Vận dụng quy trình giải toán của g pôlya đề bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học một số dạng bài tập về số phức lớp 12

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNGKHOA TOÁN - CÔNG NGHỆ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC VẬN DỤNG QUY TRÌNH GIẢI TOÁN CỦA G.POLYA ĐỂ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA MỘT SỐ DẠNG BÀ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

KHOA TOÁN - CÔNG NGHỆ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

VẬN DỤNG QUY TRÌNH GIẢI TOÁN CỦA G.POLYA

ĐỂ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP

VỀ SỐ PHỨC LỚP 12

PHÚ THỌ - 2014

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Đất nước ta đang trên con đường công nghiệp hóa, hiện đại hóa, đểcông cuộc đó thành công thì con người là nhân tố quyết định Trong nhữngnăm qua, cùng với sự phát triển chung của cả nước, dưới sự lãnh đạo củaĐảng, sự nghiệp phát triển giáo dục và đào tạo có vị trí chiến lược rất quantrọng trong việc xây dựng con người mới, phát triển kinh tế xã hội, những conngười có năng lực lao động sáng tạo, tích cực, chủ động, có năng lực giảiquyết những vấn đề thường gặp, qua đó góp phần thực hiện thắng lợi các mụctiêu của Đất nước

Mục tiêu của giáo dục và đào tạo là “nhằm nâng cao dân trí, đào tạonhân lực, bồi dưỡng nhân tài, xây dựng con người mới phát triển toàn diện”,việc đổi mới phương pháp dạy học là một nhu cầu cấp bách và việc phát triển

tư duy Toán học của học sinh trung học phổ thông cũng là một vấn đề quantrọng

Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trongNghị quyết Trung ương 4 khóa VII (1 - 1993), Nghị quyết Trung ương 2 khóaVIII (12 - 1996), được thể chế hóa trong Luật Giáo dục (12 - 1998), được cụthể hóa trong các chỉ thị của Bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt là chỉ thị số 15(4 – 1999)

Luật Giáo dục, điều 24.2, đã ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông

phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợpvới đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rènluyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đemlại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Có thể nói cốt lõi của việc đổimới dạy và học là hướng tới hoạt động học tập chủ động, chống lại thói quenhọc tập thụ động Luật giáo dục năm 2005 cũng đã ghi: “Phương pháp giáo

dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của người học, bồidưỡng năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chívươn lên” (Chương I, điều 5) Thực hiện nhiệm vụ trên trong những năm quangành Giáo dục đã và đang tích cực tiến hành đổi mới cả về nội dung vàphương pháp dạy học.

Quan điểm chung về đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trườngtrung học phổ thông là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, sáng tạo,chống lại thói quen học tập thụ động Trong việc đổi mới phương pháp dạyhọc môn Toán ở trường trung học phổ thông, việc bồi dưỡng năng lực giảitoán cho học sinh là đặc biệt quan trọng và cần được tiến hành thường xuyênbởi chính các em là thế hệ nhân tài tương lai của Đất nước

Muốn giải một bài toán, ngoài việc nắm vững kiến thức toán học ra còncần phải có phương pháp suy nghĩ khoa học cùng với những bài toán chưa cósẵn thuật giải chiếm phần lớn trong môn toán, nó gây cho học sinh không ítkhó khăn trong quá trình giải toán Do đó là người giáo viên phải biết đề rađúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi mở, phù hợp với trình độ học sinh vàtrong chừng mực nào đó sử dụng khéo léo và linh hoạt bảng gợi ý củaG.Pôlya (G.Pôlya - Giải bài tập như thế nào?) [12]

Việc giải toán không chỉ đơn thuần là cung cấp lời giải mà quan trọnghơn là dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm ra con đường hợp lý để giảitoán Trong dạy học thầy cô thường chỉ cho học sinh biết rằng có nhiềutrường hợp từ một bài toán cụ thể lại có thể minh họa bằng nhiều cách giảikhác nhau, điều đó góp phần rất lớn cho việc luyện tập toán Vì thế, trong việcgiải bài tập không nên thỏa mãn và dừng lại với các kết quả đã có, mà phảichịu khó tìm tòi, khám phá những cái mới trên cơ sở những cái đã biết, qua đórút ra các phương pháp giải chung cho những bài toán có dạng tương tự

Mặt khác, về nội dung môn toán: Trong hệ thống kiến thức được đưavào chương trình dạy cho học sinh trung học phổ thông, ngoài những nội

dung quen thuộc của môn toán như các phép biến hình, Vectơ và tọa độ, Tậphợp, Phương trình và bất phương trình, Hàm số và đồ thị, những yếu tố củaphép tính vi phân và tích phân, Đại số tổ hợp, thì số phức đã được đưa vàochương trình môn toán ở trường trung học phổ thông là hoàn thiện hệ thống

số và khai thác một số ứng dụng khác của số phức trong Đại số, trong Hìnhhọc và trong Lượng giác

Số phức xuất hiện từ thế kỉ XIX do nhu cầu phát triển của toán học vềgiải những phương trình Đại số Từ khi ra đời, số phức đã thúc đẩy toán họctiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật

Số phức có thể được dùng như một công cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều bàitoán cả trong Đại số, Hình học lẫn Lượng giác, Tổ hợp, Với sự trở lại của

số phức trong trường trung học phổ thông nhiều vấn đề của toán sơ cấp có thểđược trình bày rõ ràng và cụ thể hơn

Trong chương trình giải tích 12 mới hiện nay, chương Số phức đượcđưa vào, trong đó gồm các phần: Khái niệm về số phức; Các phép toán: cộng,trừ, nhân, chia hai số phức; Phương trình bậc hai với hệ số thực, phương trìnhbậc hai với hệ số phức (nâng cao) và biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác(nâng cao) chiếm vị trí khá quan trọng và thường có trong các đề thi tốtnghiệp, Đại học và Cao đẳng Tuy vậy, đối với học sinh trung học phổ thôngthì số phức là nội dung còn mới mẻ, với thời lượng không nhiều, học sinh mớibiết được những kiến thức rất cơ bản của số phức, việc khai thác các ứngdụng của số phức còn hạn chế, đặc biệt là việc giải thành thạo các dạng bàitập về số phức là một vấn đề khó, đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải toánnhất định, biết vận dụng kiến thức đa dạng của toán học

Xuất phát từ những lí do trên tôi chọn đề tài là: “Vận dụng quy trình giải toán của G.Pôlya để bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học một số dạng bài tập về số phức lớp 12 ”.

