(SKKN mới NHẤT) SKKN một số bài toán về cực trị trong hình học giải tích 12

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12 nói riêng và Hình học giải tích nói chung, bên cạnh các bài toán quen thuộc như: Lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng,

I) LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12 nói riêng và Hình học giải tích nói chung, bên cạnh các bài toán quen thuộc như: Lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng, đường tròn, mặt cầu… ta còn gặp nhiều bài toán về lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu hay tìm điểm thỏa mãn một số tính chất đặt biệt hay một điều kiện cực trị náo đó Nói chung đây là dạng toán không mới nhưng cũng không phải là dễ, chỉ có trong chưng trình nâng cao và các bài toán thi Đại học cao đẳng hay thi học sinh giỏi

Trong quá trình trực tiếp giảng dạy môn toán tôi nhận thấy đây là đề tài tương đối hay, có thể lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi Tuy nhiên việc tiếp cận vấn

đề này đối với một số học sinh chưa có hiệu quả và thường hay nản chí Tôi nhận thấy nếu hểu đúng bản chất và vận dụng linh hoạt các kiến thức hình học thông thường, biết vận dụng tính chất của véc tơ, … ta có thể đưa các bài toán tưởng chừng phức tạp và khó thành bài toán quen thuộc với học sinh

Với tinh thần trên, nhằm giúp các em học sinh hứng thú hơn, tạo cho các em niềm tin, niềm đam mê sáng tạo, tự học, tự nghiên cứu khi giải toán Hình học, tôi

trình bày chuyên đề: “ Một số bài toán về cực trị trong hình học giải tích 12”

II) THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

1 Thuận lợi:

 Học sinh đã được trang bị các kiến thức cơ bản

 Học sinh hào hứng trước những bài toán lạ và khó

 Khi thực hiện chuyên đề, học sinh có nhiều chuyển biến về thái độ và kết quả học tập

2 Khó khăn:

 Đa số học sinh đều học yếu và chưa có nhiều hứng thú với môn hình học

 Nhiều học sinh không nắm vững kiến thức về hình học và chưa hiểu rõ

về véc tơ, về mối quan hệ giữa các giả thuyết của bài toán

 Giáo viên cần nhiều thời gian để chuẩn bị các dạng bài tập.

III NỘI DUNG

1 Cơ sở lý luận:

Không chỉ cung cấp cho học sinh kiến thức mà còn định hướng trong suy luận và khả năng tư duy Giúp học sinh biết nâng cao, mở rộng bài toán và tổng quát hóa bài toán một cách tự nhiên

Trong chuyên đề này, tôi chủ yếu sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian

để giải quyết vấn đề đặt ra

2 Nội dung:

2.1 Nhắc lại một số kiến thức cơ bản: [1];[2];[3]

1 Đặt f(x;y;z) = ax + by + cz +d f(A) = f(x1;y1;z1) = ax1 + by1 + cz1 +d

+)Nếu f(A).f(B) < 0 thì A và B nằm khác phía so với (P)

+)Nếu f(A).f(B) > 0 thì A và b nằm cùng phía so với mặt phẳng (P)

+)f(A) = 0 thì A nằm trên (P)

2 , dấu bằng ↔ 3 điểm A,B,C thẳng hàng và A nằm giữa BC

3 , dấu bằng ↔ 3 điểm A,B,C thẳng hàng và A nằm ngoài BC

2.2 Một số bài toán cực trị khoảng cách [2]

Bài toán 1: Cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B không nằm trên (P) Tìm điểm M trên (P) sao cho tổng khoảng cách MA + MB đạt giá trị bé nhất

 Phương pháp giải: Xét hai trường hợp:

*) TH 1: Hai điểm A,B nằm khác phía so với mặt phẳng (P) Khi đó:

+) Lập phương trình đường thẳng AB

+) Tìm giao điểm M của AB với mặt phẳng (P), M là điểm cần tìm *) TH 2: Hai điểm A,B nằm cùng phía so với mặt phẳng (P) Khi đó:

+) Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P)

+) Tìm giao điểm M của A’B với mặt phẳng (P), M là điểm cần tìm.

