(SKKN 2022) Hướng dẫn học sinh cách nghĩ, cách làm khi gặp bài toán về cực trị của hàm số tại trường THPT Cẩm Thủy 1 Thanh Hóa

Trong thực tế giảng dạy tôi thấy, muốn cho học sinh đạt được điểm tối đa trong phần này trong kỳ thi TN THPT và trong kỳ thi HSG cấp tỉnh thì phải hướng dẫn, trang bị cho các em “Cách su

Mục lục

1 : Mở đầu 2

1.1 Lí do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu 3

2 : Nộ dung sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1 Cơ sở lí luận của SKKN 3

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN 4

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

1 Trang bị lại cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất về cực trị của hàm số, về các phép biến đổi đồ thị của hàm số……….……… 4

2 Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi 5

3 Một số bài toán cơ bản 6

4 Một số bài tập tự luyện… 15

2.4 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và Nhà trường 16

1 – Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong đề thi TN THPT những năm gần đây, phần hàm số chiếm từ 11 đến

12 câu, trong đó các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số có 2 đến 3 câu Trong đề thi HSG cấp tỉnh giành cho học sinh khối 12 thì phần kiến thức này cũng chiếm một tỉ lệ khá cao và khó lấy điểm Học sinh các trường THPT khó lấy điểm tối đa được phần kiến thức này, nhất là học sinh học ở các trường miền núi Đặc biệt là từ khi Bộ GD&ĐT, Sở GD&ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho môn Toán, đòi hỏi học sinh không những phải có kiến thức sâu, rộng mà còn phải có cách tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất

Các kiến thức liên quan đến cực trị của hàm số là phần kiến thức rất quan trọng trong quá trình ôn thi TN THPT và ôn thi HSG cấp tỉnh, phần kiến thức này có thể có ở cả 4 mức độ trong đề thi

Đối với học sinh miền núi nơi Tôi trực tiếp giảng dạy, Tôi thấy ít học sinh

làm chọn vẹn được câu này trong các kỳ thi

Hiện tại chưa có tài liệu nào phân dạng, nói lên cách suy nghĩ, cách làm đối với từng dạng Vì vậy việc tôi lựa chọn cách này để viết SKKN là cấp thiết, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường và nhân rộng trong toàn Ngành giáo dục

Trong thực tế giảng dạy tôi thấy, muốn cho học sinh đạt được điểm tối đa trong phần này trong kỳ thi TN THPT và trong kỳ thi HSG cấp tỉnh thì phải hướng dẫn, trang bị cho các em “Cách suy nghĩ, cách làm khi gặp bài toán cực trị của hàm số” Với mong muốn các học sinh của mình sẽ làm tốt phần kiến này trong kỳ thi TN THPT và trong kỳ thi HSG cấp tỉnh, tôi mạnh dạn đưa ra sáng

kinh nghiệm:“ Hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách làm khi gặp bài toán

cực trị của hàm số tại trường THPT Cẩm Thủy 1 – Thanh Hóa”

Do khả năng còn hạn chế; kinh nghiệm chưa nhiều và quy định về số trang nên trong SKKN của tôi có thể có những phần chưa hoàn chỉnh Rất mong

được sự đóng góp quí báu của quí thầy cô, đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Trên cơ sở phân tích, đánh giá đúng thực trạng công tác phát hiện, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi TN THPT trong những năm vừa qua, kinh nghiệm của bản thân để hướng dẫn học sinh giúp các em học sinh đạt điểm cao trong kỳ thi TN THPT và trong kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh nhằm nâng cao chất lượng bộ môn Toán tại trường THPT Cẩm Thủy 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài này nghiên cứu, tổng kết về lớp các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số để rèn luyện các kỹ năng và phát triển năng lực toán học của học sinh, giúp học sinh quy lạ thành quen nhằm nâng cao chất lượng bộ môn Toán tại trường THPT Cẩm Thủy 1 trong kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi chọn HSG cấp tỉnh

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập giải tích- Nâng cao và Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh, đề minh họa và đề thi TN THPT của các năm

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp thực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

2.1 Cơ sở lí luận của SKKN

- Một học sinh không thể học “cực trị của hàm số” tốt khi không nắm

vững về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số; về dáng điệu đồ thị của hàm số; về các phép biến đổi đồ thị hàm số; …

- Một học sinh không thể học “cực trị của hàm số” tốt khi không nắm vững các bài toán cơ bản về cực trị của hàm số