2 Mục tiêu khóa luận

Việc nghiên cứu đề tài này nhằm mục tiêu vận dụng quy trình giải toáncủa G.Pôlya để bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy họcmột số dạng bài tập về số phức lớp 12 để rèn luyện cho học sinh tư duy quansát và dự đoán khi giải toán, phân tích tìm tòi cách giải và trình bày lời giảicủa bài toán, nhận biết được các quan hệ của dạng bài tập về số phức

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lí luận về quy trình giải toán của G.Pôlya, năng lựcgiải một số dạng bài tập về số phức lớp 12 trong trường trung học phổ thông

Vận dụng quy trình giải toán của G.Pôlya giúp học sinh định hướngđường lối giải toán để giải một số dạng bài tập về số phức lớp 12

Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính đúng đắn và hiệuquả của việc vận dụng quy trình giải toán của G.Pôlya

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

Đọc và nghiên cứu các tài liệu về lí luận (triết học, lý luận giáo dục và

lý luận dạy học môn toán, …); nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài rồiphân hóa, hệ thống hóa các kiến thức để làm sáng tỏ phương pháp dạy họcmột số dạng bài tập về số phức lớp 12 thông qua quy trình giải toán củaG.Pôlya

4.2 Phương pháp quan sát, điều tra

Qua các tiết dự giờ giáo viên dạy, trao đổi với giáo viên dạy toán trunghọc phổ thông, tìm hiểu tình hình học tập vận dụng quy trình giải toán củaG.Pôlya vào giải một số dạng bài tập về số phức của học sinh lớp 12

4.3 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

Qua việc nghiên cứu tham khảo tài liệu, giáo trình từ đó rút ra kinhnghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu

4.4 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia

Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác đểhoàn thiện về mặt nội dung và hình thức của khóa luận.

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: Quá trình dạy học giải toán lớp 12

- Phạm vi: Trường THPT Thanh Ba, huyện Thanh Ba, tỉnh Phú Thọ

6 Ý nghĩa khoa học

Góp phần làm rõ cơ sở lí luận của năng lực, năng lực toán học, nănglực giải toán và thực trạng của việc bồi dưỡng năng lực giải toán của học sinhtrung học phổ thông

Đưa ra một số dạng bài tập về số phức vận dụng quy trình giải toán của

G.Pôlya từ đó bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh trung học phổ thông

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chiathành các chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Vận dụng quy trình giải toán của G.Pôlya để bồi dưỡngnăng lực giải toán cho học sinh thông qua một số dạng bài tập số phức lớp 12

Chương 3: Thử nghiệm sư phạm

1.1.1.1 Mục đích

Để đào tạo được những con người đáp ứng được đòi hỏi của xã hội ngàynay, những con người năng động sáng tạo, có tinh thần trách nhiệm, có trí tuệ,

có khả năng lao động kĩ thuật cao, … trong các nhà trường phổ thông đã đặt

ra nhiều mục đích, mục tiêu cụ thể cho việc đào tạo Toán học có vai trò to lớntrong đời sống, trong khoa học và công nghệ hiện đại, kiến thức toán học làcông cụ để học sinh học tập tốt các môn học khác, giúp học sinh hoạt động cóhiệu quả trong mọi lĩnh vực Vì vậy, trong dạy học toán nói chung, giải bài tậptoán nói riêng cần xác định những mục đích cụ thể, sát thực Có thể thấy rõmột số mục đích bài tập toán ở trường phổ thông là:

- Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp họcsinh biết những tri thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thứccủa bản thân, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong cáclĩnh vực hoạt động cũng như trong học tập hiện nay và sau này

- Làm cho học sinh từng bước nắm được một cách chính xác, vữngchắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản,hiện đại, phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức đó vàonhững tình huống cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc họctập các bộ môn khoa học khác.

- Thông qua việc giải bài tập, học sinh khắc sâu các kiến thức đã học,biết xâu chuỗi các kiến với nhau, kích thích sự tìm tòi, sáng tạo các kiến thứcmới Qua đó rèn luyện tư duy lôgic, sáng tạo, tính kiên trì, cần cù, chịu khó,

ở người học sinh

- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩmchất đạo đức của người lao động mới

1.1.1.2 Vị trí và vai trò của bài tập toán

Trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông, bài tập toán có vaitrò vô cùng quan trọng, vì theo Nguyễn Bá Kim: “Ở trường phổ thông, dạytoán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem giải toán là hìnhthức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài tập toán ở trường phổ thông làmột phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúphọc sinh nắm vững những tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng kĩxảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện

để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy, tổchức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối vớichất lượng dạy học toán” [6, tr.201]

Cũng theo Nguyễn Bá Kim: “Bài tập toán học có vai trò quan trọngtrong môn toán Điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của họcsinh Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhấtđịnh bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hayphương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ

phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt độngngôn ngữ” [6, tr.388]

