(SKKN 2022) phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 12 thông qua các bài toán về cực trị của hàm số

Hơn nữa, bài toán về cực trị của hàm số trong đề thi của các kỳ thi TN THPT của Bộ giáo dục và Đào tạo đã được đề cập, khai thác ở các mức độ khác nhau, các dạng tiếp cận khác nhau gây

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Người thực hiện: Lê Thị Thanh Thủy Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực: Toán

MỤC LỤC

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề 3

2.3.2 Hướng dẫn học sinh phương pháp nhận dạng bài tập và vận

dụng giải các bài tập liên quan

3

2.3.2.1 Dạng bài tập cơ bản cho tất cả đối tượng học sinh để học sinh

nhận biết, làm quen và tăng kĩ năng làm bài

3

2.3.2.2 Giới thiệu một số bài toán với mục đích để cho đối tượng học

sinh khá tiếp cận Từ đó nâng khả năng tư duy và không bị lạ

Dạng 7: Cho đồ thị f x'  hoặc BBT của hàm số f x' 

Xác định số điểm cực trị của hàm số f u x   10 Dạng 8: Cho biểu thức f x Xác đinh số điểm cực trị của' 

2.3.3 Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh theo mức độ nhận

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 19

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Mỗi một nội dung trong chương trình Toán phổ thông đều có vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh Trong quá trình giảng dạy, giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp giải toán, phát triển tư duy logic, từ đó tạo được thái độ và động cơ học tập đúng đắn Vì vậy việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với mỗi nội dung kiến thức nhất định là đặc biệt quan trọng

Nó vừa giúp người thầy có được sự định hướng trong việc giảng dạy - tuỳ thuộc vào mục tiêu, nội dung cần đạt, trình độ nhận thức của học sinh, vừa giúp người học dễ dàng tiếp cận kiến thức, tích lũy kiến thức, từ đó biết vận dụng vào làm bài thi đạt được kết quả cao nhất

Trong dạy học môn Toán, phương pháp tư duy của học sinh phần lớn được hình thành và được rèn luyện trong quá trình giải toán, thông qua hoạt động này học sinh hoạt động tích cực để tìm tòi, khám phá và chiếm lĩnh tri thức mới Là giáo viên dạy Toán, việc hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh biết cách chuyển

từ bài toán mới về những bài toán quen thuộc, bài toán “khó” trở về bài toán

“dễ”, biết cách “xử lí” các tình huống có vấn đề về các tình huống đơn giản là điều rất cần thiết và thiết thực

Hơn nữa, bài toán về cực trị của hàm số trong đề thi của các kỳ thi TN THPT của Bộ giáo dục và Đào tạo đã được đề cập, khai thác ở các mức độ khác nhau, các dạng tiếp cận khác nhau gây không ít khó khăn cho học sinh trong quá trình giải quyết bài toán này Đặc biệt là từ khi Bộ GD và ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho môn Toán, đòi hỏi học sinh không những phải có kiến thức sâu, rộng mà còn phải có các cách tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất

Với những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định

chọn đề tài: “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua một

lớp bài toán về cực trị của hàm số’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của bản

thân trong năm học 2021– 2022 Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là phát triển năng lực tư duy, quy lạ về quen thông qua một số các bài toán về cực trị của hàm số nhằm rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển cho học sinh những năng lực sau:

- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và năng lực giải quyết các tình huống thực tiễn

- Năng lực sử dụng máy tính cầm tay casio

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

- Kỹ năng vận dụng kiến thức về hàm số

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các bài toán về cực trị của hàm số trong

chương trình học lớp 12 để rèn luyện các kỹ năng và phát triển các năng lực

Toán học của học sinh

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm:

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập giải tích- Nâng cao và Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh, đề minh họa và đề thi TN THPT của các năm

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp thực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải Toán có vai trò quan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của học sinh, để từ đó có khả năng thích ứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết

Giúp học sinh có cái nhìn và phương pháp dễ hiểu, dễ vận dụng vào thực tế giải toán, giúp các em có sự tự tin khi gặp dạng toán này đồng thời giúp học sinh phát triển tư duy cũng như đam mê học toán

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Đối tượng học sinh tôi hướng tới là các học sinh học ở các lớp đại trà, không phải lớp chọn Vì thế tư duy của học sinh chậm, điều kiện kinh tế còn khó khăn, nên ảnh hưởng đến kết quả học tập của các em

Kỹ năng giải toán còn chậm; Khả năng phát hiện vấn đề nảy sinh trên cơ sở

đã có, khả năng quy lạ về quen còn nhiều hạn chế Do đó học sinh gặp nhiều lúng túng, sai lầm khi gặp các bài toán có sự thay đổi dạng

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Kiến thức cơ bản về cực trị hàm số:

Định lý: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng a b; chứa điểm x0và có đạo

hàm trên các khoảng a x và ; 0 x b Khi đó :0; 







thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0







thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

Điểm cực đại , cực tiểu của hàm số gọi chung là điểm cực trị của hàm số

Như vậy : Điểm cực trị của hàm số phải là một điểm trong của tập hợp D

0

x D là điểm cực trị của hàm số f x( )nếu qua x0 đạo hàm f x'( ) đổi dấu.

Chú ý : Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f x( ) thì:

1 Điểm ( ; ( ))x f x0 0 được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f x( ).

2 y0 f x( )0 được gọi là giá trị cực trị của hàm số ( còn gọi là cực trị của hàm số)

2.3.2 Hướng dẫn học sinh phương pháp nhận dạng bài tập và vận dụng giải các bài tập liên quan.

2.3.2.1 Dạng bài tập cơ bản để học sinh nhận biết và làm quen:

Dạng 1: Cho biết đồ thị (hoặc BBT) của hàm số f x( ) Xác định số điểm cực trị của hàm số f x( )

Ở đây học sinh cần nắm vững tìm điểm cực đại hoặc cực tiểu của hàm số là tìm các giá trị x mà tại đó đạo hàm đổi dấu

Ví dụ 1: (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 2) Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại:

A x 2 B x 2 C x 1 D x 1

Phân tích hướng giải:

Hàm số đạt cực đại tại điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm

Từ bảng biến thiên hàm số đạt cực đại tại x 1

Chọn D

Ví dụ 2: (Mã 105 - 2017) Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đạt cực tiểu tại x 5 B Hàm số có bốn điểm cực trị.

C Hàm số đạt cực tiểu tại x2 D Hàm số không có cực đại.

Phân tích và hướng giải:

Dựa vào bảng biến thiên Hàm số có đạo hàm trên ¡ và y 2  0;y đổi dấu từ

âm sang dương khi đi qua x2 nên hàm số đạt cực tiểu tại x2

Chọn.C

Ví dụ 3: (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A x 3 B x 1 C x 2 D x 3

Phân tích hướng giải:

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương

Từ bảng biến thiên hàm số đạt cực tiểu tại x 1

Chọn B.

Dạng 2: Cho biết đồ thị (hoặc BBT) của hàm số f x( ) Xác định giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số f x( )

Ở đây học sinh cần nắm vững được khái niệm giá trị cực đại, giá trị cực tiểu là tìm dòng f x( ).

Ví dụ 4: (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

Phân tích hướng dẫn:

Nhìn vào dòng f x( ) ở bảng biến thiên, học sinh tìm giá trị ứng với mũi tên đi

xuống rồi qua giá trị đó mũi tên đi lên, tính từ trái qua phải Vậy ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng  4

Chọn D.

Ví dụ 5: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

Phân tích hướng giải:

Nhìn vào dòng f x( ) ở bảng biến thiên, học sinh tìm giá trị ứng với mũi tên đi

lên rồi qua giá trị đó mũi tên đi xuống ,tính từ trái qua phải Vậy ta thấy giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 2

Chọn B.

Ví dụ 6: (Mã 110 - 2017) Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như sau

Tìm giá trị cực đại y CĐ và giá trị cực tiểu y CT của hàm số đã cho

A y  CĐ 2 và y  CT 0 B y CĐ  3 và y  CT 0

C y  CĐ 3 và y  CT 2 D y  CĐ 2 và y  CT 2

Phân tích hướng giải: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có y CĐ  3 và 0

CT

y 

Chọn B

Dạng 3: Cho biết đồ thị (hoặc BBT) của hàm số f x( ) Xác định số điểm cực trị của hàm số f x( )

Ví dụ 7: (Đề thi THPTQG năm 2018-Mã đề 101)

Cho hàm số y ax 3bx2 cx d a b c d  , , ,  có đồ thị như hình vẽ bên.

