Chuyên đề ôn thi đại học năm 2015 môn toán bộ 3

Khối chóp tứ giác đều  Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ ABC và vẽ thẳng đứng − Xác định góc giữa SB và ABC là góc g

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC (QUYỂN 3)

- Tài liệu được chia ra làm 2 phần:

+ Phần 1: Phần Đại số (Chiếm khoảng 7 điểm) gồm 2 quyển – Mỗi quyển 5 chuyên đề.

Trong phần này có 10 chuyên đề:

 Chuyên đề 1: Chuyên đề khảo sát hàm số và các câu hỏi phụ trong khảo sát

hàm số.

 Chuyên đề 2: Chuyên đề PT – BPT Đại số.

 Chuyên đề 3: Chuyên đề HPT – HBPT Đại số.

 Chuyên đề 4: Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit.

 Chuyên đề 5: Chuyên đề Lượng giác và PT Lượng giác.

 Chuyên đề 6: Chuyên đề Tích phân.

 Chuyên đề 7: Chuyên đề Tổ hợp – Xác suất.

 Chuyên đề 8: Chuyên đề Nhị thức Newtơn.

 Chuyên đề 9: Chuyên đề Số phức.

 Chuyên đề 10: Chuyên đề Bất đẳng thức.

+ Phần 2: Phần Hình học (Chiếm khoảng 3 điểm) gồm 1 quyển – Quyển 3

Trong phần này có 5 chuyên đề:

 Chuyên đề 11: Chuyên đề Thể tích: Khối chóp, Khối lăng trụ

 Chuyên đề 12: Chuyên đề Hình học phẳng.

 Chuyên đề 13: Chuyên đề Hình học không gian.

 Chuyên đề 14: Chuyên đề Phương trình đường thẳng (*).

 Chuyên đề 15: Chuyên đề Các hình đặc biệt trong đề thi.

Cuối cùng, Phần tổng kết và kinh nghiệm làm bài.

- Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn:

1 Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên (Chủ biên)

2 Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên).

3 Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn).

4 Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên.

5 Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.

6 Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên.

7 Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.

- Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

- Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều được coi là vi phạm nội quy của nhóm.

- Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2.

Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự sai xót nhất định

Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email:

Xin chân thành cám ơn!!!

Chúc các bạn có một kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng năm 2015 an toàn,

nghiêm túc và hiệu quả!!!

Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014 Trưởng nhóm Biên soạn

Cao Văn Tú

CHUYÊN ĐỀ 11: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP – LĂNG TRỤ

 HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

A Các Tính Chất :

1 Tam giác thường:

− Diện tích của tam giác

2 Các tam giác đặc biệt :

a Tam giác vuơng :

a ; µ = =

Kềcos

Huyền

c B

a ; µ = =

Đốitan

Kề

b B

b Tam giác cân:

+ Đường cao AH cũng là đường trung tuyến

+ Tính đường cao và diện tích :AH =BH.tanBµ , 1

2

ABC

S∆ = BC AH

c Tam giác đều:

+ Đường cao của tam giác đều : = = 3

2

h AM AB ( đường cao h = cạnh x 3

2 )+ Diện tích : 2 3

+ Diện tích hình vuơng :S ABCD =(AB)2( Diện tích bằng cạnh bình phương)

+ Đường chéo hình vuơng AC BD AB= = 2

+ OA = OB = OC = OD ( đường chéo hình vuơng bằng cạnh x 2 )

b Hình chữ nhật

+ Diện tích hình vuông :S ABCD =AB AD ( Diện tích bằng dài nhân rộng)

+ Đường chéo hình chữa nhật bằng nhau và OA = OB = OC = OD

b Khối chóp tứ giác đều

 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng

− Xác định góc giữa SB và (ABC) là góc giữa SB với hình chiếu của nó lên (ABC)

O

C D

B A

S

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 60 0 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng

− Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC với hình chiếu AC của SC lên (ABCD)

 Lời giải:

* Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a , AC hc= (ABCD SC) ⇒ ·( ,(SC ABCD)) ( ,= ·SC AC)= SCA· =60o , SABCD =a2