Như vậy bài tập toán ở trường phổ thông có vị trí, vai trò quan trọngtrong hoạt động dạy, học toán ở trường trung học phổ thông Vì thế, cần lựachọn các bài tập toán sao cho phù hợp với đối tượng và năng lực của học sinh,như thế mới phát huy được năng lực giải toán của học sinh

1.1.1.3 Ý nghĩa của bài tập toán

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với họcsinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.Việc giải toán có nhiều ý nghĩa, cụ thể là:

- Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức vàrèn luyện kỹ năng Trong nhiều trường hợp, giải toán là một hình thức rất tốt

để dẫn dắt học sinh tự mình đi tìm kiếm tri thức mới

- Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn

đề cụ thể, vào thực tiễn và vào vấn đề mới

- Đó là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tựkiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học

- Việc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập cho học sinh, pháttriển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện người học sinh về rất nhiều mặt

1.1.2 Chức năng của bài tập toán

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với nhiều dụng

ý khác nhau Một bài tập có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làmviệc với một nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra, … Mỗi bài tập cụ thểđược đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng mộtcách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau, những chức năngnày đều ảnh hưởng đến các mục đích dạy học trong môn toán, hệ thống bàitập có các chức năng sau:

- Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành, củng cố cho họcsinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trìnhdạy học Cụ thể như: Làm sáng tỏ và khắc sâu những vấn đề về lý thuyết; thugọn, mở rộng, bổ sung cho lý thuyết trên cơ sở thường xuyên hệ thống hóakiến thức và nhấn mạnh phần trọng tâm của lí thuyết Đặc biệt bài tập cònmang tác dụng giáo dục kĩ thuật, tổng hợp thể hiện qua việc giúp học sinh rènluyện kĩ năng tính toán, kỹ năng đọc hình vẽ, kĩ năng sử dụng các phương tiệnhọc tập, kỹ năng thực hành toán học; phương pháp tư duy, thói quen đặt vấn

đề một cách hợp lí, ngắn gọn tiết kiệm thời gian, …

Chẳng hạn, sau khi đã dạy cho học sinh phương pháp tam thức bậc hai

để giải phương trình phức, chúng ta có thể đưa ra ví dụ sau đây:

Ví dụ 1: (Đề thi khối A năm 2009)

Gọi z1 và z2là hai nghiệm phức của phương trình: 2

Tính giá trị của biểu thức A z12  z22

Để tính được giá trị của A học sinh phải giải được phương trình trên để tìm

1 ; 2

z z mà để tìm được z z1; 2 thì cách dễ dàng nhất là sử dụng tam thức bậc hai,

từ đó dẫn học sinh tới việc tính '.

làm nghiệm và giải phương trình với m tìm được

Để tìm được m, học sinh cần chú ý giả thiết bài toán, sau khi tìm được m học

sinh sử dụng tam thức bậc hai để giải phương trình dễ dàng hơn.

Lời giải

Ta có : z 1 i là nghiệm của phương trình khi:

Vậy qua ví dụ này, giáo viên đã khắc sâu cho học sinh khi gặp các

phương trình bậc hai phức cũng sử dụng được tam thức bậc hai như các phương trình bậc hai thực và chú ý phép toán số phức có đủ các tính chất như

số thực.

- Với chức năng giáo dục, bài tập giúp học sinh hình thành thế giớiquan duy vật biện chứng, từng bước nâng cao hứng thú học tập, tạo niềm tin ởbản thân học sinh và phẩm chất của con người lao động mới, rèn luyện chohọc sinh đức tính kiên nhẫn, bền bỉ, không ngại khó, sự chính xác và chu đáotrong khoa học

- Với chức năng phát triển, bài tập giúp học sinh ngày càng nâng caokhả năng suy nghĩ, rèn luyện các thao tác tư duy như: phân tích, tổng hợp, suydiễn, quy nạp, tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa, … thông thạo một sốphương pháp suy luận toán học, biết phát hiện và giải quyết vấn đề một cáchthông minh, sáng tạo Từ đó hình thành phẩm chất tư duy khoa học

Chẳng hạn sau khi làm xong ví dụ 1, giáo viên có thể cho học sinh làm các bài tập khác gần gũi hoặc là những trường hợp tương tự với bài toán trên

Do học sinh đã giải được bài toán trên nên khi xét các bài toán tương

tự, nâng cao hơn như thế này sẽ tạo cho học sinh tích cực hơn trong việc tìmtòi lời giải của bài toán Qua đó hình thành cho học sinh biết suy nghĩ, suy xétbài toán ở những góc độ khác nhau, biết sử dụng triệt để giả thiết, từ giả thiếtbài toán biết đặt ẩn phụ để đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc haiquen thuộc đã biết cách giải

- Với chức năng kiểm tra, bài tập giúp giáo viên và học sinh đánh giáđược mức độ và kết quả của quá trình dạy và học, đồng thời nó cũng đánh giákhả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh

Thông qua giải bài tập, giáo viên có thể tìm thấy những điểm mạnh,những hạn chế trong việc tiếp thu và trình bày tri thức của học sinh, qua đó cóthể bổ sung, rèn luyện và bồi dưỡng tiếp cho học sinh.

Có thể nói rằng hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phầnlớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng

có thể có của các tác giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chươngtrình Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý củatác giả bằng năng lực sư phạm của mình

1.1.3 Dạy học giải bài tập toán học theo tư tưởng của G.Pôlya

Trong môn toán ở trường phổ thông có nhiều bài tập toán chưa có hoặckhông có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất

cả các bài toán, chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bàitoán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trongviệc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán Dạy học giải bài tập toánkhông có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải bài toán Biết lờigiải bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toán, vì vậycần trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiệncách giải bài toán là cần thiết

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết củaG.Pôlya về cách thức giải toán, phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toánthường được tiến hành theo bốn bước sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Có thể thỏa mãn được điều kiện

hay không ? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không, hay

chưa đủ, hay thừa, hay có mâu thuẫn?

