Skkn phương pháp giải một số dạng bài tập về số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHU VĂN AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC Người thực hiện: Hoàng Thị Thắm Chức vụ: Giáo viên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHU VĂN AN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ

SỐ PHỨC

Người thực hiện: Hoàng Thị Thắm

Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA, NĂM 2022

MỤC LỤC

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 32.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4Giải pháp 1 Tóm tắt những kiến thức lý thuyết có liên quan 3

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

Hiện nay, toán học có vai trò hết sức quan trọng đối với nhiều lĩnh vực khácnhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máytính điện tử, toán học thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá trong sảnxuất, mở rộng nhanh phạm vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọikhoa học

Chính vì thế dạy học toán ở Trường trung học phổ thông (THPT) phải luôngắn bó mật thiết với đời sống Nội dung chương trình toán lớp 12 là nội dungquan trọng vì nó có vị trí hướng nghiệp cho học sinh, từ đó có nhiều cơ hội đểđưa nội dung thực tiễn vào dạy học

Từ nhận thức trên, trong thời gian quan Bộ Giáo dục và Đào tạo đã yêu cầutăng cường giảng dạy các bài toán thực tiễn gắn với chương trình học và ngaytrong các đề thi trung học phổ thông trong những năm gần đây, số lượng câu hỏivận dụng kiến thức toán để giải các bài toán có nội dung thực tiễn chiếm một tỉ

lệ nhất định Qua đó càng làm thêm sự nổi bật nguyên lý: “Học đi đôi với hành,giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhàtrường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”

Từ năm học 2008 – 2009, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chính thức đưa nội dung

“số phức” vào chương trình phổ thông Đây là một nội dung mới đối với họcsinh bậc phổ thông, mặc dù nội dung còn ở mức độ đơn giản song nó là mới lạđối với học sinh lớp 12, đặc biệt nó chỉ được phân bố trong khoảng thời lượngkhông nhiều, mặt khác tài liệu tham khảo về nội dung này còn rất ít, đã vậy nộidung này đã được đưa và hầu hết các đề thi tốt nghiệp, đề thi đại học trongnhững năm gần đây và nó chiếm một tỉ lệ nhất định Vì vậy việc dạy và học “Sốphức” có hiệu quả thật sự là một vấn đề cần nghiên cứu Trải qua hai năm thamgia dạy chương trình toán lớp 12, tôi đã có những trải nghiệm nhất định về việcdạy và việc học của học sinh tôi thấy:

+ Học sinh mới tiếp cận tập hợp “ Số phức” ở lớp 12 nên phần lớn khi vậndụng các em bị ảnh hưởng nhiều tính chất của tập hợp số thực, vì vậy các em tỏ

ra lúng túng khi giải quyết bài toán về số phức, đặc biệt các em còn nhầm tưởngtính chất của tập hợp số thực cũng đúng trong tập hợp số phức

+ Nghiên cứu dạng toán này còn giúp học sinh kết hợp phương pháp đại số vàphương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số dạng toán nâng cao tronghình học, trong lượng giác

Từ lí do trên mà tôi xin trao đổi cùng đồng nghiệp và các em học sinh sángkiến kinh nghiệm với đề tài “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀITẬP VỀ SỐ PHỨC “ nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học chương sốphức của lớp 12

1.2 Mục đích nghiên cứu

Qua SKKN này học sinh nắm được những nội dung chính và những vấn đề cầnlưu ý khi nghiên cứu chương số phức Đặc biệt học sinh nắm được phương phápgiải một số dạng toán về số phức và tránh được một số sai lầm mà học sinh haymắc phải trong quá trình giải toán về số phức

+ Hưởng ứng phong trào viết SKKN của Trường THPT Chu Văn An

1.3 Đối tượng nghiên cứu

* Đề tài có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy toán ở trường THPTtham khảo và các em học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp và Cao đẳng – Đại học

* Phạm vi nghiên cứu của đề tài:

+ Một số dạng bài tập thường gặp về số phức

+ Ứng dụng số phức để giải quyết một số bài toán về số thực

+ Các bài toán tham khảo qua các kì thi

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Nghiên cứu các tài liệu, chuyên đề, đềthi có liên quan đến nội dung “Số Phức”

- Phương pháp phỏng vấn: Khảo sát, phỏng vấn giáo viên, học sinh về nhữngthuận lợi, khó khăn khi dạy, học nội dung “Số Phức”

- Phương pháp chuyên gia: Thảo luận, trao đổi xin ý kiến góp ý của các giáoviên có kinh nghiệm, các nhà khoa học, nhà quản lý, các cựu học sinh có năngkhiếu về toán học,… từ đó hoàn thiện được các nội dung liên quan

- Phương pháp thực nghiệm: Tổ chức hướng dẫn cho học sinh nhận dạngnhanh về các dạng bài toán có liên quan nội dung “Số Phức”

Thiết kế một số bài kiểm tra ngắn, bài kiểm tra tổng thể để đánh giá mức độnhận thức, vận dụng của học sinh sau khi được giáo viên hướng dẫn

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Số liệu được thống kê, sử lý bằngphần mềm Excell

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Phương pháp nghiên cứu SKKN này dựa trên cơ sở:

+ Các kiến thức cơ bản về số phức

+ Các kiến thức cơ bản về lượng giác và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Với mục tiêu “Học đi đôi với hành”, dạy học phải giúp học sinh biết vậndụng kiến thức vào việc giải quyết các bài toán trong đề thi THPTQG, qua traođổi, phỏng vấn giáo viên dạy toán của một số trường (Trường THPT Đông Sơn

1, THPT Triệu Sơn 2, Trường THPT Hàm Rồng, Trường THPT Chu Văn An,Trường THPT Sầm Sơn,…), kết quả cho thấy: nhìn chung trong dạy học Toán ởtrường THPT, giáo viên chủ yếu mới tập trung rèn luyện cho học sinh kĩ năngvận dụng tư duy tri thức trong nội bộ môn Toán là chủ yếu, còn vận dụng vàocác môn học khác chưa được chú ý đúng mức và thường xuyên Những bài toán

có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất còn được trình bàymột cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông

Đối với học sinh, qua trao đổi, phóng vấn các em đều cho rằng hiện nay do

áp dụng hình thức thi trắc nghiệm nên phải học, làm một lượng bài tập rất nhiều;bên cạnh đó, những câu để lấy điểm cao trong đề thi thường là những bài toán

có tính thực tiễn, vận dụng Vì vậy, sẽ rất khó khăn nếu trong quá trình học cáckiến thức toán học không được hệ thống hóa thành các dạng bài tập có tính thựctiễn, vận dụng và thấy được tính liên môn thì sẽ rất khó để đạt được điểm caokhi thực hiện các đề thi

Như vậy, trong giảng dạy toán nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng và

ý thức ứng dụng toán học nhất thiết phải chú ý mở rộng phạm vi ứng dụng,trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý thường xuyên, qua đógóp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho toán học không trừu

tượng khô khan và nhàm chán Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để giảiquyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và ngược lại

Đối với chủ đề “Số Phức”, qua trao đổi, phỏng vấn giáo viên, cho thấy: trongkhi tổ chức dạy học chủ đề này, giáo viên đã xác định được mục tiêu quan trọngcủa dạy học chủ đề “Số Phức” là giúp học sinh thấy được ứng dụng thực tiễncủa chủ đề này, đồng thời rèn luyện khả năng sử dụng kiến thức về “Số Phức”

để giải quyết vấn đề trong các môn học khác trong đề thi THPTQG; nhưng họcòn chỉ ra khó khăn đối với bản thân là không có đủ sách tham khảo, tài liệuhướng dẫn, sách hướng dẫn giảng dạy và không có quy trình giảng dạy cụ thể

mà chủ yếu là do kinh nghiệm giảng dạy của bản thân

Đối với học sinh mới tiếp cận tập hợp “ Số phức” ở lớp 12 nên phần lớn khivận dụng các em bị ảnh hưởng nhiều tính chất của tập hợp số thực, vì vậy các

em tỏ ra lúng túng khi giải quyết bài toán về số phức, đặc biệt các em còn nhầmtưởng tính chất của tập hợp số thực cũng đúng trong tập hợp số phức

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Giải pháp 1 Tóm tắt những kiến thức lý thuyết có liên quan

1) SỐ PHỨC

* Định nghĩa 1:

Mỗi số phức là một biểu thức có dạng a+ bi, với a, b R và i2 = -1

Kí hiệu số phức đó là z = a +bi ; i gọi là đơn vị ảo, a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức z = a + bi.

* Biểu diễn hình học của số phức:

+ Ứng với mỗi số phức z = a + bi có duy nhất một điểm M(a;b) trên mặt

phẳng Oxy và ngược lại Kí hiệu M(a+bi) hay M(a;b)

Ngoài ra, số phức z = a + bi còn được biểu diễn bởi vectơ

+ Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực Các điểm trên trục tung

Oy biểu diễn các số ảo.

* Phép cộng, phép trừ hai số phức:

Cho hai số phức z = a + bi và số phức z ’ = a ' + b ’ i.

Tổng của hai số phức trên là số phức z+z ’ = (a+a ’ ) + (b+b’)i

Hiệu của hai số phức trên là số phức z-z ’ = (a-a ’ ) + (b-b’)i

Khi đó, nếu biểu diễn số phức z, biểu diễn số phức z’ thì vectơ

lần lượt biểu diễn số phức z+z ’ , z- z ’

* Phép nhân số phức:

Cho hai số phức z = a + bi và số phức z ’ = a ' + b’i.

Tích của hai số phức trên là số phức zz ’ = (aa ’ –bb ’ )+ (ab ’ +a’b)i

Chú ý: Có thể thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân hai số phức một cách

hình thức tương tự như các phép toán cộng, trừ, nhân trên tập hợp số thực R.

* Phép chia số phức:

+ Số phức liên hợp của số phức z = a +bi là số phức

+ Môđun của số phức z = a +bi là

+ Số nghịch đảo của số phức z = a +bi khác 0 là số phức

+ Thương của hai số phức z ’ = a ’ + b ’ i và số phức z = a + bi khác 0 là tích của z ’ với số phức nghịch đảo của z, tức là

Vậy:

Chú ý : Nếu điểm M biểu diễn số phức z, điểm M ’ biểu diễn số phức z ’ thì độ dài đoạn thẳng MM bằng môđun

2) CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

* Định nghĩa: Căn bậc hai của số phức w là số phức z sao cho z2= w.

*Nhận xét:

+) Mỗi số phức z 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0)

+) Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

+) Đặc biệt: số thực a dương có hai căn bậc hai là và ; số thực a âm

có hai căn bậc hai là và ;

* Chú ý 1:Không được dùng kí hiệu để chỉ căn bậc hai của một số phức.

* Phương pháp tìm căn bậc hai của số phức

+ Giả sử là căn bậc hai của w

+) Nếu thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

, trong đó là một căn bậc hai của +) Nếu = 0 thì phương trình (2) có nghiệm kép:

3) DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

* Định nghĩa: Dạng lượng giác của số phức z là : , với r > 0.

* Phương pháp tìm dạng lượng giác: của số phức z = a + bi (a, b R) khác 0

cho trước:

+) Tìm môđun của số phức z là

+) Tìm acgumen của số phức z là , sao cho

* Nhân và chia hai số phức dưới dạng lượng giác:

+) Nếu , , ( ) thì

+) Lưu ý:

Nhân hai số phức: tích các môđun và tổng các acgumen

Chia hai số phức: thương các môđun và hiệu các acgumen

* Công thức Moa – vrơ:

+)

+) Đặc biệt khi r = 1:

* Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

Số phức , r > 0, có hai căn bậc hai là:

và

Giải pháp 2: Một số dạng bài tập về số phức

Dựa vào những nội dung trọng tâm và những kiến thức cần lưu ý, trên cơ sở đó

ta có thể phân loại một số dạng bài tập vận dụng sau đây:

Dạng 1: Các phép tính về số phức và các bài toán định tính

* Yêu cầu:

- Nắm chắc các khái niệm và các phép toán.

- Rèn luyện kĩ năng tính toán thành thạo, chính xác.

- Biết sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả.

Vậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3.

Ví dụ 2: Tìm phần ảo của số phức z biết :

(Đề thi Đại học Khối B- năm 2010)

Ví dụ 4: Tìm số phức z thỏa mãn: và z2 là số thuần ảo

(Đề thi Đại học Khối D- năm 2010)

Vậy các số phức cần tìm là: 1+i; -1- i; 1- i; -1+i.

Chú ý : Trong một số trường hợp, thực chất yêu cầu của bài toán là thực hiện

các phép tính trên tập hợp các số phức mà áp dụng tương tự trên tập hợp số thực.

*Phân tích sai lầm: Học sinh hiểu sai x, y nên đã coi hệ số của i ở vế phải

của mỗi phương trình trong hệ trên là phần ảo, phần còn lại là phần thực

Giải hệ trên trong tập số thực ta được

Vậy nghiệm của hệ là

Bài tập tương tự

Tìm phần thực, phần ảo của số phức z

(Đề thi CĐ khối A, B, D – năm 2010)

Dạng 2: Biểu diễn hình học của số phức

* Yêu cầu của bài toán thường cho dưới dạng:

+) Biểu diễn hình học các số phức trong mặt phẳng Oxy (mặt phẳng phức) +) Tìm điểm hoặc tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn một hoặc một vài điều kiện cho trước.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông cân

b) Tìm số phức z có điểm biểu diễn D sao cho ABCD là hình vuông.

Vậy tam giác ABC vuông cân tại B.

b) Do tam giác ABC vuông cân tại B, ABCD là hình vuông

điểm M(-1; biểu diễn số phức z.

Phân tích sai lầm: Học sinh nhầm tưởng kí hiệu môđun của số phức với kí hiệu

gái trị tuyệt đối trong tập hợp số thực.

Từ đó suy ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường Elip nhận F1, F2

là hai tiêu điểm, trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 8

Phương trình chính tắc của (E):

Cách 2:

Gọi điểm M biểu diễn số phức z, điểm F1(-4; 0) biểu diễn số phức -4+0i; điểm

F2(4;0) biểu diễn số phức 4 + 0i.

Khi đó, là khoảng cách MF1; là khoảng cách MF2

Ta có :

Theo định nghĩa đường Elip, suy ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là

đường Elip nhận F1, F2 là hai tiêu điểm, trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 8

Lưu ý:Với câu b)

- Học sinh thường gặp rắc rối trong cách 1 là từ (*) khó biến đổi về một phương trình đường Elip dạng chính tắc quen thuộc nếu không phát hiện ra công thức tính khoảng cách giữa hai điểm khi biết tọa độ của chúng, và định nghĩa đường Elip thì khó có thể chỉ ra quỹ tích điểm M một cách cụ thể.

- Để vận dụng được theo cách 2 thì học sinh phải nắm được môđun biểu diễn khoảng cách giữa hai điểm lần lượt là điểm biểu diễn hai số phức z và z ’

Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức

c) là số thực âm

( Đáp án: Trục Oy ứng với điểm có tung độ thuộc khoảng (-2;2))

(Đáp án: đường hypebol )

Dạng 3: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc 2

* Yêu cầu của bài toán thường cho dưới dạng:

- Tìm căn bậc hai của số phức z.

- Giải phương trình bậc hai với hệ số thực hoặc hệ số phức.

Phương trình có hai nghiệm :

Phương trình có hai nghiệm :

c)*

*Tìm căn bậc hai của

Cách 1: Gọi là một căn bậc hai của , khi đó ta có

Cách 2: Viết

* Phương trình có hai nghiệm :

Chú ý: Các quy tắc nhẩm nghiệm và định lí Viet vẫn đúng trong trường hợp xét

phương trình bậc hai trong tập hợp số phức

Ví dụ 2: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:

Giải

Ta có

Vậy phương trình có hai nghiệm

Dạng 4: Phương trình quy về bậc hai

* Những dạng phương trình quy về bậc hai thường gặp:

- Đối với phương trình bậc cao, thông thườngsử dụng phương pháp đổi biến hoặc phải nhẩm được một nghiệm để tách thành nhân tử là những biểu thức bậc thấp hơn tương tự như cách giải phương trình bậc cao trong tập hợp số thực

có hai căn bậc hai là 1 và -1

Phương trình có hai nghiệm :

Ví dụ 2: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:

Vậy phương trình có bốn nghiệm.

Ví dụ 4: Giải phương trình sau :

(1)

Giải

Điều kiện:

* Sai lầm của học sinh::

* Phân tích sai lầm:Học sinh đã áp dụng phương pháp giải phương trình x 4 = 1trong tập hợp số thực Nhưng trong tập hợp số phức, ngoài số 1 và -1 ra còn có

số i và –i thỏa mãn i4 = 1, (-i)4 = 1

* Lời giải đúng:

Cách 1:

Dạng 5: Dạng lượng giác của số phức

* Bài toán thường cho dưới dạng:

- Biểu diễn số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác hoặc ngược lại.

- Thực hiện nhân, chia và căn bậc hai các số phức dưới dạng lượng giác.

- Bài toán ứng dụng công thức Moa – vrơ.

* Kiến thức:

- Nắm chắc dạng lượng giác của một số phức và cách xác định môđun và acgumen của số phức, đặc biệt là phải biết vận dụng công thức giá trị lượng giác giữa các góc (cung) có liên quan đặc biệt.

- Nắm chắc các phép toán nhân, chia, hai số phức dạng lượng giác và căn bậc hai của số phức dạng lượng giác.