* ∆ SAC vuông tại A có AC= a 2 , µC=600 ⇒ SA AC= tan 60o =a 6

Giải

 Sai lầm của học sinh:

− Gọi M là trung điểm BC

(Hình vẽ sai)

 Lời giải đúng:

* Ta có : AB = a 3 , (SBC) ∩ (ABC) = BC

AB ⊥ BC ( vì ∆ ABC vuông tại B)

SB ⊥ BC ( vì AB hc= (ABC SB) ) ⇒ ·((SBC ABC),( )) ( ,=·SB AB)=SBA· =60o

* ∆ ABC vuông tại B có AB = a 3 ,BC =a

− Học sinh không lý luận để chỉ ra góc nào bằng 60o , do đó mất 0.25 điểm

− Học sinh xác định góc giữa hai mặt phẳng bị sai vì đa số học sinh không nắm rõ cách xác định góc và cứ hiểu là góc SMA với M là trung điểm BC

o Nếu đáy là tam giác vuông tại B (hoặc C), hình vuông và SA vuông góc với đáy thì góc giữamặt bên và mặt đáy sẽ là góc được xác định tại một trong hai vị trí đầu mút của cạnh giaotuyến

Giải

 Sai lầm của học sinh: ⇒ ·((SBC),(ABC))=SBA· =45o

 Lời giải đúng: * Ta có : AB = a 3 , (SBC) ∩ (ABC) = BC

60 S

B

C A

Gọi M là trung điểm BC

AM ⊥ BC ( vì ∆ ABC cân tại A)

SM ⊥ BC ( vì AM =hc(ABC SM) ⇒ ·((SBC),(ABC)) (=·SM AM, )=SMA· =45o

* ∆ ABC vuông cân tại A có ,BC = a 2 ⇒ AB = BC = a và AM = 2

a Tìm hình chiếu d / của d lên mặt phẳng (P)

b Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d /

Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD) và góc giữa SC với

(ABCD) bằng 450 Hãy xác định góc đó

Giải

Ta có : AC hc= (ABCD)SC ⇒ ·( ,(SC ABCD)) ( ,=·SC AC)=SCA· =45o

2 Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) :

c Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)

d Tìm trong (P) đường thẳng a ⊥ (d) , trong mặt phẳng (Q) đường thẳng b ⊥ (d)

e Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b

Bài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông, và góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng

C D

B A

60 S

 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng

− Sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông

 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng

− Tam giác ABC vuông , cân tại B nên BA = BC và sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông

B S

 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng

− Tam giác ABC đều có ba góc bằng 600 và sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông SAB

Giải

 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng

− Tam giác ABC cân tại A và Â = 1200

M S

B

C A

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC = a 5.Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Giải

 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

− Vẽ đáy là hình vuông ( vẽ như hình bình hành), cao SA ⊥ (ABCD) và vẽ thẳng đứng

− ABCD là hình vuông ; sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông

 Lời giải:

Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a 2 , SC = a 5

2 ABCD

 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

− Vẽ đáy là hình vuông ( vẽ như hình bình hành), cao SA ⊥ (ABCD) và vẽ thẳng đứng

− Biết AC và suy ra cạnh của hình vuông (Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân với 2 )

D

C S

S

*

3 2

 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

− Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều tâm O

+ Gọi M là trung điểm BC

+ O là trọng tâm của tam ABC

+ AM là đường cao trong ∆ ABC

− Đường cao của hình chóp là SO ( SO ⊥ (ABC))

 Lời giải:

* S.ABC là hình chóp tam giác đều

Gọi M là trung điểm BC

∆ ABC đều cạnh a 3, tâm O

 Nhận xét: học sinh thường làm sai bài toán trên

− Học sinh vẽ “sai” hình chóp tam giác đều vì

+ không xác định được vị trí điểm O+ không hiểu tính chất của hình chóp đều là SO ⊥ (ABC)+ không tính được AM và không tính được AO

− Tính toán sai kết quả thể tích

− Đường cao của hình chóp là SO ( SO ⊥ (ABCD))

 Lời giải:

* S.ABCD là hình chóp tứ giác đều

ABCD là hình vuông cạnh 2a , tâm O

 Nhận xét: học sinh thường làm sai bài toán trên

− Học sinh vẽ “sai” hình chóp tứ giác đều

+ không xác định được tính chất đa giác đáy là hình vuông

O

C D

B A

S

+ không SO ⊥ (ABCD) mà lại vẽ SA ∆ (ABCD)+ không tính được AC và không tính được AO

− Tính toán sai kết quả thể tích

B

à i 15 : Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a

Giải

 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

− Tứ diện đều ABCD có các tính chất

+ tất cả các cạnh đều bằng nhau+ tất cả các mặt là các tam giác đều

+ gọi O là trọng tâm của tam giác đáy

− Đường cao của hình chóp là AO ( AO ⊥ (BCD))

 Lời giải:

* ABCD là tứ diện đều cạnh a

Gọi M là trung điểm CD

o Xác định đa giác đáy

o Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt phẳng đáy)

o Tính thể tích khối chóp theo công thức

+ Cách 2

A

C

D B

M O

o Xác định đa giác đáy

o Tình các tỷ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện tích đáy (nếucùng đường cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã cho và kết luận thể tích khối cầntìm bằng k lần thể tích khối đã cho

Cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều có đề cập đến tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” liên quan đến

dữ kiện của khối chóp lớn.Tuy nhiên

- Không trình bày khái niệm tỷ số thể tích

của 2 khối chóp

Có trình bày khái niệm tỷ số thể tích của 2

khối chóp

Trang 12 B

à i 16 :

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và

SA = a 3 Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC Tính thể tích khối chóp S.AMN

Giải

 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên quan đến khối chóp đã cho

S

N

K M

N

M A

C

B S

Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh A và góc ở đỉnh A

Do đó theo công thức tỷ số thể tích , ta có

.

 Nhận xét: - Học sinh thường lúng túng khi gặp thể tích của khối chóp “nhỏ” hơn khối chóp đã cho và khi

đó xác định đa giác đáy và đường cao thường bị sai.

− Trong một số bài toán thì việc dùng “tỷ số thể tích “ có nhiều thuận lợi hơn

B

ài 17 :

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và

SA = a 3 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM

Giải

 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ”dựa trên dữ kiện liên quan đến khối chóp

.

1 3 33

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy

và SA = 2a Gọi I là trung điểm SC Tính thể tích khối chóp I.ABCD

Giải

 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên quan đến khối chóp đã cho

 Lời giải:

N

M S

B C A

Gọi O là giao điểm AC và BD

1

• Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a,b có diện tích .

• Tam giác thường biết cạnh đáy và chiều cao

a hA

• Hình thoi biết hai đường chéo a,b

• Hình bình hành biết cạnh a và đường cao hA

• Một số công thức khác tính diện tích tam giác

Định lý Cosin

Định lý sin

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

TỶ SỐ THỂ TÍCH.

ĐỊNH LÝ 1

ĐỊNH LÝ 2

Thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước

Thể tích khối chóp bằng một phần ba tích số diện tích mặt đáy và chiều cao

Cho tam giác ABC và đường thẳng d cắt AB,AC lần lượt tại B’,C’ khi đó

a 3a

C' B'

A'

C

B A

III Nội Dung :

1) Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy

Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh

BC = a 2 và biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ.

Giải

Ta có ∆ABC vuông cân tại A nên AB = AC = aABC A'B'C' là lăng trụ đứng ⇒AA' AB⊥

∆AA'B⇒AA'2=A'B AB 8a 2− 2= 2 ⇒AA' 2a 2=Vậy V = B.h = SABC AA' = a 23

Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a Tính thể

tích khối lăng trụ này.

