4.

B i 8 Cho x, y, z > 0 Chùng minh r¬ng

1

x +

1

y +

1

z ≥ 3

r

3

xy + yz + zx.

B i 9 Cho a, b, c > 0 : a + b + c = abc Chùng minh r¬ng

a

√

1 + a2 + √ b

1 + b2 + √ c

1 + c2 ≤ 3

√ 3 2

B i 10 Cho x, y, z > 0 Chùng minh r¬ng

p(x + y)(x + z)

p(y + z)(y + x)

p(z + x)(z + y)