Hình vẽ, sử dụng kí hiệu một cách thích hợp.

Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện Có thể

diễn tả các điều kiện đó thành công thức được không?

Việc đánh giá được dữ kiện có thỏa mãn hay không, thừa hay thiếu đã bước đầu thể hiện tư duy sáng tạo Nếu làm tốt khâu này thì việc giải bài toán đã có thể rất thuận lợi để tìm được lời giải đúng.

Bước 2 : Tìm tòi lời giải bài toán

Việc tìm tòi lời giải là một bước quan trọng bậc nhất trong hoạt động giải toán Điều cơ bản của bước này là biết định hướng

đúng để tìm ra nhanh chóng hướng giải bài toán.

Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở dạng hơi khác?

Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lí có thể dùng được không?

Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc chứa đựng ẩn hay ẩn tương tự.

Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi Có

thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hay

sử dụng phương pháp? Có cần đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới

được xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi như thế nào?

Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố có ích không? Có thể

thay đổi ẩn hay khác dữ kiện, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn và

dữ kiện mới được gần nhau hơn không?

Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Đã sử dụng toàn bộ

điều kiện hay chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài

toán chưa?

Qua các bước dẫn dắt ở bước 2, ta thấy rằng năng lực giải

toán của học sinh đã được thể hiện ở mức độ cao hơn Chẳng hạn

việc giải thử giải một bài toán có liên quan hay tổng quát hơn chính

là sự thể hiện năng lực giải toán.

Bước 3 : Trình bày lời giải

Hãy kiểm tra lại từng bước Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước

đề đúng chưa? Trình bày lại lời giải khi đã điều chỉnh những chỗ

cần thiết.

Qua bước này ta thấy việc thực hiện chương trình giải và

chứng minh được là đúng, tức là đã hoàn thành bài toán, các yếu tố

của năng lực giải toán đã được thể hiện đầy đủ.

Bước 4 : Nghiên cứu sâu lời giải

Bạn có thể kiểm tra lại kết quả không? Bạn có thể kiểm tra lại

toàn bộ quá trình giải bài toán không?

Có tìm ra được kết quả bằng một cách khác không? Có thể

thấy ngay trực tiếp kết quả không?

Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài

toán nào khác không?

Như vậy, có thể nói “Quá trình học sinh học phương pháp chung đểgiải toán là một quá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thànhkinh nghiệm giải toán của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt bàitoán cụ thể Từ phương pháp chung giải toán đi tới cách giải một bài toán cụ

thể còn là cả một chặng đường đòi hỏi lao động tích cực của người học sinh,trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo” [12, tr.423]

Ví dụ: Tìm số phức z biết rằng: 2

Lời giải

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.

(?) Yêu cầu của bài toán là gì.

(?) Để tìm z ta thường sử dụng kiến thức nào.

(!) Sử dụng số phức liên hợp, dạng tổng quát của số phức z và giả thiết cho:

2

Bước 2: Tìm tòi lời giải bài toán

(?) Từ dạng tổng quát của số phức, rút ra được dạng tổng quát của số phức liên hợp và mối liên hệ không.

(!) Có vì theo lý thuyết: z a bi   z a bi a b( ,  , mà theo giả thiết có)2

(?) Như vậy bài toán có thể thực hiện được khi biết dạng tổng quát của số

giữa z và z theo giả thiết.

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

- Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.

- Có thể giải bài toán này theo cách khác được không ?

- …

Như vậy qua ví dụ này, giáo viên cần quan tâm tới vấn đề thiết lập mốiliên hệ giữa số phức và số phức liên hợp của nó, điều kiện để một số phứcbằng 0

1.2 Lý luận về năng lực giải toán của học sinh

1.2.1 Nguồn gốc của năng lực

Từ cuối thế kỉ XIX đến nay đã có nhiều ý kiến khác nhau về bản chất vànguồn gốc của năng lực, tài năng Hiện nay đã có xu hướng thống nhất trênmột số quan điểm cơ bản, quan trọng về lí luận cũng như về thực tiễn:

- Một là, những yếu tố bẩm sinh, di truyền là điều kiện cần thiết banđầu cho sự phát triển năng lực Đó là điều kiện cần nhưng chưa đủ (động vậtbậc cao sống với người hàng ngàn năm vẫn không có năng lực như con người

vì chúng không có các tư chất bẩm sinh di truyền làm tiền đề cho sự phát triểnnăng lực)

- Hai là, năng lực con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử Muốn mộtngười của thế hệ sau được phát triển trong thế giới tự nhiên, xã hội đã được

các thế hệ trước cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn đó trong môi trườngvăn hóa - xã hội Con người khi lọt lòng mẹ đã có sẵn các tố chất nhất địnhcho sự phát triển các năng lực tương ứng, nhưng nếu không có môi trường xãhội thì cũng không phát triển được.