5a 4a

B' A'

B A

Giải

ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên

BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 ⇒BD 3a= ABCD là hình vuông AB 3a

2

Suy ra B = SABCD = 9a2

4 Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3

Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích

tam giác A’BC bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ

Cho tứ diện S.ABC mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại A’B’C’ khi đó

B' A'

B A

Giải

Gọi I là trung điểm BC

Ta có ∆ABC đều nên

2S1

Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 Đường chéo lớn của

đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ Tính thể tích hình hộp

Giải

Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a và SABCD = 2SABD = a2 3

2Theo đề bài BD' = AC = 2a 3 a 3

2 2DD'B DD' BD' BD a 2

o 60

C'

B' A'

C

B A

Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết rằng chiều

cao

lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 24a3

Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của lăng

trụ

bằng 96 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 64 cm3

Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng trụ bằng trung

bình

cộng các cạnh đáy Tính thể tích của lăng trụ Đs: V = 2888

Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m2

Tính thể tích khối lập phương Đs: V = 8 m3

2)Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với

BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 60 0 Tính thể tích lăng trụ.

Giải

Ta có :A'A (ABC)⊥ ⇒A 'A AB& AB⊥ là hình chiếu của A'B trên (ABC) Vậy góc[A'B,(ABC)] ABA' 60=¼ = o

0ABA ' AA' AB.tan 60 a 3

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với

AC = a , ¼ACB= 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 30 0 Tính AC' và thể tích lăng trụ.

a o 60

o 30

C'

B'

A'

C B

Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = ¼BC'A = 30o

∆AC'B⇒AC'=tan30ABo =3a

V =B.h = SABC.AA'

∆AA'C'⇒AA'= AC' A'C'2− 2 =2a 2

∆ABC là nửa tam giác đều nên SABC a 32

2

=Vậy V = a 63

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD'

của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 30 0

Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ

o 30

a

D'

C' A' B'

D

A

Giải

Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có:

DD' (ABCD)⊥ ⇒DD' BD⊥ và BD là hình chiếu của BD' trên ABCD Vậy góc [BD';(ABCD)] = ¼DBD' 30= 0

0 a 6BDD' DD' BD.tan30

Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ¼BAD = 60 o biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30 o Tính thể tích của hình hộp

a

o

30

o 60

D'

C' B'

A'

D

C B

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết

BB' = AB = a và B'C hợp với đáy (ABC) một góc 30o Tính thể tích lăng trụ ĐS: V a 33

2

=

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp với

mặt bên (BCC'B') một góc 30o Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ ĐS: AB' a 3 = ;V a 33

2

=

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại A biết

AC = a và ¼ACB 60= obiết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc 30o

Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC' ĐS: V a = 3 6 , S = 3a 32

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với

BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 60 0 Tính thể tích lăng trụ.

C'

B' A'

C

B

A

o 60

Giải

Ta có A 'A (ABC)& BC AB⊥ ⊥ ⇒BC A'B⊥ Vậy góc[(A 'BC),(ABC)]=¼ABA '=60o

0ABA ' AA ' AB.tan 60 a 3

Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều Mặt (A’BC) tạo với đáy một

góc 30 0 và diện tích tam giác A’BC bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ.

o 30

I

C'

B' A'

C

B A

AI AI

I A AI

3

323

230cos:'

C

A D

B

Giải

Gọi O là tâm của ABCD

Ta có ABCD là hình vuông nên OC BD⊥CC'⊥(ABCD) nên OC'⊥BD (đl 3⊥)

Vậy góc[(BDC');(ABCD)] = COC' ¼ = 60o

Ta có V = B.h = SABCD.CC'ABCD là hình vuông nên SABCD = a2

∆ OCC' vuông nên CC' = OC.tan60o =a 6

2 Vậy V = a 63

2

Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy

(ABCD) một góc 60 o và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30 o

Tính thể tích khối hộp chữ nhật

Giải

o 30

o

60

D' C'

B'

A'

D C

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên bằng a biết rằng mặt

(ABC'D') hợp với đáy một góc 30o .Tính thể tích khối lăng trụ Đs: V = 3a3

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết rằng

(A'BC)

hợp với đáy ABC một góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs: V a 2= 3