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Ví dụ 8: (Đề minh họa THPTQG năm 2019)

Cho hàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số đã cho có mấy điểm cực trị?

Ở ví dụ 7, ví dụ 8 thì hướng dẫn học sinh biết đọc

đồ thị để tìm cực đại, cực tiểu Tính từ trái qua

phải, cực đại đạt tại điểm đồ thị đi lên qua điểm

đó đồ thị đi xuống Cực tiểu đạt tại điểm đồ thị đi

xuống qua điểm đó đồ thị đi lên.

Ví dụ 9: (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 2) Cho hàm số f x  có bảng xét dấu của f x  như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Phân tích hướng giải:

Nhìn vào bảng biến thiên thì f x  đổi dấu từ " "  sang " "  khi đi qua điểm 2

x  , và đổi dấu từ " "  sang " "  khi đi qua điểm x 0 Vậy f x  đổi dấu 2 lần nên hàm số có 2 cực trị

Chọn C.

Ví dụ 10: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x  liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu của f x  như sau:

Số điểm cực đại của hàm số đã cho là

Phân tích hướng giải:

Do hàm số f x  liên tục trên ¡ , f   1  0,

 1

f  không xác định nhưng do hàm số liên tục trên ¡ nên tồn tại f( )1 và f x  đổi dấu từ " "  sang " "  khi đi qua các điểm x 1, x 1 nên hàm số đã cho đạt cực đại tại 2 điểm này

Vậy số điểm cực đại của hàm số đã cho là 2

Chọn C.

Dạng 4: Cho đồ thị f x'( ) Xác định số điểm cực trị của hàm số f x( )

Ví dụ 11: (Đề thi thử THPTQG trường THPT Phan Đình Phùng – Hà Tĩnh)

Cho hàm số yf x  liên tục trên  Biết đồ thị của hàm số y f x  như hình vẽ

Số điểm cực trị của hàm số y f x  là:

Ví dụ 12: Cho hàm số y f x  có đạo hàm

liên tục trên R Đồ thị của hàm số y f x 

được cho bởi hình vẽ bên Số điểm cực trị của

hàm số yf x  là

Nhận xét: Ở dạng 4 này học sinh thường mắc

một số sai lầm:

- Lấy số điểm cực trị của hàm số y f x  là

số điểm cực trị của hàm số yf x 

- Số điểm chung của đồ thị với trục Ox là số điểm cực trị của hàm số y f x 

O

x

y

1

1

Để tránh được những sai lầm, GV nhấn mạnh đối với dạng này ta chỉ cần tìm số giao điểm của đồ thị yf x'  và trục Ox , không kể các điểm mà đồ thị

 

'

y f x tiếp xúc với trục Ox

Nếu yêu cầu bài toán hỏi cụ thể điểm cực đại, cực tiểu thì GV hướng dẫn học sinh lập bảng xét dấu của hàm số y f x , từ đó đưa ra kết luận.

Bảng xét dấu đạo hàm được lập từ đồ thị y f x có thể dựa theo nguyên tắc: Trên khoảng a b;  đồ thị y f x nằm phía trên trục Ox thì trên khoảng đó đạo hàm nhận giá trị dương và trên khoảng a b đồ thị ;  y f x nằm phía dưới trục Ox thì trên khoảng đó đạo hàm nhận giá trị âm Tại “điểm nối” giữa hai khoảng đó đạo hàm nhận giá trị bằng không

Dạng 5: Cho biểu thức của f x'( ) Xác định số điểm cực trị của hàm số f x( )

Ví dụ 13: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x  x x 3 2  x2 5 Số điểm cực trị của hàm số yf x  là:

A 4 B 3 C 5 D 2

Phân tích hướng giải:

0

5 2

x

x



 



   



 



Học sinh cần nắm vững được phương trình f x '( ) 0có 4 nghiệm phân biệt và

'( )

f x đổi dấu qua 4 nghiệm nên hàm số yf x  có 4 điểm cực trị

Chọn A.