Ví dụ 1:

Cho mặt phẳng (P): x + 2y - z - 3 = 0 và các điểm A(1;0;2); B(3; 2; 0) Điểm

M (a;b;c) trên mặt phẳng (P) sao cho: MA + MB đạt giá trị bé nhất, khi đó tổng a + b bằng:

A 3 B 4 C.5 D.6

Bài giải:

Nhận xét: A, B khác phía so với (P) nên MA + MB ≥ AB Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi M nằm giữa AB, hay M là giao điểm của AB với mặt phẳng (P)

+ )Đường thẳng AB có vtcp nên có ptts:

+) M là giao điểm của AB với (P)  M(2;1;1)  a + b = 3 nên chọn A

Ví dụ 2:

Cho 3 số thực x, y, z thoả mãn: x + y + z - 4 = 0 (1) GTNN của biểu thức Q nằm trong miền nào?

Q =

A (12;16) B (16;20) C (20;24) D (24;28)

Lời giải: Viết lại biểu thức Q dưới dạng:

Q=

+) Xét các điểm A(1;2;3), B(-2;5;3) và điểm M(x;y;z)

+) Từ giả thuyết ta có: Q = MA + MB với M  (P) : x + y + z - 3 =0 Bài toán quy

về : “Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) để tổng khoảng cách từ M đến hai điểm A,B đạt GTNN.Tìm GTNN đó”

+) Nhận xét: hai điểm A, B nằm cùng phía mặt phẳng (P)

+) Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (P) H(0;1;2)

+) A’ đối xứng với A qua (P)  H là trung điểm AA’  A’(-1;0;1)

+) Đường thẳng A’B có vtcp nên có ptts:

+) M = A’B  (P)  M(-3/2;5/2;2)

Bài toán 2: Cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho đạt giá trị lớn nhất

Phương pháp giải: Xét 2 trường hợp

Trường hợp 1: A và B nằm cùng phía so với mặt phẳng (P)

- Mọi điểm M thuộc (P) ta luôn có: Dấu bằng sảy

ra khi M là giao điểm của AB với (P)

Trường hợp 2: A và B khác phía nhau so với mặt phẳng (P).

- Gọi A’ đối xứng với A qua (P) khi đó A’ và B cùng phía với (P)

- Gọi N là giao điểm của A,B với mặt phẳng (P) khi đó, với mọi

và chỉ khi M trùng với N

Ví dụ 3:

Cho mặt phẳng (P): x – 2y – z + 1 = 0 và các điểm: A(2;-1;0), B(0;4;1) Điểm

M trên (P) sao cho lớn nhất Tích các thành phần tọa độ của M là:

A 0 B C D

Giải:

Nhận xét: A và B khác phía so với mặt phẳng (P) Gọi B’ đối xứng với B qua (P),

M là giao điểm của B’A và (P) thì M là điểm cần tìm

+) Đường thẳng BB’ qua B, vuông góc với (P) nên có phương trình:

+

Vậy chọn D

Bài Toán 3: Trong không gian, cho hai điểm A, B và đường thẳng d Tìm

điểm M trên d sao cho tổng khoảng cách MA + MB bé nhất

*) Phương pháp giải: Xét 2 trường hợp:

TH1: AB vuông góc với d ( Dấu hiệu nhận biết: )

Phương pháp: Gọi H là hình chiếu của A trên

+) Dấu “=” sảy ra TH2: AB không vuông góc với d: (Nhận biết bởi: ) +) Phương pháp: Lấy M trên d theo tham số t, rồi từ đó biểu diễn tổng khoảng cách MA + MB theo t ta được bài toán tìm GTNN của một hàm số Ví dụ 4 : Cho đường thẳng , và các điểm A(2;1;3), B(1;-1;0), C(3;0;1) a Điểm M(a;b;c) trên d sao cho MA + MB bé nhất, giá trị T = a + b + c là A 3 B.2 C -2 D -3 b Điểm M trên d T = MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu: A B C D Giải: a) Ta có: Gọi H là hình chiếu của A lên d +) Dấu “=” sảy ra *) Tìm H: Vậy nên chọn B

A

B

M

b) Nhận xét: BC và d không vuông góc với nhau:

Xét 2 vec tơ:

+) Ta có: Đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi cùng hướng

Mà:

Bài toán 4: Cho hai đường thẳng d và d’ chéo nhau Tìm điểm M trên d, N trên d’ sao cho MN ngắn nhất.

*) Phương pháp giải:

Vì d và d’ chéo nhau, nên MN ngắn nhất khi và chỉ khi MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và d’

+) Để tìm M và N ta lần lượt biểu diễn M và N theo hai tham số t1, t2 rồi áp dụng các điều kiện vuông góc của MN đối với 2 đường thẳng, từ đó tìm được các giá trị t1; t2 và suy ra tọa độ các điểm M, N

Hai điểm M trên d, N trên d’ sao cho MN ngắn nhất, tích các cao độ của M

và N là:

A 0 B 6 C 12 D.20

Giải:

+) Đường thẳng d có vtcp và đi qua điêm A(1;2;0)

Đường thẳng d’ có vtcp và đi qua điêm B(2;-1;3)

0 Vậy d và d’ chéo nhau

+) Vì d và d’ chéo nhau, nên MN ngắn nhất khi và chỉ khi MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và d’

chọn D Bài toán 5: Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) Tìm điểm M trên (S) sao cho khoảng cách từ M tới (P) lớn nhất hoặc bé nhất

*) Phương pháp giải: Xét hai trường hợp

Trường hợp 1: Mặt phẳng (P) và (S) có điểm chung ( )

Gọi H là hình chiếu của I trên (P), đường thẳng IH

cắt (S) tại hai điểm A,B với I nằm giữa AH Khi đó

Với M trên (S), gọi K là hình chiếu của M trên IH

=const Vậy khoảng cách từ M

(P) lớn nhất bằng AH khi M trùng với A

*) Trường hợp 2: Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S)

không có điểm chung( )

Gọi H là hình chiếu của I trên (P), đường thẳng

IH cắt (P) tại hai điểm A,B (B nằm giữa IH) Khi đó

Mọi M thuộc (S), gọi K là hình chiếu của M trên IH

Vậy Khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất bằng AH khi M trùng với A và

bé nhất bằng BH khi M trùng với B

Ví dụ 6:

Cho mặt cầu (S): (x – 1)2 + y2 + (z + 1)2 = 3 và các điểm A(1;-3;-3),

B(2;-7;0), và C(-3;2;-4) Điểm M trên (S) sao cho tứ diện MABC có thể tích

A

B P

I

H

K

B

P

I

H

M

K A

lớn nhất, tổng các thành phần tọa độ của M là

A 7 B 5 C 3 D 1

Bài giải:

Ta có:

+) Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;-1), bán kính

(P) và (S) không có điểm chung

+) Vì ∆ABC có diện tích không đổi nên thể tích tứ diện MABC lớn nhất khi

khoảng cách từ M dến (ABC) lớn nhất

+) Gọi H là hình chiếu của I trên (P), đường thẳng IH cắt (S) tại hai điểm E và F (với F nằm giữa HI) nên khoảng cách từ M tới (ABC) lớn nhất khi M trùng với E

*) Tìm M:

Đường thẳng IH qua I, vuông góc với (P) có phương trình:

Tọa độ giao điểm E và F của ∆ với (S) là nghiệm hệ:

Do nên E(2;1;0); F(0;1;-2)

