I) D NG Đ I S C A S PH C
D ng 1) Bài toán liên quan ñ n bi n ñ i s ph c
Ví d 1) Tìm s nguyên x, y sao cho s ph c z=x+yi tho mãn 3
18 26
Gi i:
3
18 26
2 3
x y y
− =
Gi i phương trình b ng cách ñ t y=tx ta ñư c 1 3, 1
3
t= ⇒x= y= V y z=3+i
Ví d 2) Cho hai s ph c z z tho mãn 1; 2 z1 = z2 ;z1+z2 = 3 Tính z1−z2
Gi i:
Đ t z1= +a1 b i z1; 2 = +a2 b i2 T gi thi t ta có
2 2 2 2
1 1 2 2
1 3
D ng 2) Bài toán liên quan ñ n nghi m ph c
Ví d 1) Gi i phương trình sau: 2
8(1 ) 63 16 0
z − −i z+ − i=
' 16(1 i) (63 16 )i 63 16i 1 8i
∆ = − − − = − − = − T ñó tìm ra 2 nghi m là
1 5 12 , 2 3 4
z = − i z = + i
Ví d 2) Gi i phương trình sau: 2(1+i z) 2−4(2−i z) − − =5 3i 0
Gi i: Ta có ∆’ = 4(2 – i)2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16 V y phương trình cho hai nghi m là:
i
i i
i
2
5 2
3 2
) 1 )(
4 ( 1
4 ) 1 ( 2
4 ) 2
(
2
−
=
−
−
= +
−
= +
+
−
i
i i
i
2
1 2
1 2
) 1 )(
( 1 ) 1 ( 2
4 ) 2
(
+
−
= +
−
−
Ví d 3) Gi i phương trình z3−9z2+14z− =5 0
Gi i: Ta có phương trình tương ñương v i ( ) ( 2 )
2z−1 z −4z+ =5 0 T ñó ta suy ra phương trình có 3 nghi m là 1 1; 2 2 ; 3 2
2
z = z = −i z = +i
Ví d 4) Gi i phương trình: 3 2
2z −5z + + +3z 3 (2z+1)i=0 bi t phương trình có nghi m th c
Gi i: Vì phương trình có nghi m th c nên
3 2
z
+ =
1 2
z −
⇒ = tho mãn c hai phương trình c a h :Phương trình ñã cho tương ñương v i
2z+1 z − + + =3z 3 i 0 Gi i phương trình ta tìm ñư c 1; 2 ; 1
2
z= − z= −i z= +i
www.laisac.page.tl
M
V
Nguy n Trung Kiên
Trang 2Ví d 5) Gi i phương trình: z3+ −(1 2 )i z2+ −(1 i z) − =2i 0 bi t phương trình có nghi m thu n o:
Gi i: Gi s nghi m thu n o c a phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có
bi + − i bi + −i bi − = ⇔ −i b b + − +b b + −b i=
2
3 2
0
1
b b
z i− z + −i z+ = Gi i pt này ta s tìm ñư c các nghi m
Ví d 6) Tìm nghi m c a phương trình sau:z2 =z
Gi i: Gi s phương trình có nghi m: z=a+bi thay vào ta có ( )2
a bi+ = +a bi
2 2
2
⇔
= −
Gi i h trên ta tìm ñư c
( , ) (0; 0), (1; 0), ( ; )
trình có 4 nghi m là 0; 1; 1 3
z= z= z= − ± i
D ng 3) Các bài toán liên quan ñ n modun c a s ph c:
Ví d 1) Tìm các s ph c z tho mãn ñ ng th i các ñi u ki n sau:
z+ − i = − +z i và z i− = 5
Gi i:
Gi s z=x+yi (x,y là s th c) T gi thi t ta có 1 ( 2) 2 (1 )
( 1) | 5
+ + − = − + −
2 2
⇔
3
=
⇔
− − =
,
x= − y= − V y có 2 s ph c tho mãn ñi u ki n
Ví d 2) Xét s ph c z tho mãn ;
i m
−
a) Tìm m ñ 1
2
z z =
4
z i− ≤
c) Tìm s ph c z có modun l n nh t
Gi i:
a) Ta có
2
z
Trang 3( )
2
1
m
+
2
2 2
2
m
m
+
+ b) Ta có
2
1
− ≤ ⇔ + + + − ≤ ⇔ + − + ≤ ⇔
c) Ta có
2
max
2
1 1
m
m m
+
+ +
Ví d 3) Trong các s ph c z tho mãn ñi u ki n z− −2 4i = 5 Tìm s ph c z có modun l n nh t, nh nh t
Gi i: Xét s ph c z = x+yi T gi thi t suy ra ( ) (2 )2
x− + y− = Suy ra t p h p
ñi m M(x;y) bi u di n s ph c z là ñư ng tròn tâm I(2;4) bán kính R= 5
D dàng có ñư c M(2+ 5 sin ; 4α + 5 cos )α Modun s ph c z chính là ñ dài véc tơ
OM
Ta có |z|2=OM2 = +(2 5 sin )α 2+ +(4 5 cos )α 2 =25 4 5(sin+ α+2 cos )α
(sinα +2 cos )α ≤ +(1 4) sin α+cos α =5
5 sinα 2 cosα 5
min
max
Ví d 4) Trong các s ph c tho mãn ñi u ki n z− −2 4i = −z 2i .Tìm s ph c z có moodun nh nh t
Gi i: Xét s ph c z = x+yi T gi thi t suy ra
( ) (2 )2 2 ( )2
x− + −y =x + −y ⇔ + − =x y Suy ra t p h p ñi m M(x;y) bi u di n
s ph c z là ñư ng th ng y=-x+4
Ta có z = x2+y2 = x2+ −(4 x)2 = 2x2− +8x 16 = 2(x−2)2+ ≥8 2 2 T ñó suy
D ng 4) Tìm t p h p ñi m bi u di n s ph c
Ví d 1) Tìm t p h p các ñi m M trong m!t ph"ng ph c bi u di n s ph c z bi t:
z i =
− b) z = − +z 3 4i c) z i− + + =z i 4
Trang 4Gi i:
G i z=x+yi
a) T gi thi t ta có 3 2 2 9( 2 ( 1) )2 2 ( 9)2 9
z = z i− ⇔x +y = x + −y ⇔ x + −y =
V y t p h p ñi m M là ñư ng tròn tâm (0; ),9 3
b) T gi thi t ta có 2 2 ( )2 2
x +y = −x + −y ⇔ x+ y= V y t p h p các ñi m
M là ñư ng th ng 6x+8y-25=0
c) Gi s z =x+yi thì z i− + + =z i 4 2 ( )2 2 ( )2
2
2
2
2
2 2
1 16(1)
4
4(3)
y
y
Ta th y các ñi m n m trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung ñ các ñi m n m trên (Elip) luôn tho mãn ñi u ki n y >-4 V y t p h p ñi m M là Elip có pt
2 2
1
x + y =
Ví d 2) Tìm t p h p các ñi m bi u di n trong m!t ph"ng ph c s
ph cω= +(1 i 3)z+2 bi t r#ng s ph c z tho mãn: z− ≤1 2
Gi i: Đ t z= +a bi a b( , ∈R)
Ta có z− ≤1 2 ( )2 2
⇔ − + ≤ (1)
T
ω= + + ⇒ + = + + + ⇔ = − + ⇔ − = − +
T ñó ( )2 ( )2 ( )2
2
x− + −y ≤ a− +b ≤ do (1)
V y t p h p các ñi m c n tìm là hình tròn ( )2 ( )2