Ví dụ 14: (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm

3

( ) ( 1)( 2)

f x x x x ,  x R Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Phân tích hướng giải:

( ) 0 ( 1)( 2) 0

f x   x x x 

0 1 2

x x x







 



 



Do f x ( ) 0  có ba nghiệm phân biệt và f x ( ) đổi dấu qua ba nghiệm này nên hàm số có ba điểm cực trị Chú ý rằng, trong 3 nghiệm thì x 2 là nghiệm bội lẻ

Ví dụ 15: (Mã 101 - 2019) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm

 2

( ) 2 , x

f x x x    Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A 2 B 1 C 0 D 3

Phân tích hướng giải:

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị đó là điểm cực tiểu x 0 Chú ý rằng, x 2 là nghiệm bội chẵn

Ở ví dụ 14, ví dụ 15 giáo viên nhấn mạnh cho học sinh, nghiệm bội chẵn không là điểm cực trị của hàm số, còn nghiệm bội lẻ là cực trị của hàm số.

2.3.2.2 Giới thiệu một số bài toán với mục đích để cho đối tượng học sinh khá tiếp cận Từ đó nâng cao khả năng tư duy và không thấy lạ khi làm bài.

Bài toán đưa ra cần làm cho học sinh thấy rõ tuy chưa có ngay lời giải

nhưng đã có một số kiến thức, kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và các em học sinh tin rằng nếu tích cực suy nghĩ, vận động tích cực sáng tạo, tư duy thì sẽ giải quyết được.

Dạng 6: Bài toán có tham số:

Ví dụ 16: (Mã 110 - 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số

1

4 3 3

y x  mx  m  x đạt cực đại tạix 3

Phân tích hướng giải:

Đối với hàm đa thức thì dùng quy tắc tìm cực trị qua đạo hàm cấp 2 sẽ rất thuận lợi.

Bước 1: Tính y x'( ), "( ) 0 y x0 .

Bước 2: Giải phương trình y x'( ) 0 0   m ?

Bước 3: Thay m vào y x"( ) 0 Nếu giá trị 0 0

"( ) 0

"( ) 0

CT

CÐ







Ta có y x2  2mxm2  4; y  2x 2m

4 3 3

y x  mx  m  x đạt cực đại tại x 3 khi và chỉ khi:  

 

3 0

3 0

y y

 





 



 

 

5

3

m

 





Vậy m 5 là giá trị cần tìm

Chọn C.

Ví dụ 17: (Chuyên ĐHSPHN - Lần 3 - 2019) Tập hợp các số thực m để hàm

y x  mx  m x m đạt cực tiểu tại x 1 là

-4

y

-1

x -1

1

Tương tự ví dụ 16:

2

y  x  mx m  ; y  6x 6m

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 1khi y y(1) 0(1) 0

 



5 5 0

6 6 0

m m

  



 

 



1 1

m m





 



 không có giá trị của m

Chọn C.

Ví dụ 18: (Mã 103 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm

yx  m x  m  x  đạt cực tiểu tại x 0

Lời giải

Ta có y' 8  x7  5m 4x4  4m2  16x3 x3  8x45m 4x 4m216

y" 56 x6 20(m 4)x312(m216)x2 4x2  14x45m 4x 3m2 6

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0

 

 

2 2

0 ' 0 0

" 0 0

x y

y

m

  







Do m   m  3; 2; 1;0;1;2;3;4    Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m thỏa

mãn Chọn A.

Dạng 7: Cho đồ thị f x hoặc BBT của hàm số '  f x Xác định số điểm ' 

cực trị của hàm hợp f u x  

Từ dạng bài tập cho đồ thị f x'  Xác định số điểm cực trị của hàm số

 

y f x , GV mở rộng vấn đề cho đồ thị f x hoặc BBT của hàm số '  f x ' 

Xác định số điểm cực trị của hàm số f u x  

Ví dụ 19: (Đề thi thử THPTQG năm 2018-Trường THPT Triệu Sơn 1 – Thanh Hóa) Cho hàm số yf x  xác định và có đạo hàm y f x'  trên  Biết đồ thị của hàm số yf x'  như hình vẽ dưới

Số điểm cực trị của hàm số g x  f 2x 1 là

C 3 D 1.

Phân tích và lựa chọn đáp án: