Chứng minh rằng a2 a b cũng là phân số tối giản.. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn O;R... vậy Max MA+MB+MC= 4 R khi AM là đường kính khi dó M là trung điểm của cung BC.
Trang 1ĐỀ THI GVG HUYỆN NĂM HỌC 2009 - 2010
MÔN: TOÁN
( Thời gian làm bài 120 phút )
b là phân số tối giản Chứng minh rằng a2
a b cũng là phân số tối giản b) Cho a;b;c là các số nguyên thỏa mãn: a2(b-c) + b2 (c-a) + c2(a-b) = a+b+c Chứng minh rằng a+b+c 27
( với a,b nguyên dương và khác nhau) Tìm a,b để hệ có nghiệm (x;y) với x;y là các số nguyên dương
b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 x 3 1
Câu 3.Cho các số dương a;b;c thỏa mãn a + b + c 3 Chứng minh rằng:
2 2 2
670
a b c ab bc ca
Gọi H là hình chiếu của D trên đường chéo AC và M là trung điểm của đoạn HC
Chứng minh rằng BM MD
Câu 5 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R) Điểm M thuộc cung nhỏ
BC, gọi I;K;H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên cạnh AB; AC; BC
a) Chứng minh AB AC BC
MI MK MH
b) Giả sử ABC đều , xác định vị trí của M trên cung BC để MA + MB + MC = Max (đạt giá trị lớn nhất)
Câu 6.Tìm giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của phân thức sau cũng là số
nguyên :
1 2
4 2
2 3 2
x
x x x
Trang 2
-HƯỚNG DẪN CHẤM THI GVG HUYỆN NĂM HỌC 2009 - 2010
MÔN: TOÁN
Câu 1 ( 4 điểm)
a) ( 2 đ) Vì a
blà phân số tối giản nên (a;b) = 1 Giả sử a2 và a + b cùng chia hết cho số nguyên tố d
Khi đó vì a2
d và d là số nguyên tố nên ad
Từ ad và a+b d => bd như vậy a và b cùng chia hết cho số nguyên tố d, trái với giẻ thiết (a;b)=1 vậy (a2; a+b)=1 hay a2
a b là phân số tối giản b) (2đ) a2(b-c)+ b2(c-a) + c2(a-b) = a+b+c.<=> (a-b)(b-c)(a-c)= a+b+c (1)
gọi r1, r2, r3 lần lượt là các số dư khi chia a; b; c cho 3
Trường hợp 1: Nếu các số dư khác nhau (0;1;2) thì r1+ r2+ r3 = 3 => a+b+c 3
Nhưng các hiệu a-b;b-c;a-c đều không chia hết cho 3 nên đẳng thức 1 không xẩy ra điều này trái với giả thiết
Trường hợp 2: Nếu có 2 số dư bằng nhau thì a+b+c không chia hết cho 3 nhưng tích (a-b)(b-c)(c-a) 3 điều này vô lý
Trường hợp 3: Cả 3 số dư bằng nhau
Khi đó (a-b); (b-c); (a-c) đều chia hết cho 3 => (a-b)(b-c)(a-c)3.3.3
Vậy từ (1) => a+b+c 27
Câu 2: (4điểm)
a)(2đ) ax+by=5
bx+ay=5
=> ax+by=bx+ay <=>(a-b)(x-y) = 0
vì ab => x-y =0 => x=y
Từ x=y ta có ax+by=5 <=> x(a+b)=5 vậy để phương trình có nghiệm nguyên dương thì a+b>0 và là ước của 5
Do a,b N * và ab nên ta có :
a=1 và b = 4 => x = y = 1 ; a= 2 và b = 3 => x = y = 1
a= 3 và b = 2 => x = y = 1 ; a = 4 và b = 1 => x = y = 1
b) ( 2 đ) Đặt a = x 1 ; b = x2 x 1 đ/k x 1 ; a 0 ; b >0
a2 = x + 1 ; b2 = x2-x +1 => x2+2 = a2+b2 và x3+1 = a2b2
Phương trình trở thành 2(a2+b2) = 5 ab <=> (2a – b) (a – 2b) = 0 <=> a = 2b hoặc b = 2a
Với a = 2b ta có x 1= 2 x2 x 1 <=> 4x2 -5x+3 = 0 ( vô nghiệm)
Vowia b = 2a ta có x2 x 1 = 2 x 1 <=> x2-5x – 3 = 0
x1,2 = 5 37
2
là nghiệm của phương trình
Trang 3Câu 3 ( 3 điểm) Ta có
2 2 2
2 2 2
1
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca a b c
(1)
Mặt khác từ ab+bc+ca a2+b2+c2 => ab + bc + ca
2
a b c
ab bc ca
(2)
Từ (1) và (2) ta có 2 12 2 2009 670
a b c ab bc ca dấu = xảy ra khi a = b = c = 1
A B H
N M
D C
Câu 4 ( 2,5 điểm)
Gọi N là trung điểm của DH
MN là đường trung bình của DHC =>
MN = 1
2DC và MN//CD
Mà AB = 1
2CD ; AB//CD
MN =AB và MN//AB => tứ giác ABMN là hình bình hành => AN//BM
Từ MN//AB mà AB AD => MN AD => N là trực tâm của AMD => AN
MD vì AN//BM mà AN DM => BM DM
Câu 5.(4 điểm)
a) (2đ) giả sử AC AB ta có
AB AC AI BI AK KC AI AK
Do góc C1 = góc A1 nên cotgA1= cotgC1 =>
AI CH
MI MH (2) và góc A2 = góc B1 nên cotg A2 = cotgB1 => AK BH
MK MH (3)
Từ (1), (2) ,(3) => AB AC
MI MK = AB AC BC
MI MK MH
b) (2đ)gọi D là giao điểm của MA với BC => tam giác MBD đòng dạnh tam gics MAC (gg) => MB BD
MA AC tương tự MC CD
MA AB do đó MB MC BD CD 1
MA MA AB
MA+MB+MC = 2 MA 4R vậy Max( MA+MB+MC)= 4 R khi AM là đường kính khi dó M là trung điểm của cung BC
Trang 4A
B C C
I
M
Câu 6.( 2,5 điểm) biến đổi
1 2
3 1 1
2
3 ) 1 2 ( ) 1 2 ( 1
2
4 2
x
x x
x x
x x
x x x
Z x
x
x
x
1
2
4 2
2 3 2
3 2x +1 2x+1 -3 ; -1 ; 1 ; 3 Từ đó ta có
2
K
D H
1 1