x− + −y ≤ ; tâm I( )3; 3 , bán kính R=4
Ví d 3) Xác ñ$nh t p h p các ñi m M(z) trong m!t ph"ng ph c bi u di n các s
ph c z sao cho s 2
2
z z
− + có acgumen b#ng 3
π
Gi i:
Trang 5Gi s z=x+yi, thì ( )
2 2
z
− +
i
Vì s ph c 2
2
z
z
−
+ có acgumen b ng 3
π
, nên ta có:
2 2
τ
2 2
2 2
2 2
4 2 2
2 2
y
τ τ
⇒
T ñó suy ra y>0 (1) và
2 2
t p h p các ñi m M là ñư ng tròn tâm n m phía trên tr c th c(Trên tr c Ox)
D ng 5) Ch ng minh b t ñ"ng th c:
Ví d 1) Ch ng minh r#ng n u z ≤1 thì 2 1 1
2
z iz
− ≤ +
Gi i:
Gi s z =a+bi (a, b ∈R) thì z = a2+b2 ≤ ⇔1 a2+ ≤b2 1 Ta có
2 2
v i
2 2
(2 )
Ví d 2) Cho s ph c z khác không tho mãn ñi u ki n 3
3
1 2
z z
+ ≤ Ch ng minh
r#ng: z 1 2
z
+ ≤
Gi i: D dàng ch ng minh ñư c v i 2 s ph c z z b t kỳ ta có 1, 2 z1+z2 ≤ z1 + z2
Ta có
z
a − a− ≤ ⇔ a− a+ ≤ ⇒dpcm
Trang 6II) D NG LƯ&NG GIÁC C A S PH C
D ng 1: VI'T D NG LƯ&NG GIÁC
Ví d 1) Vi t dư i d ng lư ng giác c a các s ph c:
a) 1 (cos sin )
1 cos sin
i i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
+ + b) 1−(cosϕ+isinϕ) ( 1 cos+ ϕ+isinϕ)
Gi i:
2
2
i
- Khi tan 0
2
ϕ >
d ng lư ng giác là: tan cos sin
ϕ π π
- Khi tan 0
2
ϕ <
d ng lư ng giác là: tan cos sin
ϕ π π
− +
- Khi tan 0
2
ϕ =
thì không có d ng lư ng giác
ϕ ϕ ϕ
= − + −
- Khi sinϕ=0 thì d ng lư ng giác không xác ñ nh
- Khi sinϕ>0 thì d ng lư ng giác là: 2sin cos sin
ϕ ϕ− + ϕ−
- Khi sinϕ<0 thì d ng lư ng giác là: ( 2 sin ) cos sin
ϕ ϕ ϕ
− + + +
Ví d 2): Vi t dư i d ng lư ng giác c a các s ph c:
a) 1 (cos sin )
1 cos sin
i i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
+ + b) [1 (cos− ϕ+isin ) 1 cosϕ ][ + ϕ+isinϕ]
Gi i:
2
i
i
ϕ ϕ
−
Khi tan
2
ϕ
>0 thì d ng lư ng giác là tan
2
ϕ
Trang 7Khi tan
2
ϕ
<0 thì d ng lư ng giác là - tan
2
ϕ
+
Khi tan
2
ϕ
=0 thì không t!n t i d ng lư ng giác
b) [1 (cos− ϕ+isin ) 1 cosϕ ][ + ϕ+isinϕ]
i
= − + −
- Khi sinϕ=0 thì d ng lư ng giác không xác ñ nh
- Khi sinϕ>0 thì d ng lư ng giác là: 2sin cos sin
ϕ ϕ− + ϕ−
- Khi sinϕ<0 thì d ng lư ng giác là:( 2 sin ) cos sin
ϕ ϕ ϕ
− + + +
D ng 2: MÔĐUN VÀ ACGUMEN
Ví d 1) Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z, bi t 2
2 2 3
z = − + i
Do ñó: 2 2 2 3 2 4 cos2 sin2
2 cos sin
π π
= − + = − −
T ñó suy ra ph n th c và ph n o c a z tương ng là 1 và 3 ho c -1 và − 3
Ví d 2) Tìm m(t acgumen c a s ph c: z− +(1 i 3) bi t m(t acgumen c a z
b#ng
3
π
Gi i: z có m t acgumen b ng
3
π
= +
Do ñó: z− +(1 i 3)=( 2) 1 3
− +
- Khi z >2, m t aacgumen c a z− +(1 i 3) là
3
π
- Khi 0< <z 2, m t acgumen c az− +(1 i 3) là 4
3
π
Trang 8- Khi z =2 thì z− +(1 i 3)=0 nên acgumen không xác ñ nh
Ví d 3) Cho s ph c z có môñun b#ng 1 Bi t m(t acgumen c a z là ϕ, tìm m(t acgumen c a:
a) 2
2z b) 1
2z
− c) z+z d) 2
z +z
Gi i:
1
z = , z có m t acgumen là ϕ Do ñó z=cosϕ+isinϕ
V y 2z2 có m t acgumen là 2ϕ
b) z=cosϕ+isinϕ⇒z=cosϕ−isinϕ⇒2z=2 cos( ϕ−isinϕ)
2
2
z
z
ϕ ϕ ϕ π ϕ ϕ π
V y 1
2z
− có m t acgumen là ϕ π+
c) Ta có: z+ =z 2 cosϕ
N u cosϕ >0 thì có m t acgumen là 0
N u cosϕ<0 thì có m t acgumen làπ
N u cosϕ =0 thì acgumen không xác ñ nh
d) z2+ =z cos 2ϕ+isin 2 ,ϕ z=cosϕ−isinϕ
cos 2 cos sin 2 sin 2 cos cos 2 cos sin
3
2 cos cos sin
i
V y acgumen 2
z +z là
2
ϕ
n u cos3 0
2
ϕ >
, là 2
ϕ π+ n u cos3 0
2
ϕ <
và không xác ñ nh
n u cos3 0
2
ϕ =
Ví d 4) Cho s ph c 1 cos sin
z= − π −i π
Tính môñun, acgumen và vi t z dư i
d ng lư ng giác
Gi i:
Ta có:
2
Đ t ϕ=arg z( ) thì
2
8
4
1 cos 2 sin
ϕ= − π = π = = −
−
Trang 9Suy ra: ,
14 k k z
π
ϕ= − + π ∈
Vì ph n th c 1 cos 0
7
π
− > , ph n o sin 0
7
π
− < nên ch n m t acgumen là
14
π
−
V y 2 cos4 cos i sin
= − + −
Ví d 5) Vi t dư i d ng lư ng giác c a m(t s ph c z sao cho 1
3
z = và m(t
acgumen c a
1
z i
+ là
3 4
π
−
Gi i:
Theo gi thi t 1
3
cos sin 3
z
i
= − − + − −
Ví d 6) Tìm s ph c z sao cho: z 3i 1
z i
+ = + và z+1 có m(t ácgumen là 6
π
−
Gi i: T gi thi t
3
1
z i
z i
+ =
2
y
z+1 có 1 acgumen b ng
6
π
+ = − + − = −
Ta có z+1=x+1-2i suy ra
3
2 3 1 2
2
x
x
τ
τ τ
+ =
− = −
D ng 3) NG D)NG S PH C TRONG BÀI TOÁN T* H&P
Ví d 1) Tính các t ng sau khi n=4k+1
a) S =C20n+1−C22n+1+C24n+1− +C22n n+−12−C22n n+1
2 1 2 1 2 1 2n1 2n1
S =C + −C + +C + − +C +− −C ++
Gi i:
Trang 10Xét
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1+i n+ =C n+ +iC n+ +i C n+ + +i n+C n n++ =C n+ −C n+ + − C n n+ +i C( n+ −C n+ + − C n n++)
M t khác ta l i có:
n
=2 2 cos(2 1) sin(2 1) 2 2 cos(8 3) sin(8 3)
T ñó ta có
a) S=-2n
b) S=2n
Ví d 2) Tính các t ng h+u h n sau:
1 n n n
S = −C +C −C +
S =C −C +C −C +
Gi i:
1+i n =C n +iC n+i C n + +i C n n n = −1 C n +C n − + i C( n−C n +C n−C n + )
( )
n
T ñó ta có k t qu
4
b) 2 sin
4
Ví d 3) Ch ng minh r#ng: 3 6 1
n
n
Gi i: Ta có 2n =C n0+C1n+C n2+C n3+ C n n (1)
ε = + ⇒ε =
Ta có
1+ε n =C n +εC n+ε C n + εn C n n =C n +εC n+ε C n +C n +εC n + (2)
1+ε n =C n +ε C n+ε C n + ε n C n n=C n +ε C n+εC n +C n+ε C n + (3)
C ng (1) (2) (3) theo v ta có
3
n n
n
n
n
Trang 11M T S BÀI T,P T- LUY.N
1) Gi i phương trình sau trên t p s ph c:
3
)
a z =z b z) + = +z 3 4i 2 ( )2
c z − z = i d z) 2+2z+ − =1 i 0
2
e z + z+ = f)(1+i z) 2+ +2 11i=0 g z) 2−2(z+ + =z) 4 0
2) Tìm s th c x tho mãn b t phương trình:
) 1 4 2 x 5
a + −i − ≤ )1 7 log2 1
4
i
)1 log2 1 2 2 0
2 1
−
3) Tìm s ph c z sao cho A= −(z 2)(z+i) là s th c
4) Tìm s ph c z tho mãn ñi u ki n 5; 7
1
z z
+
= + là s th c
5) Tìm t p h p các ñi m M trong m!t ph"ng ph c bi u di n các s ph c z tho mãn
ñi u ki n
( )2
2
2
z i b
z i
+ )3c z+ = + −i z z 3i )d z+ − =3i 4 2 )e z+ ≥ +1 z i
f z = + −z i ) 2 1
2
z i g
− >
+ )2h z i− = − +z z 2i 1
3
2 2
z k
z
− + >
− −
6) Trong các s ph c tho mãn ñi u ki n 2 3 3
2
z− + =i Tìm s ph c z có modun l n
nh t,nh nh t
7) Tìm s ph c z tho mãn ñi u ki n (z−1)(z+2i) là s th c và z nh nh t
8) Tìm m(t acgumen c a s ph c z khác 0 bi t z+ z i = z
9) Tìm s ph c z tho mãn 2
2
z + =z và z =2
10) Gi i h pt sau trong t p s ph c:
2 2
)
4
a
− = − +
1 2
1 2
3
5
+ = −
+
2
1 2 2
2 1
1 0 )
1 0
c
− + =
− + =
12 5
) 4 1 8
z
z i d
z z
−
3 2
2010 2011
)
1 0
e
11) Cho phương trình 2z3−(2i+1)z2+(9i−1)z+ =5i 0có nghi m
th c Hãy tìm t t c các nghi m c a phương trình
12) Tìm ph n th c ph n o c a 12011 w2011
w
w+ =
13) Tìm n nguyên dương ñ các s ph c sau là s th c, s o:
)
3 3
n i
a z
i
=
+
4 6 )
1 5
n i
b z
i
+
=− +
7 4 )
4 3
n i
c z
i
+
= −
)
3 3
i
d z
i
=
−
Trang 1214) Cho n nguyên dương, ch ng minh r#ng
( )
2
3
n
15) Tìm s ph c z sao cho z = −z 2 và m(t acgumen c a z-2 b#ng m(t acgumen
c a z+2 c(ng v i
2
π
16) Gi i phương trình
0
2
tan 10 4 2 os10
z
0
2
cot 12 6 7 sin12
z
M/i th0c m0c xin vui lòng liên h th y Nguy n Trung Kiên 0988844088