(SKKN 2022) rèn luyện kỹ năng giải toán mức độ vận dụng cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán về cực trị thể tích khối lăng trụ

Trên cơ sở nền tảng thể tích khối lăng trụbài toán cực trị về thể tích khối lăng trụ là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong p

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài:

Trong chương trình toán học lớp 12, bài toán về thể tích khối lăng trụ giữmột vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi TN THPT; đề thi họcsinh giỏi trong những năm gần đây Trên cơ sở nền tảng thể tích khối lăng trụbài toán cực trị về thể tích khối lăng trụ là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải

có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong phú nên đối với họcsinh đại trà, đây là mảng kiến thức khó và thường để mất điểm trong các kì thinói trên Đối với học sinh giỏi, các em có thể làm tốt phần này Tuy nhiên cáchgiải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và thường tốn khá nhiều thời gian Đốivới các giáo viên, thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần mềm vẽhình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn bài toán khó còn gặp nhiều khókhăn

Từ những lý do trên cùng với ý tưởng, giải pháp mà bản thân đã rất tâmđắc tự rút ra trong quá trình thực tế giảng dạy ôn thi học sinh giỏi và ôn thi TN,

tôi đã quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ năng giải toán mức độ vận dụng cho cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán về cực trị thể tích khối lăng trụ’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của bản thân trong năm học 2021 -

2022 và hy vọng thông qua đề tài này cung cấp cho học sinh cái nhìn tổng quanhơn về phương pháp giải để từ đó có định hướng tốt tìm ra lời giải các bài toán

về cực trị thể tích khối lăng trụ Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhậnxét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

- Kiến thức về thể tích khối lăng trụ, góc và khoảng cách

- Kiến thức về bất đẳng thức Côsi

- Kiến thức về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm

- Học sinh lớp 12A36, 12B36 năm học 2021 - 2022 trường THPT Triệu

Sơn 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tổng hợp

- Sử dụng phương pháp thực nghiệm

- Sử dụng phương pháp phân tích và so sánh những vấn đề có liên quanđến đề tài

- Sử dụng phương pháp thống kê, xử lý số liệu

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải

quyết một vấn đề là vô cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìmđược lời giải của một lớp các bài toán Trong dạy học giáo viên là người có vaitrò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt độngtương thích với nội dung dạy học Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạycách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh là mộtnhiệm vụ quan trọng của người giáo viên.

Trong bài “Khái niệm về thể tích khối đa diện” sách giáo khoa Hình họclớp 12 đưa ra 2 khái niệm về thể tích như sau: “Thể tích khối chóp”; “Thể tíchkhối lăng trụ” Với 2 khái niệm này chúng ta đưa về 2 dạng toán tính thể tíchnhư sau:

Dạng 1: Tính thể tích khối chóp.

Dạng 2: Tính thể tích khối lăng trụ.

Hai dạng toán trên là 2 dạng toán cơ bản, quan trọng và luôn có mặt trong

đề thi TN THPT và đề thi HSG Đặc biệt là dạng bài vận dụng: cực trị về thểtích khối chóp và cực trị về thể tích khối lăng trụ được phát triển trên nền 2 dạngtoán trên là các bài toán tương đối khó Trong khuôn khổ sáng kiến này tôi chỉnghiên cứu dạng bài về cực trị thể tích khối lăng trụ

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy một điều đó là để học tốt mônHHKG thì cần phải nắm vững kiến thức, đòi hỏi học sinh phải có khả năng phánđoán, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ năng vẽ hình , kỹ năng trình bày chặt chẽ

và tư duy logic cao, kỹ năng phân tích giả thiết và các quan hệ giữa các đốitượng trong hình không gian Nhưng trên thực tế điều này lại là điểm yếu của

không ít học sinh, kể cả học sinh khá giỏi, do đó dẫn đến tâm lý chán, ngại và

sợ học môn HHKG.

Hơn nữa việc áp dụng kiến thức về thể tích của học sinh đa số mới chỉ

dừng lại ở mức độ nhận biết, rất ít học sinh thuần thục các kỹ năng và sáng tạo

khi vận dụng kiến thức về thể tích để xử lý các bài toán cực trị, mà đa phần họcsinh tỏ ra lúng túng không định hình được cách giải

Phần lớn giáo viên mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý thuyết và giao nhiệm

vụ cho học sinh một vài bài tập cụ thể mà chưa khai thác những bài toán khókhông có trong sách giáo khoa Ngoài ra số tiết theo phân phối chương trìnhdành cho phần này ít nên ảnh hưởng không nhỏ đến việc dạy học

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Hệ thống kiến thức đã học cho học sinh trước khi tiếp nhận kiến thức mới.