- Ba là, năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của hoạtđộng Sống trong môi trường xã hội tự nhiên do các thế hệ trước tạo ra vàchịu sự tác động của nó, trẻ em và người lớn ở thế hệ sau không chỉ đơn giản

sử dụng hay thích ứng với các thành tựu của các thế hệ trước để lại, mà cònchiếm lĩnh chúng và quan trọng hơn là cải tạo chúng để không chỉ đạt đượccác kết quả “vật chất” mà còn tạo ra tiền đề mới cho hoạt động tiếp theo

Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực, tài năng là hiện tượng

có bản chất nguồn gốc phức tạp Các tố chất và hoạt động của con ngườitương tác qua lại với nhau để tạo ra các năng lực, tài năng Vậy đào tạo cóhiệu quả nhất là đưa học sinh vào các dạng hoạt động thích hợp

1.2.2 Khái niệm về năng lực, năng lực toán học

1.2.2.1 Khái niệm về năng lực

Theo nhà tâm lý học Nga nổi tiếng V.A.Cruchetxki thì năng lực đượchiểu như là: “Một phức hợp các đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đápứng những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiệnthành công hoạt động đó" [16, tr.15]

Như vậy nói đến năng lực là nói đến một cái gì đó tiềm ẩn trong một cáthể, một thứ phi vật chất Song nó thể hiện ra được qua hoạt động và đánh giáđược nó qua kết quả hoạt động Thông thường, một người được gọi là có nănglực nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt độngnào đó và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình củanhững người khác cùng tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện và hoàncảnh tương đương Người ta thường phân biệt ba trình độ của năng lực:

- Năng lực là tổng hoà các kĩ năng, kĩ xảo

- Tài năng là một tổ hợp các năng lực tạo nên tiền đề thuận lợi cho hoạtđộng có kết quả cao, những thành tích đạt được này vẫn nằm trong khuôn khổcủa những thành tựu đạt được của xã hội loài người.

- Thiên tài là một tổ hợp đặc biệt các năng lực, nó cho phép đạt đượcnhững thành tựu sáng tạo mà có ý nghĩa lịch sử vô song Khi nói đến năng lựcphải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất định của con người Năng lựcchỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu đặtra

1.2.2.2 Khái niệm năng lực toán học

Về khái niệm năng lực toán học, theo nhà tâm lý học người NgaV.A.Cruchetxki sẽ được giải thích trên hai bình diện:

- Như là các năng lực sáng tạo (khoa học) - các năng lực hoạt động toánhọc tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và quý giá

- Như là các năng lực học tập giáo trình phổ thông, lĩnh hội nhanhchóng và có kết quả cao các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng

Như vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết làcác đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng được các yêu cầu của hoạt động họctoán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vựctoán học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện nhưnhau [15]

Cũng theo V.A.Cruchetxki: Có 8 đặc điểm hoạt động trí tuệ của họcsinh có năng lực toán học là:

- Khả năng tri giác có tính chất hình thức hoá tài liệu toán học, gắn liềnvới sự thâu tóm nhanh chóng các cấu trúc hình thức của chúng trong một bàitoán cụ thể vào trong một biểu thức toán học

- Khả năng tư duy có tính khái quát hoá nhanh và rộng

- Xu thế suy nghĩ bằng những suy lý rút gọn

- Sự tư duy lôgíc lành mạnh

- Tính linh hoạt cao của các quá trình tư duy thể hiện ở:

+ Sự xem xét cách giải các bài toán theo nhiều khía cạnh khác nhau.+ Sự di chuyển dễ dàng và tự do từ một thao tác trí tuệ này sang mộtthao tác trí tuệ khác, từ tiến trình suy nghĩ thuận sang tiến trình suy nghĩnghịch

- Xu hướng tìm tới cách giải tối ưu cho một vấn đề toán học, khát vọngtìm ra lời giải rõ ràng, đơn giản, hợp lý, tiết kiệm

- Trí nhớ có tính chất khái quát về các kiểu bài toán, các phương thứcgiải, sơ đồ lập luận, sơ đồ lôgic

- Khả năng tư duy lôgic, trừu tượng phát triển tốt

1.2.3 Khái niệm về năng lực giải toán

Trên đây đã nói đến khái niệm năng lực, năng lực toán học Năng lựcgiải toán là một phần của năng lực toán học Vậy năng lực giải toán là gì vàthể hiện như thế nào?

Năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giảiquyết một vấn đề có tính hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duytích cực và sáng tạo, nhằm đạt được kết quả sau một số bước thực hiện [11]

Như vậy, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đónắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kết quảtốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũng tiếnhành hoạt động giải toán đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tươngđương

Từ đặc điểm hoạt động trí tuệ của những học sinh có năng lực toán học

và khái niệm về năng lực giải toán chúng ta có thể rút ra một số đặc điểm vàcấu trúc của năng lực giải toán như sau:

- Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và các yêucầu của một lời giải, biết trình bày lời giải rõ ràng, đẹp đẽ

- Sự phát triển mạnh của tư duy lôgic, tư duy sáng tạo thể hiện ở khảnăng lập luận chính xác, về quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán.

- Có năng lực phân tích, tổng hợp trong lĩnh vực thao tác với các kýhiệu, ngôn ngữ toán học Khả năng chuyển đổi từ điều kiện của bài toán sangngôn ngữ: Ký hiệu, quan hệ, phép toán giữa các đại lượng đã biết, chưa biết

- Có khả năng kiểm tra các kết quả đã đạt được và hình thành được một

số kiến thức mới thông qua hoạt động giải toán, tránh được những nhầm lẫntrong quá trình giải toán

- Có khả năng nêu ra được một số những bài tập tương tự cùng với cáchgiải (có thể là định hướng giải, hoặc quy trình có tính thuật toán, hoặc thuậttoán để giải bài toán đó)

- Có khả năng khái quát hoá từ bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát,

từ bài toán có một số yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát,nhờ các thao tác trí tuệ: Phân tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, trừu tượng, hệthống hoá, đặc biệt hoá

Bàn về năng lực, cũng có ý kiến cho rằng: Năng lực là do thượng đếban cho, song nhiều ý kiến cho rằng đó chỉ là một phần nhỏ, còn phần nhiều

là do sự tích luỹ, sự bồi đắp, sự học hỏi, rèn luyện mà có Qua quá trình họctập học sinh sẽ được bổ sung các kiến thức, được trang bị các phương pháp,

từ đó năng lực giải toán được tăng lên Một phần do học sinh phải có ý thức

tự tăng thêm năng lực cho mình, một phần do các thầy cô hướng dẫn, rèn

luyện Chính vì vậy, tôi rất đề cao các bài ôn tập, bởi chúng đã góp phầnkhông nhỏ trong việc rèn luyện, bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh.

Tóm lại, để rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh, phương pháp tốtnhất là đưa ra một hệ thống các bài tập nhằm giúp cho học sinh nắm vững trithức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thựctiễn

1.2.4 Bồi dưỡng năng lực giải toán

Trong bài tổng luận của tác giả Trần Thúc Trình “Nhìn lại lịch sử cải

cách nội dung và phương pháp dạy - học toán ở trường phổ thông trên thế giới trong thế kỉ XX” đã đưa ra mười chỉ tiêu năng lực là:

1) Năng lực phát triển và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phéptoán, các khái niệm

2) Năng lực tính nhanh và cẩn thận, sử dụng đúng các kí hiệu

3) Năng lực dịch chuyển các dữ kiện thành kí hiệu

4) Năng lực biểu diễn dữ kiện thành kí hiệu

5) Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh

6) Năng lực xây dựng một chứng minh

7) Năng lực giải một bài toán đã toán học hoá

8) Năng lực giải một bài toán chưa toán học hoá

9) Năng lực khái quát hoá toán học

10) Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể ápdụng để giải

Do đặc thù của bộ môn toán nên hoạt động giải toán là hoạt độngkhông thể thiếu được của người học toán, dạy toán, nghiên cứu về toán Trong

cuốn “Sáng tạo toán học” G.Pôlya đã viết: “ quá trình giải toán là đi tìm

kiếm một lối thoát ra khỏi khó khăn hoặc một con đường vượt qua trở ngại,

đó chính là quá trình đạt tới một mục đích mà thoạt nhìn giường như khôngthể đạt được ngay Giải toán là khả năng riêng biệt của trí tuệ, còn trí tuệ chỉ

có ở con người Vì vậy, giải toán có thể xem như một trong những biểu hiệnđặc trưng nhất trong hoạt động của con người ’’ [13, tr.25]

Trong khi say mê giải toán, trí tuệ con người được huy động tới mứctối đa, khả năng phân tích và tổng hợp được rèn luyện, tư duy trở nên nhanhnhẹn Bài toán mà chúng ta có thể bình thường không giải được nhưng nó cóthể khêu gợi tính tò mò và buộc ta phải sáng tạo và nếu tự mình giải bài toán

đó thì ta có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắnglợi

Một điểm cần chú ý nữa là: “Trong quá trình giải bài tập toán cầnkhuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho một bài toán Mọi cách giảiđều dựa vào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm được nhiềucách giải là luyện tập cho học sinh biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiềukhía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy.Mặt khác tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay nhất, đẹpnhất ” [13, tr 214]

Như vậy, để bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh ở trường trunghọc phổ thông thì điều quan trọng là bồi dưỡng năng lực giải toán cho họ Mà

để bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh ta cần tập trung vào bồi dưỡngmười năng lực thành phần trên

1.3 Thực trạng bồi dưỡng năng lực dạy học toán và dạy học giải toán ở trường trung học phổ thông

Để tìm hiểu thực trạng bồi dưỡng năng lực giải toán của học sinh trunghọc phổ thông, tôi đã tiến hành điều tra tại trường THPT Thanh Ba – huyệnThanh Ba – tỉnh Phú Thọ

1.3.1 Điều tra giáo viên

- Mục đích điều tra: Bước đầu tìm hiểuthực trạng việc bồi dưỡng nănglực giải toán cho học sinh trung học phổ thông

- Đối tượng điều tra: Giáo viên đang trực tiếp giảng dạy môn toán ở

trường THPT Thanh Ba, huyện Thanh Ba, tỉnh Phú Thọ

- Nội dung điều tra:

+ Đề nghị giáo viên trả lời câu hỏi trong phiếu điều tra

+ Nội dung của phiếu (phụ lục 1)

- Ý định sư phạm của 5 câu hỏi trong phiếu điều tra:

Câu 1: Điều tra quan điểm của giáo viên về năng lực giải toán

Câu 2: Điều tra về sự đánh giá của giáo viên về những biểu hiện của học sinh

có năng lực giải toán

Câu 3: Điều tra về những khó khăn của giáo viên trong việc bồi dưỡng năng

lực giải toán của học sinh

Câu 4: Điều tra về quan điểm của giáo viên về sự cần thiết của việc bồi dưỡngnăng lực giải toán cho học sinh

Câu 5: Điều tra về mức độ yêu thích môn toán của học sinh

- Kết quả điều tra:

- Kết luận sơ bộ: Qua kết quả điều tra giáo viên có thế rút ra kết luận sau:

+ Đa số giáo viên đã hiểu đúng về năng lực giải toán Tuy nhiên vẫn còn một

số giáo viên chưa hiểu đúng về năng lực giải toán

+ Vẫn còn một số giáo viên chưa phát hiện đúng những biểu hiện của học

sinh có năng lực giải toán

+ Đa số giáo viên đều đánh giá năng lực giải toán của học sinh còn yếu.

+ Đa số giáo viên nhận thức được và quan tâm đến việc bồi dưỡng năng lực

giải toán cho học sinh, tuy nhiên sự quan tâm chưa đúng mức

+ Đa số giáo viên đều gặp khó khăn trong quá trình bồi dưỡng năng lực giải

toán cho học sinh mà nguyên nhân chủ yếu mà họ nhận thấy là do năng lựcgiải toán của học sinh còn yếu, học sinh chưa có hứng thú với môn học và bảnthân giáo viên cũng chưa tìm được phương pháp nào cụ thể để áp dụng

1.3.2 Điều tra học sinh

- Mục đích điều tra: Bước đầu tìm hiểu thực trạng của việc bồi dưỡng

năng lực giải toán của học sinh

- Đối tượng điều tra: Học sinh lớp 12A2, 12A4 trường THPT Thanh Ba

- huyện Thanh Ba - tỉnh Phú Thọ

- Nội dung điều tra: Thông qua bài kiểm tra

Đề kiểm tra

Câu 1:Tìm số phức z thỏa mãn: và z z 25

Câu 2:Tìm các căn bậc hai của các số phức: z121 20 i và z2  1 4 3i

Câu 3: Cho z, chứng minh rằng: 1 1

2

z  hoặc z2 1 1 (*)

- Mục đích sư phạm của 3 câu trong đề kiểm tra:

Câu 1: Đây là bài toán được sử dụng kiến thức lí thuyết về số phức kết hợpvới kiến thức giải phương trình thực Qua bài này có thể kiểm tra được khảnăng vận dụng kiến thức vào bài tập cụ thể Qua đó đánh giá được năng lựcgiải toán của học sinh

Câu 2: Đây là bài toán có nhiều cách giải Qua bài toán này có thể kiểm trađược mức độ linh hoạt của học sinh trong giải toán Qua đó đánh giá đượcnăng lực giải toán của học sinh

Câu 3: Đây là bài toán chứng minh, có sử dụng kiến thức về phương phápphản chứng Qua bài toán này có thể kiểm tra được khả năng phân tích, tìmtòi lời giải và năng lực chứng minh của học sinh Qua đó đánh giá được nănglực giải toán của học sinh.

- Bảng thống kê kết quả điều tra:

+ Điểm giỏi: 2 học sinh, chiếm 6,67 %

+ Điểm trung bình trở lên: 20 học sinh, chiếm 66,66 %

+ Điểm dưới trung bình: 8 học sinh, chiếm 26,67 %

Lớp 12A4:

+ Điểm giỏi: 2 học sinh, chiếm 6,67 %

+ Điểm trung bình trở lên: 19 học sinh, chiếm 63,33 %

+ Điểm dưới trung bình: 9 học sinh, chiếm 30 %

- Kết luận sơ bộ:

+ Học sinh đạt điểm cao ít, chủ yếu là điểm trung bình và dưới trungbình

+ Khả năng trình bày bài của học sinh còn yếu, thiếu chặt chẽ, lôgic

- Kết luận chung: Năng lực giải toán của học sinh còn yếu

- Nguyên nhân:

+ Bản thân học sinh chưa được bồi dưỡng năng lực giải toán thườngxuyên nên kĩ năng giải toán cũng như khả năng vận dụng kiến thức vào bàitoán cụ thể còn yếu, chưa xác định được đường lối giải toán.

+ Khi dạy giải bài tập cho học sinh giáo viên chưa dựa vào đặc điểm vàcấu trúc năng lực giải toán của học sinh

+ Học sinh chưa hứng thú với môn toán Điều này xuất phát từ thóiquen bỏ qua bước tìm hiểu đề bài và nghiên cứu sâu lời giải Học sinh thường

đi vào giải luôn đến khi không tìm được hướng giải hoặc dừng lại khi đã giảixong, không có sự khám phá để đưa ra lời giải khác cũng như giải các bàitoán tương tự, tổng quát từ đó tâm lí học sinh trở nên chán nản, cảm thấynhàm chán và dần mất hứng thú với môn học

Kết luận chương 1

Trong chương 1, tôi đã làm sáng tỏ một số vấn đề: Lý luận về năng lựctoán học, năng lực giải toán, đặc biệt bồi dưỡng năng lực giải toán có vai tròrất quan trọng trong việc phát triển năng lực toán học cho học sinh; thực trạngcủa việc bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh trung học phổ thông

Có thể nói rằng, việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh là hếtsức cần thiết và cấp bách, tuy nhiên thực tế cho thấy: trong quá trình dạy họctoán - dạy học giải toán số phức nói riêng và dạy học toán - dạy học giải toánnói chung hiện nay ở trường phổ thông, việc bồi dưỡng năng lực giải toán chohọc sinh chưa thực sự được quan tâm, chú trọng Bản thân các giáo viên trongquá trình dạy học thường bỏ qua một vài bước rất quan trọng trong giải toán

vì vậy học sinh không nắm được quy trình để giải một bài toán nói chung nhưthế nào Vì vậy, thực tế đòi hỏi trong quá trình dạy học toán và dạy học giảitoán phải đưa ra cho học sinh một quy trình đầy đủ, chính xác để các em cóthể vận dụng để giải quyết không chỉ một mà rất nhiều bài toán khác Ngoài

ra, số phức tuy không phải là nội dung mới của toán học song nó là một vấn

đề rất mới mẻ và tương đối phức tạp với các em học sinh bậc trung học phổthông, đặc biệt là việc vận dụng quy trình giải toán của G.Pôlya để bồi dưỡngnăng lực giải toán cho các em thông qua dạy học một số dạng bài tập số phứccòn chưa được chú ý nhiều mặc dù qua việc vận dụng linh hoạt, nhuầnnhuyễn quy trình giải toán của G.Pôlya trong quá trình giải các dạng bài tập

số phức nói riêng và các bài tập toán nói chung sẽ rèn luyện, bồi dưỡng nănglực giải toán cho học sinh Mặt khác, đây lại là một vấn đề mà trong thực tếgiảng dạy hiện nay chưa được quan tâm, chú trọng bồi dưỡng cho các em

Để góp phần khắc phục tình trạng đó, trong chương 2 của khóa luận, tôi

sẽ xây dựng một số dạng bài tập về số phức vận dụng quy trình giải toán củaG.Pôlya trong quá trình giải nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán chohọc sinh

CHƯƠNG 2 VẬN DỤNG QUY TRÌNH GIẢI TOÁN CỦA G.PÔLYA ĐỂ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI MỘT SỐ DẠNG

BÀI TẬP SỐ PHỨC LỚP 122.1 Tổng quan về số phức

+) i được gọi là đơn vị ảo,

+) a được gọi là phần thực Ký hiệu Re(z)a

+) b được gọi là phần ảo của số phức z a bi , ký hiệu Im( ) z  b.Tập hợp các số phức ký hiệu là 

- Một số lưu ý:

+) Mỗi số thực a0 đều được xem như là số phức với phần ảo b0

+) Số phức z = a + bi có a0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.+) Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

* Tính chất của phép toán cộng số phức: Phép toán cộng số phức có các tínhchất tương tự phép toán cộng các số thực, với  z z z1, 2, 3 ta có:

b) Phép nhân và phép chia các số phức

* Phép nhân hai số phức:

+) Định nghĩa:

Cho hai số phức z a bi,(a b,  và ') z  a' b i' ,(a b', ' Ta)định nghĩa: zz'aa'bb' ( ab' a'b) i

+ Định nghĩa: Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số 1

Với các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức nói trên nó cũng có đầy

đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia

số thực thông thường

2.1.3 Biểu diễn hình học của số phức

Trong mặt phẳng, kí hiệu E, lấy hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxy, khi

đó mỗi điểm M của E xác định bởi tọa độ ( ; )x y của nó trong hệ tọa độ đó.

Gọi số phức z  x iy là tọa vị của điểm M, cũng viết M(z) và gọi E (với hệ

tọa độ Oxy) là mặt phẳng phức, đồng nhất M với tọa vị của nó, tức đồng nhất

Mỗi điểm M  E xác định véc tơ OM

gọi là bán kính véc tơ của M(đối với gốc O của E)

Khi đó M có tọa độ (x;y) đối với hệ tọa độ Oxy thì véc tơ OM

cũng cótọa độ (x;y) nên M có tọa vị z thì véc tơ OM

cũng có tọa vị z, viết OM z ( )

.Nếu OM

kz k  i xiy kxkiy

2.1.4 Số phức liên hợp và môđun của số phức

+) z z z và z gọi là hai số phức liên hợp với nhau Hai số phức

liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng với nhau quatrục Ox

2.1.5 Dạng lượng giác của số phức

*) Dạng lượng giác của số phức:

Cho số phức z0

Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức có tọa vị z, khi đó M được xác

định bởi độ dài đoạn thẳng OM tức z và góc định hướng (Ox, OM) tạo bởi

tia Ox (tia đầu) và tia OM (tia cuối) Số đo  của góc định hướng (đo bằng

rađian) xác định sai khác một bội nguyên của 2 ,  gọi là argument của z,

kí hiệu: arg z Vậy z0 hoàn toàn xác định bởi z và arg z2k (k ,)

tức là nếu: z, w  \ 0 thì: w w

z z

= z w (( osc  cos sin sin )  i c( os sin  cos sin )) 

= z w ( os(c   )isin(  ))

- Vậy zw  z w , arg( w)z argzargw2k ,k

*) Chia số phức dưới dạng lượng giác:

* Công thức Moa – vrơ (Moivre):

Với n nguyên dương: z c( osisin )  n z n( osnc isinn ).Công thức trên gọi là công thức Moa – vrơ Dễ thấy công thức này đúng cảkhi n nguyên âm Thật vậy:

os( ) isin( )( os isin )

kí hiệu số phức z có môđun bằng 1 dưới dạng: zcosisin e i ,  làargz

Khi đó, nếu wcos isin e i  thì: zw cos(  ) i sin(    ).

e e e

được gọi là một căn bậc hai của w

*) Ta sẽ chứng minh trong  mọi số phức đều có căn bậc hai

Cho số phức   a bi a b,( ,  , tìm số phức) z x iy, ( ,x y để)

2

z  tức là: (xiy)2  a ib  x2 y22ixy  a ib Đồng nhất hệ số tađược:

Cho zr c( osisin ) có căn bậc n là số phức w, ta viết w dưới dạnglượng giác: w( osc  isin ) , sao cho wn z, hay:

z lại lặp lại một trong n giá trị ban đầu.

Do đó, căn bậc n của một số phức có đúng n giá trị khác nhau Những

số này biểu diễn như đỉnh của n đa giác đều nằm trên đường tròn với tâm làgốc tọa độ và bán kính là n

z 2.1.8 Phương trình bậc hai

Nhờ tính được căn bậc hai của số phức, dễ thấy mọi phương trình bậc

0 1

Az Bz C Trong đó A, B, C là những số phức, (A0) đều cóhai nghiệm phức (có thể trùng nhau) Việc giải phương trình đó được tiếnhành tương tự như trong trường hợp A, B, C là những số thực Cụ thể là:

  , trong đó  là một căn bậc hai của .

- Nếu  0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: 1 2

Lời giải:

- Đặt z a bi Ta có :

z z

a b a b

2.2.2.1 Tìm căn bậc hai của một số phức

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của số phức sau: zi

Nhận xét: Ta có thể tìm được căn bậc 2 của các số có dạng : zbi

Ví dụ 2: Tìm căn bậc hai của số phức sau:  1 4 3i

x y

x y

Vậy căn bậc hai của  1 4 3i là  (3 5 ).i

2.2.2.2 Giải phương trình bậc hai của số phức

Ví dụ 1: Giải phương trình: z22z 5 0

Xét phương trình: z22z 5 0

Ta có:   ' 12 1.5  4 4i2  phương trình có hai nghiệm: