Biết các số phức z1, z2, z3 biểu diễn bởi 3 đỉnh nào đó của một hình bình hành trong mặt phẳng phức, hãy tìm số biểu diển bởi đỉnh còn lại 4.. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng p
Trang 1Bài tập
1 Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
i
i i
i− + +
1 3
2
1
7
−
i
i
i i i i
i
3 2 3 2 1
1
2
+
− + +
− +
− +
2 Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:
2
3 1
1
2
i
i z
i
i
+
+
−
=
−
+
2
1 3
+ + +
−
i iz i z i
3 a Các điểm A, B, C và A’, B’, C’ trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số
Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm
b Biết các số phức z1, z2, z3 biểu diễn bởi 3 đỉnh nào đó của một hình bình hành trong mặt phẳng phức, hãy tìm số biểu diển bởi đỉnh còn lại
4 Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn điều kiện sau:
a |z+z+3|=4; b |z−z+1−i|=2;
c (2−z) ( )i+z là số ảo tùy ý; d 2|z−i|=|z−z+2i|;
5 Các vectơ u>,u>'trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.
a Chứng minh rằng tích vô hướng ( ' ')
2
1 ' u z z z z
u> >= + ;
b Chứng minh rằng u>,u>' vuông góc khi và chỉ khi |z+z|'=|z−z|'
6 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn
,
k i z
z =
−
(k là số thực dương cho trước)
7 Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời
1
1
=
−
−
i
z
z
và 3 =1
+
−
i z
i z
8 Tìm số phức z thỏa mãn
1
4
=
−
+
i z
i z
9 Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:
10 Giải các phương trình sau trên C :
a (z−i) (z2+1)(z3+i)=0 b (z2 +z) (2 +4 z2+z) −12=0
11 Tìm các số thực a, b để có phân tích
z z
z3−9 2+14 −5= 2 −1 2+ +
2
Rồi giải phương trình sau trên C :
; 0 5 14 9
2z3− z2+ z− =
12 Giải các phương trình sau trên C :
2
2
3
4−z +z +z+ =
z z
w= −1 ;
b (z2 +3z+6)2 +2z(z2 +3z+6)−3z2 =0
13 Giải hệ phương trình hai ẩn phức z1, z2 sau :
GV biên soạn: Hoa Hoàng Tuyên
GV biên soạn: Hoa Hoàng Tuyên
Trang 2
−
= +
+
= +
i z
z
i z
z
2 5
4 2 2
2 1
2 1
14 Giải hệ phương trình hai ẩn phức z1, z2 sau :
+
−
= +
−
−
=
i z
z
i z
z
2 5
5 5 2 2
2 1
2 1
15 Tìm một acgumen của mỗi số phức sau :
4
sin 4 cosπ −i π
8
cos
8
sinπ −i π
2
<ϕ<π
16 Cho 2 số phức khác 0 là z=r(cosϕ+isinϕ) và z'=r'(cosϕ'+isinϕ'), (r,r,'ϕ,ϕ'∈R)
Tìm điều kiện cần và đủ về r,r,'ϕ,ϕ' để z=z'.
17 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau :
a Một acgumen của z – (1+2i) bằng
6
π
b Một acgumen của z + i bằng một acgument của z – 1
18 Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
3
sin
3
cos i i5 + i 7
b ( )
10
3
1
i
i
+
+
; c 2000 20001
z
z + biết rằng +1=1
z z
19 Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau:
a
2 sin
2
sinϕ 2ϕ
i
20 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn các số phức z sao cho
2
2
+
−
z
z
có một acgumen bằng
3
π
21 Cho số phức z có môđun bằng 1 Biết một acgumen của z là ϕ, hãy tìm một acgumen của
mỗi số phức sau :
2
1
z
z
z
d −z2z;
22 Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức
n
i
i
−
−
3 3
3 3
là số thực, là số ảo?
23 Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số
i
)
3
3
(
4+ + ; 2+(3+ 3)i; 1 + 3i; 3 +i
Chứng minh rằng 4 điểm đó cùng nằm trên một đường tròn?
24 a Cho z=cosϕ+isinϕ (ϕ∈R) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n≥1, ta có
ϕ
n z
z n + 1n =2cos ; i nϕ
z
z n − 1n =2 sin
b Từ câu a chứng minh rằng
16
1
sin
, 3 2 cos 4 4 cos
8
1
cos
5
4
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
+
−
=
+ +
=
25 Tìm dạng lượng giác của các căn bậc hai của các số phức sau:
a cosϕ−isinϕ; b sinϕ+icosϕ; c sinϕ−icosϕ
GV biên soạn: Hoa Hoàng Tuyên