+) Công thức tính thể tích khối lăng trụ: V Bh trong đó B: Diện tích mặt

đáy, h : Chiều cao của khối lăng trụ

+) Các hệ thức lượng trong tam giác:

C

+) Bất đẳng thức Côsi cho n số không âm:

Cho n số không âm x x1, , ,2 x n Ta có: 1 2 n 1 .2

x x  x n x x x

Dấu bằng xảy ra  x1x2   x n

+) Đạo hàm và ứng dụng đạo hàm

2.3.2 Tìm hiểu cực trị về thể tích khối lăng trụ.

Bài toán về cực trị về thể tích của khối lăng trụ là bài toán tìm giá trị lớnnhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng hình học có liên quan đến thể tích khốilăng trụ

Để tìm cực trị về thể tích của khối lăng trụ ta thực hiện theo hai bước sau: Bước 1: Tính thể tích khối lăng trụ cần tìm dựa vào các kiến thức đã học

và giả thiết bài toán

Bước 2: Tìm cực trị của biểu thức cần tính bằng việc sử dụng bất đẳngthức Côsi hoặc sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên

2.3.3 Hướng dẫn và rèn luyện một số dạng cực trị về thể tích khối lăng trụ thường gặp giúp học sinh làm toán trắc nghiệm nhanh gọn, chính xác.

Tìm cực trị về thể tích của khối lăng trụ đứng.

Lăng trụ đứng là lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy Độdài cạnh bên được gọi là chiều cao của lăng trụ đứng

Tìm cực trị về thể tích của khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều (lăng trụ đều), ví dụ: lăng trụ tam giác đều, lăng trụ tứ giác đều,

Nhận xét: Trước hết tôi đưa ra một ví dụ khá đơn giản với mục đích giúp

học sinh có thể tiếp cận dạng toán cực trị về thể tích một cách dễ hiểu nhất và làm nhanh nhất.

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng có thể tích V và có đáy là tam giác đều.

Khi diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy là baonhiêu?

A 3 4V B 3V C 3

2V D 3

6V Phân tích:

Bước 1: Tính thể tích V của khối lăng trụ dựa vào giả thiết rồi suy ra chiều cao lăng trụ theo V

Bước 2: Khai thác giả thiết diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất

và sử dụng linh hoạt bất đẳng thức Côsi để suy ra cạnh đáy của hình lăng trụ

Lời giải:

Gọi h  là chiều cao của lăng trụ; 0 a  là độ dài cạnh đáy 0

Theo giả thiết ta có:

Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A B C D     có cạnh đáy bằng 1,

chiều cao bằng x Tính thể tích của lăng trụ khi góc tạo bởi B D và B D C  đạtgiá trị lớn nhất

Ví dụ 3: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C.    có độ dài cạnh đáy bằng

a Gọi  là góc giữa BCvà A BC  Khi sin đạt giá trị lớn nhất tính thể tíchcủa lăng trụ đã cho

A

3 64

a

V 

B

3 34

A

M E

Tìm cực trị về thể tích của khối lăng trụ đứng đặc biệt: hình lập phương, hình hộp chữ nhật.

Hình lập phương là hình lăng trụ có các mặt là hình vuông.

a

C

3 36

a

D

3 312

a

Phân tích:

Bước 1: Tính thể tích khối khối tứ diện AMNB dựa vào giả thiết.

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi tìm giá trị lớn nhất của khối tứ diện

AB M

S  AM AB B AM

2 3

.6

B' C'

D

B C

A M N

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Các điểm

,

M N lần lượt di động trên các tia AC B D,   sao cho AM 2D N Thể tích khối

tứ diệnAMNB có giá trị lớn nhất bằng:

a

C

3 26

Bước 1: Tính thể tích khối khối tứ diệnAMNB dựa vào giả thiết.

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi tìm giá trị lớn nhất của khối tứ diện'

AMNB

Lời giải:

B A

M N

Nhận xét: bằng việc thay đổi một chút giả thiết của ví dụ 1 ta được ví dụmới một mặt tạo hứng thú cho học sinh mặt khác học sinh lại được rèn luyệncủng cố thêm về cực trị thể tích liên quan tới hình lập phương

Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có AB x AD , 1 Biếtrằng góc giữa 'A C và ABB A' ' bằng 300 Tìm giá trị lớn nhất của thể tíchkhối hộp ABCD A B C D    

A

3 34

max

V 

B

34

max

V 

C

32

max

D

12

Bước 1: Tính thể tích khối hộp ABCD A B C D     dựa vào giả thiết

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi hoặc xét hàm để suy ra giá trị lớnnhất của thể tích

Lời giải:

x 

A' D'

B' C'

D

B C

Bước 1: Tính thể tích thể tích khối hộp chữ nhật ABCD A B C D    

Bước 2: Sử dụng phương pháp hàm số để suy ra giá trị lớn nhất của thểtích

Nhận xét: ớ ví dụ này học sinh dễ mắc sai lầm đó là sử dụng bất đẳng

thức Côsi:

3

16 23

a b c abc    

  , tuy nhiên dấu bằng không xảy ra Vì vậy việc vận dụng linh hoạt hàm số và lập bảng biến thiên hay dùng bất đẳng thức

là rất quan trọng.

Tìm cực trị thể tích liên quan đến hình lập phương và hình hộp chữ nhật được ứng dụng trong thực tế.

Ví dụ 1: Ông A dự định sử dụng hết 6,7m2kính để làm một bể cá bằngkính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (cácmối ghép có kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng baonhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

A 1,23m3 B 2,48m3 C 1,57m3 D 1,11m 3

Mã 104 đề thi năm 2018 Phân tích:

Bước 1: Thiết lập biểu thức thể tích của bể cá

Bước 2: Sử dụng phương pháp hàm số để suy ra giá trị lớn nhất của thểtích

Lời giải:

Gọi x là chiều rộng bể cá, ta có chiều dài bể cá là 2x Do diện tích đáy và

diện tích các mặt bên là 6,7m2 nên có chiều cao

6

  suy ra bể cá có dung tích lớn nhất bằng 1,57m3

Ví dụ 2: Người ta cần xây dựng một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có

thể tích 125m3 Đáy bể bơi hình chữ nhật có chiều dài gấp ba chiều rộng Tínhchiều rộng của đáy bể bơi để khi thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (kết quảlàm tròn đến hàng phần trăm)

Gọi x là chiều rộng bể bơi, ta có chiều dài bể bơi là 3x , chiều cao bể bơi

Tìm cực trị thể tích khối hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu.

Ví dụ: Trong các hình hộp chữ nhật nằm trong mặt cầu bán kính R, thể

Tìm cực trị lăng trụ đứng có đáy là không phải là đa giác đều.

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng ABC A B C   , đáy ABC là tam giác vuông tại

A Khoảng cách từ AA đến BCC B  và khoảng cách từ C đến ABC đều

bằng x không đổi, góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABC bằng 0;2 .

Thể tích của khối lăng trụ nhỏ nhất

khi 2sin cos 2 lớn nhất Ta có:

3

2 2

1sin cos 2sin cos cos

Nhận xét: ở bài này không khó để thiết lập biểu thức thể tích khối lăng

trụ, tuy nhiên cái khó của bài toán chính là việc áp dụng khéo léo bất đẳng thức Côsi, điều này đòi hỏi học sinh biết cách vận dụng bất đẳng thức một cách

thuần thục

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A B C D     có đáy là hình thoi cạnh

bằng a , góc ABC 600 Gọi  là góc giữa B C và AB C  Khi sin đạt giátrị lớn nhất tính thể tích của lăng trụ đã cho

A

3 64

a

V 

B

3 34

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi tìm giá trị lớn nhất của góc rồi suy rathể tích của lăng trụ

Lời giải: chú ý rằng đáy của lăng trụ là hình thoi và tam giác ABC đều nên lăng trụ ABC A B C    là lăng trụ đều.

Sử dụng khoảng cách để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có:

M E

Nhận xét: bằng việc khai thác tốt giả thiết bài cho ta đưa bài toán trên về

bài toán quen thuộc ở phần lăng trụ đều, dễ dàng tính được thể tích của lăng trụ đứng có đáy là hình thoi.

Tìm cực trị về thể tích khối lăng trụ xiên.

Hình lăng trụ xiên là hình lăng trụ có cạnh bên không vuông góc với đáy.

Ở các bài toán trên mỗi khối lăng trụ đều có những đặc điểm quen thuộc, gần gũi với học sinh Tuy nhiên trên thực tế không phải bài cực trị nào cũng quen, vậy nên ở dạng toán này, tác giả xin trình bày thêm 1 số ví dụ điển hình trong các đề thi để các em quy từ “lạ” về “quen” giải quyết tốt các bài cực trị thể tích, có cái nhìn tổng quan đầy đủ hơn về dạng toán vận dụng này.

Sau đây ta sử dụng hai tính chất để tính nhanh một số bài toán cực trị về

tỉ số thể tích khối lăng trụ.

Tính chất 1: Cho lăng trụ ABC A B C 1 1 1 có các điểm M N P lần lượt, ,thuộc

1

xy 

A

350

3 cm B.

340

3 cm C 10cm 3 D.20cm 3.Phân tích:

Bước 1: Sử dụng tính chất 1 thiết lập tỷ số .

ABCMNP

BCMNP ABC A B C

ABCMNP ABC A B C

x y V

Nhận xét: Các bài toán dạng này sẽ xuất hiện nhiều khối không phải là

các khối có công thức tính thể tích như chóp hay lăng trụ Thay vì việc phải phân chia các khối này thành các khối có công thức tính, nay ta có ngay một kết quả rất nhanh và chính xác

Tính chất 2: Cho hình hộp ABCD A B C D     Mặt phẳng   cắt cáccạnhAA BB CC DD, , ,  lần lượt tại , , ,M N P Q sao cho : AM' x,BN' y,

ABCD Ta có OI là đường trung bình

của hình thang AMPC BNDQ nên,

C D

B'

C' M

V    

 



A A x MA BN   BD và CC yCP Mặt phẳng MNP chia khối hộp đã

cho thành hai khối đa diện Khi tỷ số .

ABCDMNPQ ABCD A B C D

Nhận xét : Việc áp dụng các tính chất trên vào lớp các bài toán thể tích

tương ứng rất là hữu ích Nó làm cho việc giải toán trắc nghiệm của các em học sinh nhanh gọn và nhẹ nhàng hơn nhiều so với việc giải truyền thống

Sau đây là một vài ví dụ khác :

Ví dụ 4 Cho hình chóp S ABC có thể tích bằng 1 Mặt phẳng  Q thay

đổi song song với mặt đáy cắt các cạnh SA SB SC lần lượt tại , ,, , M N P Qua

các điểm M N P kẻ các đường thẳng song song với nhau lần lượt cắt mặt, ,phẳng ABC tại , , M N P   Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối lăng trụ

Đề thi chọn học sinh giỏi 12 của trường THPT Ba Đình - Nga Sơn - 2021 Đây cũng là câu trích trong đề chọn hsg tỉnh Bắc Ninh năm 2021

Phân tích:

Bước 1: Thiết lập biểu thức tính thể tích khối lăng trụ MNP M N P   

Bước 2: Sử dụng giả thiết và bất đẳng thức Côsi để suy ra giá trị lớn nhấtcủa thể tích khối lăng trụ MNP M N P   

Ta có:

2

ANP ABC

.3

P' H

M

N

P

K

Ví dụ 5 Cho hình lăng trụ ABCD A B C D     Lấy các điểm ,E F lần lượt

trên các đoạn AB DA, thỏa mãn:

tích của khối lăng trụ ABCD A B C D     và khối tứ diện BDEF Khi đó giá trị lớn

468 C.

1

486 D.

1

'

V

V Lời giải:

F

E

2.3.4 Hệ thống bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D.     có đường chéo AC d

và tạo với ABCD một góc  , hợp với mặt bên BCC B  một góc  Biết

AC d không đổi, A D CB  là hình vuông và thể tích khối hộp lớn nhất Khi

đó   bằng

A 60 0 B 120 C 0 750 D 90 0

Bài 2: Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác

vuông tại A, d AA ABC ,   a d C ABC,  ,    , góc giữa hai mặt phẳngb

ABC và  ABC bằng   Khi a b thì cos bằng bao nhiêu để thể tích khốilăng trụ nhỏ nhất

A

3

3 B

3

6

6.6

Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D.     có AB BC BD , 3 cm

Hai mặt phẳng ACC A  và  BDD B  tạo với nhau một góc  0 2

a

B

3 3.2

a

C

3 2.4

a

D

3 3.6

a

Bài 5: Cho hình chóp S ABCD có thể tích bằng V , đáy ABCD là hình

bình hành Mặt phẳng  Q thay đổi song song với mặt đáy cắt các cạnh

, , ,

SA SB SC SD lần lượt tại , , , M N P Q trong đó , , , M N P Q khác S và không

nằm trên ABCD Các điểm M N P Q,  , ,  lần lượt là hình chiếu vuông góc của, , ,

M N P Q lên ABCD Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối lăng trụ

9V

Bài 6: Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD 60cm Ta gấp

tấm nhôm theo 2 cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng

nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy Tìm x để

thể tích khối lăng trụ lớn nhất?

A x 20 B x  15 C x 25 D x 30 Bài 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D    ' có AB x AD ,  góc 3,

giữa đường thẳng A C và mặt phẳng ABB A  bằng  0

30 Tìm x để thể tích

khối hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất