Vai toan ve cuc tri

ĐẶT VẤN ĐỀ: Xuất phát từ yêu cầu của Bộ GD- ĐT, từ thực tiễn dạy học môn toán ở trườngTHCS Hiệu trưởng trường THCS Đức Hòa, và nhóm toán trường chúng tôi đã bàn bạc, thảo luận biên soạn

A ĐẶT VẤN ĐỀ:

Xuất phát từ yêu cầu của Bộ GD- ĐT, từ thực tiễn dạy học môn toán ở trườngTHCS Hiệu trưởng trường THCS Đức Hòa, và nhóm toán trường chúng tôi đã bàn bạc,

thảo luận biên soạn chủ đề: “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

đại số”, nhằm dạy cho đối tượng học sinh khá giỏi và dạy tự chọn cũng như phục vụ cho

việc giảng dạy học tập hằng ngày Đây là một trong những mảng kiến thức khó của toánhọc phổ thông cơ sở mà các em thường gặp một số ít trong sách giáo khoa Khi gặp các bàitập dạng này, học sinh thường lúng túng không biết bắt đầu phải giải như thế nào? Vớimong muốn giúp các em làm quen và nắm được cách giải toán dạng này, tôi biên soạnthành một chuyên đề để các em tham khảo và có một kĩ năng nhất định khi giải toán dạngnày

+ a + ≥ +b a b ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0

+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

C NỘI DUNG: CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI

• Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức:

Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện:

Theo giả thiết ta có: 1 – a ≥ 0; 1 – b ≥ 0; 1 – c ≥ 0;

1 27

Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC

Bài toán 1:

Tìm GTLN và GTNN của: 2

4 3 1

x y x

+

= + .

⇒ ≥ − Dấu “=” xảy ra khi x = -2.

Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2

Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1

2

Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của: 22 1

1

x x A

x x

− +

= + + .

• Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0

• Trường hợp 2: Nếu a ≠ 1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là ∆ ≥ 0, tức là:

Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1.

b) Vì 1 1 1

2m n+ = 3 nên trong hai số m, n phải có ít nhất một số dương Nếu có một trong hai

số là âm thì B < 0 Vì ta tìm GTLN của B = mn nên ta chỉ xét trường hợp cả hai số m, n cùng dương

Vậy GTLN của B = 24 khi  =m n =122 hay  =m n =46

Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1 Tìm GTNN của biểu thức:

 = −





= − −

 Thỏa điều kiện xy = 1

Bài toán 5: Tìm GTLN của hàm số: 2

1 1

y

x x

= + + .

y≤ Dấu “=” xảy ra 1

2

x

⇔ = − Vậy: GTLN của 4

−

= + .

t + đạt GTLN Nghĩa là t2 + 1 đạt GTNN

Ta có: t2 + 1 ≥ 1 ⇒ min (t2 + 1) = 1 tại t = 0 ⇔min g(t) = 1 – 2 = -1Vậy GTNN của g(x) là -1 tại t = 0

Bài toán 8: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = 1 Tìm GTNN của biểu

⇔2ax + ay + 2a – 2x +3y = 0

⇔2(a – 1)x + (a – 3)y = -2a (1)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (2x; y) và (a – 1; a – 3)

Ta có: 4a2 = [2x(a-1)+y(a-3)]2 ≤ (4x2+y2).[(a-1)2+(a-3)2]

Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = 1

Hãy tìm gái trị nhỏ nhất cảu biểu thức:

M =

2 2

≥ <=> ≥ <=> ≥ (1)Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1

* Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CÓ CHỨA CĂN THỨC.

Bài toán 1: Tìm GTLN của hàm số: y= x− + 2 4 −x

Vì y > 0 nên ta có: 0 < ≤y 2Dấu “=” xảy ra ⇔ x− = 2 4 − ⇔ − = − ⇔ =x x 2 4 x x 3 (Thỏa mãn (*))

Vậy GTLN của y là 2 tại x = 3

Vậy GTLN của hàm số y là 2 tại x = 3

Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y= 3 x− + 1 4 5 −x(1 ≤ ≤x 5)

25 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy GTLN của y là10 khi x = 61

25

* b) Gía trị nhỏ nhất:

Ta có: y = 3 x− + 1 4 5 − =x 3 x− + 1 3 5 − +x 5 −x

x=

Bài toán 7: Cho x > 0 ; y = 0 thỏa mãn x + y ≤ 1

Biểu thức có nghĩa khi 1996 ≤ ≤x 1998

Vì y ≥ 0với mọi x thỏa mãn điều kiện 1996 ≤ ≤x 1998

Cả ba trường hợp cho ta kết luận:

GTNN của M = 2 tương ứng với: 5 ≤ ≤a 17

D CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1:

Tìm GTNN của biểu thức: A = (2x – 3)2 – 7 với x ≤ − 1hoặc x ≥ 3

<=> 3A = 8 + (x + y)2 ≥ 8

x y ≤ x y = +

Tương tự: 4 2

1 2

y

y x ≤ +

B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước.

Biểu diễn P = (x – 6 – y)2 + 5(y – 1)2 + 4

Vậy Min P = 4 khi y = 1 ; x = 7

Bài toán 10: Tìm GTLN của biểu thức:

E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – 3

Gợi ý:

Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – 3 (y – 2)2

=> GTLN của E = 10  y = 2 ; x = 3

Bài toán 11: Tìm GTLN của biểu thức: P = 2x+ 4y+ 5 ×z

Biết x, y, z là các biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169

5 4 2

z y

x

z y x

8

3x 2

− +c) C = 22 1

1

x

x

− +

Gợi ý:

a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta:

Với x ≥ 0Với mọi x Với mọi x

A = (x + 2) + 5 4 2 5 4

2

+ b) B = 2

1

x x

x x

x x

+ + + +

+

− với x > 1

Gợi ý:

=> 2M = 122 + t2

Do đó 2M ≥ 122 <=>M ≥ 61Vậy Min M = 61 khi t = 0

Bài 23:

Cho phương trình: x4 + 2x2 +2ax – (a – 1)2 = 0 (1)

Tìm giá trị của a để nghiệm của phương trình đó:

Giải điều kiện này được m4 - m2 ≤ 0 <=> m(m – 1) ≤ <=> ≤ ≤ 0 0 m 1Vậy nghịêm của phương trình đạt GTNN là 0 với a = -1

Vậy nghịêm của phương trình đạt GTLN là 1 với a = -2

Do đó: Min A = 1

3 với x = y ; max A = 3 với x = - y

Bài 26: Cho a + b = 1 Tìm GTNN của biểu thức:

MinP Khi x=- b

2a

Nếu a < 0 :

2 2

5 A = x - 5x + 2008 = (x - 2,5)2 + 2001,75 ⇒ MinA = 2001,75 khi x = 2,5

1 6 4

8.

22 8

41 16 2

x x

10.

4 2

x x

8 Cho x và y là các số nguyên dương thoả

mãn : x + y = 2009

1 4

3 8

5.

2

1 2

6.

1

3 2 3

7.

5

1 4

1 6 4

19.

22 8

41 16 2

x x

21.

4 2

x x

Bài 7: Tìm GTNN của các biểu thức

4

*xy lớn nhất khi và chỉ khi (x - y) = 1

*xy nhỏ nhất khi và chỉ khi (x - y) lớn nhất

 Kết luận:

Trên đây là những bài toán bản thân tôi thu thập được trong quá trình giảng dạy, vớimong muốn giúp cho các em rèn luyện kỹ năng khi giải bài tập dạng này Trong quá trìnhbiên soạn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong sự góp ý chân thành của quíthầy cô và bạn đọc để tài liệu được hoàn thiện hơn