Vậy: M(2;1;0) thì VMABC lớn nhất Khi đó xM + yM + zM = 3, chọn C

2.3.Bài toán cực trị véc tơ: [2] [3]

Bài toán

Cho mặt phẳng (P) (hoặc đường thẳng d); n điểm phân biệt A 1 ; A 2 ; ;A n và n số thực a 1 ; a 2 ; ; a n Với a 1 + a 2 + + a n = a 0 Tìm điểm M trên (P) hoặc M trên đường thẳng d sao cho:

2 đạt gtln (nếu a < 0) hoặc bé nhất (nếu a > 0)

*) Phương pháp giải: Xét điểm M thuộc mặt phẳng (P)

+) Gọi H là hình chiếu của I trên (P), ta có:

Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi M trùng với H

Đến đây ta chỉ cần tìm tọa độ hình chiếu H của I trên (P)

*) Nếu a1 = a2 = = an thì điểm I thỏa mãn (1) chính là trọng tâm của hệ n điểm A1, A2, , An Trường hợp chỉ có hai điểm A, B thì trọng tâm của AB chính là trung điểm AB

2 đạt gtln (nếu a < 0) hoặc bé nhất (nếu a > 0)

+) Gọi I là điểm thỏa mãn (1) , H là hình chiếu của I trên (P) và đặt

k là hằng số

Ta có: T=

= a.MI2 + k

*) Nếu a > 0

*) Nếu a < 0

Đến đây ta chỉ cần tìm tọa độ hình chiếu H của I trên (P)

*) Nếu điểm M thay đổi trên đường thẳng ta cũng làm tương tự

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (P) : x+y+z-3=0; A(1;0;2); B(-1;1;1); C(3;2;0)

1) M (P) sao cho: bé nhất tích các tọa độ của M là

A -10 B C D

2) Điểm M trên (P) sao cho T = bé nhất Mệnh đề nào sau đây sai?

A xM + zM = 0 C XM +2yM = 6

B xM +yM + zM = 2 D 34yM + zM = 0

Giải:

a) Giả sử I( là điểm thỏa mãn: I(8; 5/2 ; -1/2)

+ M là hình chiếu của I trên (P) , vậy chọn B

b) T bé nhất khi M là hình chiếu của I(8; 5/2 ; -1/2) lên (P)

suy ra mệnh đề sai là B

Ví dụ 2 : Cho A(-1;1;1); B(2;-3;0); C(4;0;-1); D(0;2;2) và đường thẳng

d: Điểm M trên d

Biểu thức T= đạt giá trị bé nhất gần giá trị nào

nhất:

A.9 B 6 C 17 D 14

Giải:

của I trên d nên M (1;0;3) T ≈ 14, chọn C

2.4 Một số dạng toán cực trị về lập phương trình mặt phẳng và đường thẳng thỏa mãn các điều kiện cực trị khác

Bài toán 1: Cho điểm A và đường thẳng d không đi qua A Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất.

Phương pháp giải:

+) Gọi K và H lần lượt là hình chiếu của A trên (P) và d, ta có:

khoảng cách từ A đến (P) đạt giá trị lớn nhất bằng AH khi và chỉ khi H K

Mặt phẳng (P) chứa d và vuông góc với AH

Đến đây, ta chỉ việc tìm tọa độ hinhc chiếu H của A trên d rồi suy ra phương trình mặt phẳng (P)

Ví dụ 1: Cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng d:

Phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất Có một véc tơ pháp tuyến là Tính T = a + b

A.12 B.6 C 4 D 2

Gi

ải:

+) Gọi K và H lần lượt là hình chiếu của A trên (P) và d, ta có:

khoảng cách từ A đến (P) đạt giá trị lớn nhất bằng AK khi và chỉ khi H K Mặt phẳng (P) chứa d và vuông góc với AH

+) H là hình chiếu của A lên d

+) Mặt phẳng (P) qua H và vuông góc với AH nên có phương trình là:

, vậy chọn B

Bài toán 2: Cho hai điểm A và B Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất.

Phương pháp giải:

Gọi H là hình chiếu của B trên (P) ta có: khoảng cách từ

B đến (P) đạt giá trị lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi H A

Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với AB, từ đó suy ra phương trình (P)

Ví dụ 2: Cho các điểm A(1;0;2), B(4;3;3), C(-1;1;4)

a) Mặt phẳng (P) qua A sao cho khoảng cách tự B đến (P) lớn nhất cũng

đi qua điểm nào sau đây

A.M(2;-1;0) B N(4;-7;12) C E(-5;4;8) D.F(2;3;-17)

b) Gọi (Q) là mặt phẳng sao cho khảng cách từ A đến (Q) bằng 5 và khoảng cách tự C đến (Q) bằng 2 Khoảng cách từ B đến (Q) là

A B C 6 D 3

Giải:

a) Gọi H là hình chiếu của B trên (P) ta có: khoảng cách

từ B đến (P) đạt giá trị lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi H A

Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với AB

b) Ta có:

Gọi H và I lần lượt là hình chiếu của A và C trên (P), K là hình chiếu của C trên

AH, ta có:

Vậy (Q): 2x – y – 2z +17 = 0 Chọn A

Bài toán 3: Cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B không nằm trên (P) Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A, song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ B tới ∆ là bé nhất.

Phương pháp giải:

+) Gọi (Q) là mặt phẳng qua A, song song với (P) suy ra ∆ nằm trong (Q)

+) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của B lên (Q) và ∆ ta có:

Do đó, muốn lập phương trình đường thẳng ∆ ta chỉ cần lập phương trình mặt phẳng (Q) rồi tìm hình chiếu H của B trên (Q) Đường thẳng AH chính là đường thẳng ∆ cần tìm

Ví dụ 3:

Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3) Trong các đường thẳng qua A và song song với (P), đường thẳng d, song song với (P) sao cho khoảng cách từ B tới đường thẳng đó là bé nhất, một véc tơ chỉ phương của d là:

A

C

I H

K

Q

+) Gọi ∆ là đường thẳng cần lập, (Q) là mặt phẳng qua A, song song với (P) suy

ra ∆ nằm trong (Q)

+) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của B lên (Q) và ∆ ta có:

Khi đó đường thẳng ∆ là đường thẳng AH

*) Tìm H:

+) Mặt phẳng (Q) qua A, song song với (P)

Chọn D Bài toán 4: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d không nằm trên (P) Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d, tạo với (P) các góc lớn nhất hoặc bé nhất.

Phương pháp giải:

+) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M thuộc d và có vtpt

+) Từ giả thuyết d nằm trên (Q) suy ra mối quan hệ giữa a,b c

+) Gọi α là góc giữa (P) và (Q), tính cosα theo a, b, c

+) Kết hợp các điều kiện của a,b,c ta biểu diễn cosα thành một hàm số của t

+) Tìm GTLN, GTNN của hàm số đó suy ra GTLN, GTNN của cosα

Khi đó: α lớn nhất thì cosα nhỏ nhất; α nhỏ nhất thì cosα lớn nhất

Ví dụ 4:

H

P Q A

. ∆

Cho mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + 1 = 0; Đường thẳng d: Gọi

(Q) là mặt phẳng chứa d và tạo với (P) một góc bé nhất Biết một véc tơ pháp tuyến của (Q) có dạng (a;b;1) Tính b – a

A B 2 C D – 5

Giải

+) Mặt phẳng (P) có vtpt

+) Đường thẳng d có vtcp và đi qua M(-1;1;0)

+) Giả sử là vtpt của (Q) (Q): ax + by + cz + a – b = 0

a – b + 2c = 0 b = a + 2c

Gọi α là góc giữa (P) và (Q),

t -5/3 5/4

y’ 0 + 0

35/6

y 9/2 9/2

0

Từ BBT và (*) suy ra:

+) α bé nhất khi cosα =