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a

và ¼BAC 120= o biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o

Tính thể tích lăng trụ Đs: V a 33

8

=

Bài 5: : Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BB' = AB = h biết rằng

(B'AC) hợp với đáy ABC một góc 60o Tính thể tích lăng trụ Đs: V h 23

4

=

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a

Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60o

2) A'B hợp với đáy ABC một góc 45o

3) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ

Đs: 1) V a 3= 3 ; 2) V = a 334 ; V =3

a 3

Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a

Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45o

2) BD' hợp với đáy ABCD một góc 600

3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a Đs: 1) V = 16a3 2) V = 12a3 3) V =

316a

3

Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a

Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o

2)Tam giác BDC' là tam giác đều

3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 450 Đs: 1)

3

2

V = ; 2) V = a3 ; V =3

a 2

4) Dạng 4: Khối lăng trụ xiên

Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh

bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60 o Tính thể tích lăng trụ.

H

o 60 a

B'

A'

C'

C B

= Vậy V = SABC.C'H = 3a 33

8

Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của A'

xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc

60

1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.

2) Tính thể tích lăng trụ

H O

C

B

Giải

: 1) Ta có A 'O (ABC)⊥ ⇒OA là hc của AA' trên (ABC) Vậy góc[AA',(ABC)] OAA' 60=¼ = o

Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ)

AO BC⊥ tại trung điểm H của BC nên BC A 'H⊥ (đl 3 ⊥)

ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a.

1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ

hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết BB' = a.

1)Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy

2)Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp Đs: 1) 60o 2) V 3a3&S a 152

V = B h, vậy ta phải tính diện tích đáy, và tính độ dài đường cao

1 Tính thể tích hình chóp tam giác đều S.ABC biết :

a) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a

b) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600

c) Cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy góc 600

d) Cạnh đáy bằng a, và góc ASB bằng 1200

2 Tính thể tích hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết :

a) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a

b) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600

c) Cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy góc 600

d) Cạnh đáy bằng a, và góc ASB bằng 1200, góc ACS bằng 1200

3 Cho tứ điện SABC cạnh a, dựng đường cao SH.

a) CMR : SA vuông góc BC

b) Tính thể tích SABC Gọi O là trung điểm SH CMR : OA, OB, OC đôi một vuông góc

4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB)⊥(ABCD), ∆SABđều, H là trung điểm AB, M là trung điểm BC Tính thể tích S.ABCD và khoảng cách từ S tới MD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D, AD=CD=a, AB=3a, SA⊥(ABCD), SC tạo với đáy góc 450 Tính thể tích S.ABCD ( 2 2 3

2 Gián tiếp : Coi B là đỉnh, so sánh với thể tích S.ABC.

3 Phân chia khối đa diện : V =V SABC( )−V MABC( )

Bài 8 (A – 2011 )

Cho hình chóp S.ABC có đáy là t giác ABC vuông cân tại B, BA=BC=2a, 2 mp (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) M là trung điểm AB, mp qua SM, và song song vơi BC cắt AC tại N biết góc (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính thể tích S.BCNM và d(AB; SN)

Kết quả : V =a3 3 Kẻ NE//AB, từ A kẻ AK ⊥ NE AH; ⊥SK ta c AHó ⊥(SKE)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, M, N là trung điểm của AB, AD, CN cắt

MD tại H Biết SH ⊥(ABCD)và SH =a 3 Tính V S CDNM. v d MD SC à ( ; )

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, D AB=AD=2a, CD = a góc (SBC)

và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trung điểm AD, biết 2mp (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD) Tính thể tích S.ABCD ( 3 15 3

Cho hình chóp S.ABC có (SBC)⊥(ABC) SB=SC=1 Các góc đỉnh S bằng 600 Tính V(SABC)

Gợi ý : Gọi H là trung điểm BC : 1 2

V = SH S =

Bài 13(Thử ĐT 2010 lần 1)

1 Cho tứ diện SABC có SA=x, các cạnh còn lại bằng 1 Tính V(SABC), tìm x để V Max?

2 Cho hình chóp S.ABCD có SA=x, các cạnh còn lại bằg 1.Tính V(SABCD),tìm x để V Max?

Gợi ý 2) + Tam giác SAC vuông tại S.

