Đường tròn C bán kính CB cắt đường thẳng AB và O lần lượt tại D và E D,E khác B a Chứng minh đường thẳng DE vuông góc với đường thẳng AC b Giả sử đường thẳng DE cắt O tại F khác E;các đư[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
Môn : Toán
Thời gian làm bài 150 phút
(Đề gồm 01 trang 5 câu)
Câu 1.
a) Giải hệ phương trình
1
x+
1
y=
4
x + y
¿ xy=√4 y −3
¿
¿ {
¿
¿ ¿
¿
b) Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x + y=2 Chứng minh rằng
2 √x2+y2+√xy ≤√6
Câu 2 Với n nguyên dương ( n 2 ¿ đặt
P n = (1 − 1
1+2)(1− 1
1+2+3) .(1− 1
1+2+ +n)
Tìm tất cả các số nguyên dương n ( n 2 ¿ sao cho P1
n là số nguyên
Câu 3 Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x2+y2=z2
a) Chứng minh A = xy chia hết cho 12
b) Chứng minh B = x3y − xy3 chia hết cho 7
Câu 4 Cho đường tròn (O) Lấy các điểm A, B, C thuộc (O) sao cho tam giác ABC nhọn
và AB > BC > CA Đường tròn (C) bán kính CB cắt đường thẳng AB và (O) lần lượt tại
D và E (D,E khác B)
a) Chứng minh đường thẳng DE vuông góc với đường thẳng AC
b) Giả sử đường thẳng DE cắt (O) tại F (khác E);các đường thẳng CO,AB cắt nhau tại G
và các đường thẳng BE,CF cắt nhau tại K Chứng minh ∠CKG=∠ CBG
Câu 5 Bên trong hình chữ nhật kích thước 5x12 cho n điểm bất kỳ
a) Với n=11, chứng minh trong số các điểm đã cho luôn tồn tại 2 điểm mà khoảng cách giữa 2 điểm đó không lớn hơn √13
b) Kết luận trên còn đúng không khi n = 10? Tại sao?
Hết.
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:……….Số báo danh:………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Gợi ý lời giải một số câu khó
Câu 1,2, 4a đa số hs làm được
Câu 3 HD : a) xét z 2 là số chính phương chia chia 4 dư 0 hoặc 1, chia 3 dư 0 hoặc 1 xét tương tự với x, y là suy ra đpcm
b) xét z 2 chia 7 dư 0; 1; 4 nên trong hai số x và y có thể hai số chia hết cho 7 hoặc cố một số chia hết cho 7 hoặc cả hai số chia 7 cùng số dư
Câu 4 b) góc ACB = góc KCB + góc KCA= góc FEB + gócDEA = góc FEB + góc EDB
mà góc KCB = góc FEB =1/2 sđFB Suy ra góc KCA = góc EDB suy tứ giác DEIK nội tiếp suy ra BD vuông góc CF
Từ đó cm tiếp dễ dàng
I K
G
F
E
A D
B
C
Câu 5a) chia hình chữ nhật thành 10 hình co kích thước 2x3 như hình 1 theo nguyên tác Đrichle 11 điểm bổ vào 10 hình luôn tôn tại 1 hình có hai điểm có khoảng cách không lớn hơn 2232 13 ( hình 1,2 ở dưới)
b) vơi n = 10 thì ta chia thành 9 hình như H2 theo nguyên tắc Đrichle luôn tôn tai một hình có hai điểm có khoảng cách không lơn hơn 13 Nên n= 10 vẫn đúng
Mong các bạn tìm nhiều lời giải hay chia sẻ với mọi người
Chúc các bạn thành công! GV NDHưng – THCS Nguyễn Tuấn Thiện
Trang 3H2 H1