- Một học sinh không thể học “cực trị của hàm số” tốt nếu không có cách

nghĩ, cách làm và khả năng tự giải quyết vấn đề

……

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

- Thực trạng chung: Hầu hết các học sinh có cảm giác sợ các bài toán về

cực trị của hàm số có chứa tham số; cực trị của hàm ẩn

- Thực trạng đối với giáo viên: Không ít giáo viên chưa có cách nhìn tổng

quan về cực trị của hàm số nên khi truyền đạt kiến thức cho học sinh chưa được sâu sắc

- Thực trạng đối với học sinh: Hầu hết học sinh chưa có cách học tốt khi

gặp phần kiến thức này và luôn có cảm giác “ngại học câu khó” Vì vậy hầu hết các em đều học chưa tốt phần kiến thức này

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

1/ Trang bị lại cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất về cực trị của hàm

số, về các phép biến đổi đồ thị hàm số.

Ví dụ như:

 Định lý: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng  a b chứa điểm ; x0và có

đạo hàm trên các khoảng a x và ; 0  x b Khi đó :0; 



 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0



 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

Điểm cực đại , cực tiểu của hàm số gọi chung là điểm cực trị của hàm số

Như vậy : Điểm cực trị của hàm số phải là một điểm trong của tập hợp D

0

x D là điểm cực trị của hàm số ( )f x nếu qua x0 đạo hàm '( )f x đổi dấu.

Chú ý : Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số ( )f x thì:

 Điểm ( ; ( ))x f x0 0 được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số ( )f x

 y0  f x( )0 được gọi là giá trị cực trị của hàm số ( còn gọi là cực trị của hàm số)

 Các phép biến đổi đồ thị hàm số

Biết đồ thị hàm số y f x  , ta suy ra được đồ thị của hàm số:

 y f x  p p,  0

 y f x  p p,  0

 y f x q q  ,  0

 y f x q q  ,  0

 y f x  .

 y f x 

 y f x q q  ,  0

 y f x q q  ,  0

 y f x q  , q 0

 y f x q  , q 0

 Đạo hàm của hàm số hợp

2/ Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi.

H? Yêu cầu bài toán là gì?

H? Để thực hiện yêu cầu đó ta có những hướng suy nghĩ nào?

H? Giả thiết bài toán cho gì?

H? Với giả thiết đó, ta có mấy cách giải quyết bài toán này và ta sẽ làm bài này theo cách nào? vì sao?

Khi gặp khó khăn, ta tiếp tục đặt câu hỏi?

H? Ta gặp khó khăn ở đâu?

H? Có phần giả thiết nào chưa sử dụng không?

H? Ta đã gặp bài toán nào tương tự bài này chưa?

3/ Một số bài toán cơ bản

Bài toán 1:

Cho đồ thị của hàm số y f x  , hỏi về: điểm cực trị của hàm số; giá trị cực

trị của hàm số; điểm cực trị của đồ thị hàm số đối với các hàm số sau:

a y f x  .

b y f x  p p,  0.

c y f x  p p,  0.

d y f x q q  ,  0.

e y f x q q  ,  0.

f y f x  .

g y f x  .

h y f x q q  ,  0.

i y f x q q  ,  0.

j y f x q  , q 0

k y f x q  , q 0

*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:

 Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này

+/ Câu trả lời mong muốn đối với từng ý:

a Từ đồ thị ta có thể đọc ngay kết quả(cần phân biệt rõ khái niệm về: điểm cực trị của hàm số; cực trị của hàm số - giá trị cực trị của hàm số; điểm cực trị của đồ thị hàm số

b Đồ thị hàm số y f x  p p,  0 có được khi ta tịnh tiến đồ thị hàm số

 

y f x lên trên p đơn vị, từ đó ta có kết luận

c Đồ thị hàm số y f x  p p,  0 có được khi ta tịnh tiến đồ thị hàm số

 

y f x xuống dưới p đơn vị, từ đó ta có kết luận

d Đồ thị hàm số y f x q q  ,  0 có được khi ta tịnh tiến đồ thị hàm số

 

y f x sang trái q đơn vị, từ đó ta có kết luận

e Đồ thị hàm số y f x q q  ,  0 có được khi ta tịnh tiến đồ thị hàm số

 

y f x sang phải q đơn vị, từ đó ta có kết luận

f Đồ thị hàm số y f x  có được khi ta làm các công việc sau: Gọi

 C1 là phần đồ thị của  C :y f x  không nằm phía dưới trục Ox; Gọi  C2 là phần đồ thị của  C :y f x  nằm phía dưới trục Ox; Gọi

 C3 là phần đồ thị đối xứng với  C2 qua trục Ox Khi đó    C1  C3

là đồ thị của hàm số y f x  Từ đó ta có kết luận.

g Đồ thị hàm số y f x  có được khi ta làm các công việc sau: Gọi

 C1 là phần đồ thị của  C :y f x  không nằm bên trái trục Oy; Gọi

 C2 là phần đồ thị đối xứng với  C1 qua trục Ox Khi đó    C1  C2

là đồ thị của hàm số y f x  Từ đó ta có kết luận.

h Đồ thị hàm số y f x q q  ,  0 có được khi ta tịnh tiến đồ thị hàm

số y f x  sang trái q đơn vị sau đó lấy đối xứng như câu g Từ đó ta

có kết luận

i Đồ thị hàm số y f x q q  ,  0 có được khi ta tịnh tiến đồ thị hàm

số y f x  sang phải q đơn vị sau đó lấy đối xứng như câu g Từ đó

ta có kết luận

j Đồ thị hàm số y f x q  , q 0 có được khi ta thực hiện công việc

lấy đối xứng như câu g, sau đó tịnh tiến sang trái q đơn vị Từ đó ta

có kết luận

k Đồ thị hàm số y f x q  , q 0 có được khi ta thực hiện công việc

lấy đối xứng như câu g, sau đó tịnh tiến sang phải q đơn vị Từ đó ta

có kết luận

 Yêu cầu học sinh làm bài toán cụ thể.

Ví dụ: (Tự sáng tác)

Cho hàm số y f x  có đồ thị  C như hình vẽ

a Điểm cực đại của hàm số y f x  là:

A x 1. B x  1. C y   1. D  1; 4 .

 Yêu cầu học sinh đứng tại chỗ nêu lên suy nghĩ của mình khi gặp bài toán này

 Giáo viên nhấn mạnh để học sinh phân biệt: Điểm cực trị của hàm số; Điểm cực trị của đồ thị hàm số; Giá trị cực trị của hàm số

 Câu trả lời mong muốn: B x  1.

b Giá trị cực đại của hàm số y f x   2 là:

Yêu cầu học sinh đứng tại chỗ nêu lên suy nghĩ của mình khi gặp bài toán này

Câu trả lời mong muốn: C y 6.

c Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y f x  3 là:

A 1; 3  . B  1;1. C  1;0 D  1; 4 .

 Yêu cầu học sinh đứng tại chỗ nêu lên suy nghĩ của mình khi gặp bài toán này:

 Câu trả lời mong muốn: Đồ thị hàm số y f x  3 có được khi ta tịnh tiến đồ thị hàm số y f x  xuống dưới 3 đơn vị, nên ta chọn A 1; 3  

d Điểm cực đại của đồ thị hàm số y f x  3 là:

A  2;4 B  4;4 C  1;7 D  1;4

Yêu cầu học sinh đứng tại chỗ nêu lên suy nghĩ của mình khi gặp bài toán này:

 Câu trả lời mong muốn: Đồ thị hàm số y f x  3 có được khi ta tịnh tiến đồ thị hàm số y f x  sang trái 3 đơn vị, nên ta chọn B  4;4 .

e Giá trị cực tiểu của hàm số y f x  2022 là:

A y 2022. B y 2023. C y 4. D y 0.

Yêu cầu học sinh đứng tại chỗ nêu lên suy nghĩ của mình khi gặp bài toán này:

 Câu trả lời mong muốn: Đồ thị hàm số y f x  2022 có được khi ta tịnh

tiến đồ thị hàm số y f x  sang phải 2022 đơn vị, nên ta chọn D y 0.

f Số điểm cực trị của hàm số y f x  là:

Yêu cầu học sinh đứng tại chỗ nêu lên suy nghĩ của mình khi gặp bài toán này:

 Câu trả lời mong muốn: Gọi số điểm cực trị của hàm số y f x  là m; số lần đồ thị hàm số y f x  xuyên qua trục Oxlà n Khi đó, số điểm cực trị của hàm số y f x  là m n Nên ta chọn C 3

Qua câu này, giáo viên hỏi thêm học sinh về số điểm cực đại, số điểm cực tiểu của hàm số y f x  .

g Số điểm cực trị của hàm số y f x  là:

Yêu cầu học sinh đứng tại chỗ nêu lên suy nghĩ của mình khi gặp bài toán này:

 Câu trả lời mong muốn: Gọi số điểm cực trị dương của hàm số y f x 

là m Khi đó, số điểm cực trị của hàm số y f x  là 2m 1 Nên ta chọn

C 3

Qua câu này, giáo viên hỏi thêm học sinh về số điểm cực đại, số điểm cực tiểu của hàm số y f x  .

h Số điểm cực trị của hàm số y f x  3 là:

Yêu cầu học sinh đứng tại chỗ nêu lên suy nghĩ của mình khi gặp bài toán này:

 Câu trả lời mong muốn: Đồ thị hàm số y f x  3 có được khi ta tịnh tiến đồ thị hàm số y f x  sang trái 3 đơn vị sau đó ta lập luận như câu

g Nên ta chọn A 1

i Số điểm cực trị của hàm số y f x  3 là:

Yêu cầu học sinh đứng tại chỗ nêu lên suy nghĩ của mình khi gặp bài toán này:

 Câu trả lời mong muốn: Đồ thị hàm số y f x  3 có được khi ta tịnh tiến đồ thị hàm số y f x  sang phải 3 đơn vị sau đó ta lập luận như câu

g Nên ta chọn D 5

j Số điểm cực trị của hàm số y f x  3 là:

Yêu cầu học sinh đứng tại chỗ nêu lên suy nghĩ của mình khi gặp bài toán này:

 Câu trả lời mong muốn: Số điểm cực trị của hàm số y f x  3 bằng số điểm cực trị của hàm số y f x  Nên ta chọn C 3

Tổng quát: Số điểm cực trị của hàm số y f x m   bằng số điểm cực trị của hàm số y f x , với m ¡

k Số điểm cực trị của hàm số y f x  2022 là:

Yêu cầu học sinh đứng tại chỗ nêu lên suy nghĩ của mình khi gặp bài toán này:

 Câu trả lời mong muốn: Lập luận như câu j Ta chọn C 3

Bài toán 2:

Cho bảng biến thiên của hàm số y f x  , hỏi về: điểm cực trị của hàm số;

giá trị cực trị của hàm số; điểm cực trị của đồ thị hàm số

*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:

 Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này

+/ Câu trả lời mong muốn: Bảng biến thiên là hình ảnh của đồ thị hàm số Do

đó, các suy nghĩ khi gặp bài toán 2 tương tự như trong bài toán 1

*/ Yêu cầu học sinh làm bài toán cụ thể.

Ví dụ: (Tự sáng tác)

Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho có giá trị cực đại là:

A x 0 B y 3 C y  2 D y 0

Đáp số: Chọn B y 3

Bài toán 3:

Cho bảng xét dấu của biểu thức f x' , hỏi về: điểm cực trị của hàm số

 

y f x .

*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:

 Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này

+/ Câu trả lời mong muốn: Số lần đổi dấu của f x'  khi x đi qua điểm x0 thuộc tập xác định của hàm số y f x  bằng số điểm cực trị của hàm số y f x 

(trong đó: số lần đổi dấu từ “dương” sang “âm” bằng số điểm cực đại của hàm

số y f x  ; số lần đổi dấu từ “âm” sang “dương” bằng số điểm cực tiểu của

hàm số y f x 

*/ Yêu cầu học sinh làm bài toán cụ thể.

Ví dụ: (Tự sáng tác)

Cho hàm số y f x  xác định trên ¡ và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

x  x1 x2 x3 

 

'

Khi đó số điểm cực trị của hàm số y f x  là:

 Giáo viên yêu cầu học sinh thực hiện:

+/ Câu trả lời mong muốn: Hàm số y f x  xác định trên ¡ và f x'  đổi dấu 3

lần, nên ta chọn C 3

 Giáo viên hỏi thêm học sinh về số điểm cực đại, số điểm cực tiểu của hàm số y f x  .

Bài toán 4:

Cho biểu thức f x' , hỏi về: điểm cực trị của hàm số y f x  .

*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:

 Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này

+/ Câu trả lời mong muốn: Số nghiệm bội lẻ của phương trình f x'   0 bằng số

điểm cực trị của hàm số y f x  Nếu bài toán yêu cầu tìm rõ điểm cực đại,

điểm cực tiểu thì ta phải lập bảng xét dấu của f x' 

*/ Yêu cầu học sinh làm bài toán cụ thể.

Ví dụ: (Tự sáng tác)

Cho hàm số y f x  liên tục trên ¡ và có đạo hàm   19  5 1890

f x x x x ,

số điểm cực trị của hàm số là:

 Giáo viên yêu cầu học sinh thực hiện:

+/ Câu trả lời mong muốn: f x'  có 2 nghiệm bội lẻ, nên ta chọn B 2

 Giáo viên hỏi thêm học sinh về số điểm cực đại, số điểm cực tiểu của hàm số y f x  .

Bài toán 5:

Cho hàm số y f x  , hỏi về: điểm cực trị của hàm số; giá trị cực trị của hàm

số; điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x .