• Sử dụng tích vô hướng => MB⊥ AC=>MB⊥(SAC)=>(SMB)⊥(SAC).

• ∆AMBvuông tại A có AI là đường cao, tính AI, BI =>

2

26

a

Bài 17 (Một số bài toán về tỉ số thể tích)

1 Cho khối chóp tam giác SABC có ∆ABC vuông cân tại B, AC a = 2,SA ⊥ ( ABC ), góc giữa

SB và mp(ABC) bằng 60 H là hình chiếu của A trên SB, mp(P) chứa AH và song song với BC, cắt

SC tại K

a) Hãy nêu cách dựng mp(P)?

b) Tính tỉ số thể tích của 2 khôi đa diện SAHK và ABCHK?

2 Cho khối chóp tam giác SABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, AC a = 2, SA ⊥ ( ABC ), gócgiữa SC và mp(ABC) bằng 60 H là hình chiếu của A trên SC, mp(P) chứa AH và song song với BC, cắt SB tại K

b) Tính tỉ số thể tích 2 khôi đa diện SAB’C’D’ và ABCDD’C’B’

4 (CĐ 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang Góc BAD, ABC cùng bằng 90

BA=BC=a, AD=2a, SA vuông góc với đáy và SA=2a Gọi M, N là trung điểm SA, SD CMR : BCNM

6 (TN 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với

đáy, góc giữa (SBD) và đáy bằng 600 Tính V(S.ABCD)

7 (TN 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là HCN tâm O; SA=SB=SC=SD Biết AB=3a, BC=4a và

góc OAS bằng 450 Tính V(S.ABCD)

8 (TN 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với

mặt đáy Biết góc BAC bằng 120 Tính V(S.ABCD) ?

9 (TN 2008) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I là trung điểm BC CMR

: SA vuông góc BC, và tính V(S.ABI) ?

10 (TN 2007) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với

đáy Biết SA=AB=BC=a Tính V(S.ABC) ?

11 (TN 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với

đáy, cạnh SB a= 3

a) Tính V(S.ABCD)?

b) CMR : trung điểm SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD

12 (B – 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA=a, SB a= 3 và mp (SAB) vuông góc với mặt đáy Gọi M, N là trung điểm Ab, BC Tính V(S.BMDN) và cosin của góc giữa 2 đường thẳng SM, DN

13 (A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là t.giác đều và nằm

trong mp vuông góc với đáy Gọi M, N, P là trung điểm của SB, BC, CD CMR : AM vuông góc với

BP, và tính V(CMNP)

14 (B – 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng

với D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC CMR : MN vuông góc BD và tính d(MN; AC)

15 (D – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, góc ABC, BAD bằng 90 BA=BC=a,

AD=2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a= 2 Gọi H là hình chiếu của A trên SB CMR : t.giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H tới (SCD)

16 (B – 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là HCN với AB=a, AD a= 2, Sa=a và SA vuônggóc với mặt đáy Gọi M, N là trung điểm AD, SC; I là giao điểm của BM và AC CMR : mp(SAC) vuông góc mp(SMB) và tính V(ANIB)

17 (B – 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy

bằng α Tính tan của góc giữa 2 mp (SAB) và (ABCD), V(S.ABCD)?

18 (A – 2002 ) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M, N là trung

điểm SB, SC Tính S(AMN), biết rằng mp(AMN) vuông góc với mp(SBC)

19 (D – 2002) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với (ABC), AC=AD=4, AB=3, BC=5 Tính khoảng

cách từ A tới mp(BCD) ?

1 Phương pháp gián tiếp.

a) Cơ sở : Để tính V(H) ta có thể tính thể tích V’ của một khối chóp khác đơn giản hơn Dựa vào mối

2 Gián tiếp : Coi B là đỉnh, so sánh với thể tích S.ABC.

3 Phân chia khối đa diện : V =V SABC( )−V MABC( )

Gợi ý : V(S.ABCD)=2.V(S.ABC)

Theo herong : (S ABC) 10 2=

Do SA=SB=SC nên kẻ đường cao SH thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

SA=R

4

abc S

= , tính được SA => tính được SH => V(S.ABCD)=45

Bài 7 (B – 2009 )

Cho lăng trụ ABC.A’BC’ có BB’=a, góc giữa BB’ và (ABC) bằng 600 Hình chiếu vuông góc của B’

lên (ABC) trùng với trọng tâm ABC∆ Tính V(A’ABC)

BG= => BD= (D trung điểm AC)

• Đặt AB=x, biểu diễn BC, CD theo x, dựa vào ∆BCD=> x

V = SA SB SC bằng cách chia khối chóp tứ giác thành 2 khối chóp tam giác.

Bài 9 (Một số bài toán về tỉ số thể tích)

1 Cho khối chóp tam giác SABC có ∆ABC vuông cân tại B, AC a = 2,SA ⊥ ( ABC ), góc giữa

SB và mp(ABC) bằng 60 H là hình chiếu của A trên SB, mp(P) chứa AH và song song với BC, cắt

SC tại K

a) Hãy nêu cách dựng mp(P)?

b) Tính tỉ số thể tích của 2 khôi đa diện SAHK và ABCHK?

2 Cho khối chóp tam giác SABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, AC a = 2, SA ⊥ ( ABC ), gócgiữa SC và mp(ABC) bằng 60 H là hình chiếu của A trên SC, mp(P) chứa AH và song song với BC, cắt SB tại K

3) Phương pháp phân chia lắp ghép khối đa diện.

Bài 1 (CĐ 2011)

Cho hình chóp S.ABC có đáy là t.giác ABC vuông cân tại B AB = a, SA⊥(ABC) Góc (SBC) và (ABC) bằng 300, M là trung điểm SC Tính thể tích S.ABM (

2 Gián tiếp : Coi B là đỉnh, so sánh với thể tích S.ABC.

3. Phân chia khối đa diện : V =V SABC( )−V MABC( )

Bài 2

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính thể tích khối chóp BDC’A’

HD : Thể tích lập phương bằng a3

• V(BDC’A’) bằng V(L.phương) trừ đi thể tích 4 hình chóp vuông đỉnh là B’, D’, A, C

• Mỗi chóp vuông này có V 1 3

6a

= => V(BDC’A’) 1 3

3a

=

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN KHÁC

1 Lăng trụ : V =B h Trong đó B là diện tích đáy, h là độ dài đường cao

2 Khối trụ tròn xoay : V = B h Trong đó B là diện tích đáy, h là độ dài đường cao

3 Khối chóp nón : 1

3

V = B h Trong đó B là diện tích đáy, h là độ dài đường cao

4 Hình hộp chữ nhật : V = a.b.c Với a, b, c là độ dài 3 cạnh.

5 Hình lập phương : V = a3 Với a là độ dài cạnh hình lập phương

Bài 1 (Bài tâp cơ bản)

a) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, góc giữa A’B và (ABC) bằng 60 Tính thể tích khối lăng trụ

b) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, góc giữa (A’BC) và (ABC bằng 60 Tính thể tích lăng trụ

Bài 1

a) (B – 2009) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’=a, góc giữa BB’ và (ABC) bằng 600 Tam giác ABC

vuông tại C, góc BAC bằng 60 Hình chiếu vuông góc của B’ lên (ABC) trùng với trọng tâm ABC∆ Tính V(A’ABC)

HD : V(A’ABC)=V(B’.ABC) =

3

9208

a

• G là trọng tâm ABC∆ => góc B’BG bằng 600 => 3

BG= => BD= (D trung điểm AC)

• Đặt AB=x, biểu diễn BC, CD theo x, dựa vào ∆BCD=> x

b) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’=a, góc giữa BB’ và (ABC) bằng 600 Tam giác ABC vuông tại A, góc BCA bằng 60 Hình chiếu vuông góc của B’ lên (ABC) trùng với trọng tâm ∆ABC Tính

V(A’ABC)

c) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’=a, góc giữa BB’ và (ABC) bằng 600 Tam giác ABC vuông tại B,

góc ACB bằng 60 Hình chiếu vuông góc của B’ lên (ABC) trùng với trọng tâm ABC∆ Tính

V(A’ABC)

Bài 2 (B - 2010)

a) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB=a Góc (A’BC) và (ABC) bằng 600 Gọi G là trọng tâm

'

A BC

∆ Tính thể tích lăng trụ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp GABC

Gợi ý : + Lăng trụ đều là lăng trụ đứng, có đáy là đa giác đều => Mặt bên là HCN, cạnh bên vuông

2 (D – 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là t.giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên

AA '=a 2 Gọi M là trung điểm BC Tính thể tích lăng trụ và d(AM;B’C)

3 (A – 2006) Cho hình trụ có đáy là 2 hình tròn tâm O, O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a Trên

(O) lấy A, trên (O’) lấy B sao cho AB=2a Tính V(OO’AB)

4 (B – 2003) Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc BAD bằng 60 Gọi M

là trung điểm AA’và N là trung điểm CC’ CMR : B’, M, D, N đồng phẳng Tìm độ dài AA’ để

B’MDN là hình vuông

5 (B – 2002) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh bằng a

a) Tính khoảng cách giữa A’B và B’D ?

b) Gọi M, N , P là trung điểm BB’, CD, A’D’ Tính góc giữa MP và C’N ?

CHUYÊN ĐỀ 12: HÌNH HỌC PHẲNG

VẤN ĐỀ 1 : PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Kiến thức cần nhớ:





=

Kiến thức không được quên:

Kiến thức không được quên

Điều kiện tiếp xúc:

Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S)

⇔ d I P ( ,( )) = r

với I là tâm mặt cầu (S)

r là bán kính mặt cầu (S)

Điều kiện tiếp xúc:

Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S)

( , )

⇔ d I d = r

với I là tâm mặt cầu (S)

r là bán kính mặt cầu (S)

4 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn :

Mặt phẳng ( )α không đi qua gốc tọa độ O

Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp và vectơ pháp tuyến.

Loại 1: Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z( 0 0 0) và có vectơ

Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z( 0 0 0) và song song

hoặc chứa giá của hai vectơ a , br r.

Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp tuyến.

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;-2;3) và song song với

mp(Q): 2x-2y-z-1=0

Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng

(Q): 2x-y-10=0

Bài 3: Cho hai điểm M(-1;-2;-3), N(-3;-2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm của đoạn thẳng

MN và song song với mặt phẳng (Q): 3x-y+z-10=0

Bài 4: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm tam

giác ABC và song song với mặt phẳng (Q): y-2z-1=0

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và

vuông góc với đường thẳng d.

Bài 7: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm tam

giác ABC và vuông góc với đường thẳng d: x 1 y z 1

Bài 8: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Bài 9: Cho ba điểm A(-2;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B,

C

Bài 10: Cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;-1;-1), C(0;1;0) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Bài 11: Cho ba điểm A(-2;0;2), B(2;-2;0), C(0;-2;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B,

C

Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(0;1;1), B(-1;0;1), C(2;0;1).

Bài 13: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(2;0;-1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Bài 14: Cho hai điểm A(2;-1;0), B(-1;2;1) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm O, A, B

Bài 15: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(4;3;-3) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm

tam giác ABC, gốc tọa độ và điểm A

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A,

• Nên mp(P) có VTPT: n= AB,nQ

r uuur uur

• Ptmp(P): A x x( − 0) +B y y( − 0) +C z z( − 0) =0

Bài 16: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm

A(2;-1;-1), B(1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-z-1=0

Bài 17: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm

A(1;1;1), B(2;1;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-1=0

Bài 18: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm

A(0;1;0), B(1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q):

2x-3y-2z-1=0

Dạng 6:

 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’.

 Hoặc viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’.

Bài 20: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AC và song song với BD.

2 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa DC và song song với AB.

3 Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa BC và song song với AD.

Bài 21: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau