MỘT số KINH NGHIỆM rèn LUYỆN kĩ NĂNG GIẢI bài tập về PHƯƠNG TRÌNH mặt PHẲNG CHO học SINH lớp 12 ở TRƯỜNG THPT TRIỆU sơn 2

Phương trình mặt phẳng là một phầnquan trọng trong chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian ở chương trìnhtoán THPT có thể phát triển khả năng tư duy Toán học cho học sinh, được ápdụng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP

12 phần phương trình mặt phẳng nói riêng Phương trình mặt phẳng là một phầnquan trọng trong chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian ở chương trìnhtoán THPT có thể phát triển khả năng tư duy Toán học cho học sinh, được ápdụng nhiều trong các kì thi Từ những kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy chuyênmôn, phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 12, luyện thi

THPT Quốc Gía, tôi đã lựa chọn đề tài "Một số kinh nghiệm rèn luyện kĩ năng giải bài tập về phương trình mặt phẳng cho học sinh lớp 12 ở trường THPT Triệu Sơn 2" mong muốn giúp các em có kĩ năng, kiến thức vững vàng, tự tin

khi giải bài tập, là tài liệu tham khảo giúp đồng nghiệp có thêm kinh nghiệm khidạy giải bài tập, luyện thi cho học sinh phần này

- Chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm để rèn luyện kĩ năng giải bài tập vềphương trình mặt phẳng cho học sinh lớp 12 ở trường THPT Triệu Sơn 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu các câu hỏi và bài tập trắc nghiệm ngắn gọn, cócác mức độ nhận biết, thông hiểu và vận dụng phù hợp với đa số học sinh lớp 12

ở trường THPT Triệu Sơn 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm kiếm, nghiên cứu các tài liệu

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: khảo sát, thực nghiệm, thống kê, so sánh sốliệu

1.5 Những điểm mới của SKKN

* Điểm mới cơ bản

+ Các hoạt động chỉ ra trong sáng kiến đều dựa trên cấu trúc của công văn vềviệc hướng dẫn xây dựng kế hoạch giáo dục theo định hướng phát triển năng lựchọc sinh

+ Hoạt động trong dạy học được thể hiện như sau:

- Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần

tương thích với nội dung và mục đích dạy học, gợi động cơ cho các hoạt độnghọc tập.

- Giúp HS chiếm lĩnh tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp, như phương tiện

và kết quả hoạt động

- Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trinh dạy học

- Khuyến khích phát triển một số loại hình tư duy nhất định bằng cách cho HS,

mà là tổ chức những hoạt động đặc trưng cho mỗi loại hình tư duy

- Phát huy tính tự giác, tích cực, sáng tạo của người học

+ Điều kiện để phát triển năng lực người học:

- Thông qua nội dung dạy học Không có kiến thức thì không có năng lực,nhưng kiến thức cần chọn lọc và khai thác hợp lý

- Thông qua phương pháp dạy học và môi trường giáo dục Có sự giao lưu họchỏi giữa HS với HS

* Quy trình của giải pháp

Để thuận tiện cho việc tổ chức khai thác và chỉ ra các hoạt động giúp pháttriển năng lực cho học sinh trong dạy học phương trình mặt phẳng ở hình họclớp 12 cần tập trung vào một số hoạt động sau:

HĐ: Dạy học khái niệm

HĐ: Dạy học định lí

HĐ: Dạy học giải toán

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Tổ chức hoạt động trong dạy học khái niệm, định lí

2.1.1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Trong không gian Oxy, cho mặt phẳng(P) Vectơ n 0 được gọi là vectơ

pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (P) nếu giá của nó vuông góc với (P)

Chú ý: Nếu mặt phẳng (P) chứa (hoặc song song) với giá của hai vectơ

Phương trình mặt phẳng theo đoạn

n=[a;b]

   1

c

z b

y a

x

2.1.3 Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hai mặt phẳng

2 2

2 1

2 1

2 1

2 1 2 1 2 1 2

1

,

cos cos

C B A C B A

C C B B A A n

2.1.4 Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm Mx0;y0;z0 và mặt phẳng  P có phương trình AxByCz 0Khoảng cách từ điểm M đến  P được xác định bởi công thức:

 

2 2 2

0 0 0

;

C B A

D Cz By Ax P

M d

cố hoặc kiểm tra Tuy nhiên với tiến trình dạy học: Hoạt động gợi động cơ ít đượcquan tâm, hoạt động đánh giá còn đơn điệu chỉ có kiểm tra miệng đầu giờ duy trìthường xuyên và những bài kiểm tra định kì Còn kiểm tra đột xuất đánh giá từngthời điểm còn ít

- Trong tổ chức các hoạt động: Phần lớn là giao bài tập mang tính chất dành cho

cả lớp Hoạt động nhóm ít được quan tâm, nhiều thầy cô phản ánh là tốn nhiềuthời gian để triển khai và công sức chuẩn bị Hoạt động cá nhân thì không tạođược sức cạnh tranh, không chú ý đến mức kiến thức cho từng đối tượng nên bàikhó thì chỉ HS khá mới chú ý đến còn lại đều khó khăn dẫn đến không khí lớphọc không sôi nổi

2.2.2 Về phía học sinh

Dựa trên kết quả các phiếu thăm dò học sinh tôi nhận thấy:

- Phần lớn đều tập trung vào hoạt động nghe GV giảng bài, quan sát SGK, ghichép vào vở

- Trao đổi với bạn để giải quyết vấn đề nêu ra ít được quan tâm

- Tự mình hoạt động hoặc kết hợp nhóm rất bị động

- HS nắm kiến thức một cách máy móc, hình thức và hay mắc sai lầm như: trongnội dung phương trình mặt phẳng không xác định được vectơ pháp tuyến, cặpvectơ chỉ phương của mặt phẳng dẫn đến không viết được phương trình mặtphẳng

2.2.3 Về phía giáo viên

Bộ sách giáo khoa hiện hành các bài tập trên 90% là tự luận, các bài tập cũngđược thiết kế dạy và học theo kiểu truyền thống Do đó:

- GV ít chú ý đến dạy học bằng cách tạo các hoạt động dẫn đến tình huống cóvấn đề để học sinh phải dự đoán, tranh luận, tự đề xuất giải pháp

- Phần lớn giáo viên còn sử dụng phương pháp thuyết trình, không để ý đến nhu cầu,hứng thú của học sinh trong quá trình học Đặc biệt với những nội dung kiến thứcmới thường mang tính chất giới thiệu gây cảm giác áp đặt cho HS.

- Khi dạy học giáo viên chỉ chú trọng vào phương pháp giải bài tập toán theomẫu mà không nhấn mạnh, lưu ý học sinh về ý nghĩa, bản chất của phương pháptọa độ trong không gian khi dạy học phương trình mặt phẳng

HĐ: Dạy học khái niệm

HĐ: Dạy học định lí

HĐ: Dạy học giải toán

2.3.2 Tổ chức hoạt động dạy học giải toán

Bài tập phương trình mặt phẳng mang những hoạt động mà việc thực hiệncác hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu, liên hệ với những nội dung nhấtđịnh, một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung những trithức nào đó được trình bày trong phần lí thuyết Câu hỏi và bài tập để người họckiến tạo những tri thức nhất định trên cơ sở thực hiện những mục tiêu dạy học.Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau:Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cốhoặc kiểm tra Các bài toán phương trình mp được phân thành những dạng sau:

2.3.2.1 Dạng 1: Xác định điểm thuộc hoặc không thuộc mặt phẳng

Câu 1 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P x:  2y  3 0 Điểm nào sau

đây không thuộc mặt phẳng  P ?

Phương pháp giải nhanh:

+ Phương trình  P có hệ số của z bằng 0 vì vậy ta chỉ cần quan tâm đến

hoành độ và tung độ của điểm.

Những điểm thuộc mặt phẳng Oxycó cao độ bằng 0

Do vậy có 4 điểm thuộc mặt phẳng Oxylà O A D G, , ,

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 3 Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng   :x y z   6 0  Điểm nào dướiđây không thuộc  ?

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M và có một VTPT

A B C

n ; ; có dạng: (A x- x0)+B y( - y0)+C z( - z0) = 0.

Chú ý: Khi biêt các giao điểm của mặt phẳng với các trục tọa độ thì cách viết

PTMP đơn giản nhất là sử dụng phương trình mặt phẳng ở dạng đoạn chắn

; 0 0

;

; 0 0

; 0

Oz c C

Oy b B

Ox a

C

.

* Phương pháp 2:

Bước 1: Gọi phương trình mặt phẳng là Ax +By+Cz+ =D 0.

Bước 2: Dựa vào dữ kiện bài toán, thiết lập hệ gồm 3 pt 4 ẩn A B C D, , ,

Bước 3: Giải hệ phương trình tìm A B C D, , , Từ đó có được PTMP

Bài toán 1 Xác định phương trình mặt phẳng khi biết một điểm đi qua và một VTPT

Đây là bài toán cơ bản của dạng toán xác định của PTMP Trong bài toán này,phương pháp sử dụng thường là phương pháp 1, trong đó xác định VTPT củamặt phẳng là rất quan trọng Dưới đây là cách xác định VTPT của mặt phẳng (P)trong một số trường hợp thường gặp

A và vuông góc với trục Ox là

A y- 5 = 0 B x- 2 = 0 C y- z= 0 D z- = 1 0

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với trục Oxnhận i 1 ; 0 ; 0  làm VTPT là: 1x 2 0y 5 0z 1 0  x 2  0 Đáp án B.

Phương pháp giải nhanh:

Phương trình mặt phẳng vuông góc với trục Oxcó dạng x x- 0 = 0, ở đó x0 là

hoành độ điểm đi qua Chọn B.

Các trường hợp đặc biệt:  P là mặt phẳng qua điểm A x y z 0 ; ; 0 0

Nếu  P Ox thì phương trình của  P là x x 0  0

Nếu  P Oy thì phương trình của  P là y y 0  0

Nếu  P Oz thì phương trình của  P là z z 0  0

Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho A3;2;0 và véc tơ n    1; 2;1 Phương trìnhnào dưới đây là phương trình mặt phẳng qua điểm A và nhận n    1;2;1làm VTPT?

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho M  7;3;5 và mặt phẳng

 Q :7x 4y z   1 0 Gọi  P là mặt phẳng qua điểm M và song song với mặt phẳng  Q Phương trình của  P là

Phương pháp giải nhanh:

   P // Q nên phương trình mặt phẳng  P có dạng 7x 4y z D   0D 1  Loại C, D

Thử M với hai đáp án còn lại:

Phương phán giải nhanh:

  P // Oxz nên phương trình mặt phẳng  P có dạng y y 0  0 trong đó y0 làtung độ điểm đi qua  Chọn C

Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1;1;0 , B  1;2;1 Phương trìnhnào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB?

Bài toán 2 Xác định phương trình mặt phẳng khi biết một điểm đi qua và cặp VTCP

Đây là bài toán co bản của dạng toán xác định phương trình của mặt phẳng Trong bài toán này, phương pháp xác định VTPT của mặt phẳng dựa vào tính chất tích có hướng của hai véc tơ Cụ thể:

Nếu mặt phẳng  P chứa hoặc song song với giá của hai véc tơ u u  1 , 2

không cùng phương thì véc tơ nu u1 , 2 

của  P

Mô tả

A P

u 1

u 2

P M

có thể được thay thế bởi

quan hệ “ song song ”

của  P đối với d

Q P

có thể được thay thế bởi

quan hệ “ song song ”

của  P đối vơi d ,d 1 2

BÀI TẬP MẪU Câu 11: Trong không gian Oxyz, gọi  P là mặt phẳng đi qua ba điểm

Ta có              AB3;3; 3 ,                AC  3; 2; 2  

Từ đó tính được  AB AC,   0;15;15

Chọn véc tơ n  0;1;1 là VTPT của P Phương trình mặt phẳng  P là:

Vận dụng Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,với giá trị nào của m n, thì hai mặt phẳng  P : 2x my  3z 5 0,   Q : nx 6y 6z 2 0  song song?

A.m4;n 3 B m1;n3 C m4;n2 D m3;n4

Bài toán 3 Xác định phương trình mặt phẳng sử dụng phương trình dạng đoạn chắn

BÀI TẬP MẪU Câu 14: Trong không gian Oxyz, cho   là mặt phẳng cắt các trục Ox Oy Oz , ,

theo thự tự tại A 2;0;0 , B0;3;0 , C0;0; 1   Điểm nào trong các điểm sau

M cắt trục tọa độ Ox Oy Oz, , lần lượt tại A, B, C thỏa mãn M là trọng tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng  P là

A 6x 3y 2z  6 0 B  6x 3y 2z 18 0 

C 6x 3y 2z 0 D 6x 3y 2z 18 0 

Lời giải

Giả sử tọa độ các giao điểm là: A a ; 0; 0 , B0; ; 0 ,b  C0; 0; c

M là trọng tâm tam giác ABC nên ; ;

3 3 3

a b c

  Suy ra a3,b6,c9.Phương trình dạng đooạn chắn của mặt phẳng  P là:

cắt trục tọa độ Ox Oy Oz, , lần lượt tại A, B, C thỏa mãn M là trực tâm tam giác

Từ đó suy ra OM  4; 3; 2

là một VTPT của mặt phẳng  P .

Do vậy  P qua M4; 3; 2 và nhận OM  4; 3; 2

là một VTPT, phương trình mặt phẳng  P là:

4x 4 3 y 32z 2  0 4x3y2z 29 0 Đáp án B

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 17: Trong không gian Oxyz, cho điểm A1; 1; 0   ,B 3; 4; 1  Phương trìnhmặt phẳng  P vuông góc với đường thẳng AB tại A là

Câu 20: Trong không gian Oxyz, cho điểm M 1; 3; 5 và mặt phẳng

 Q x:  4y z  0 Gọi  P là mặt phẳng qua điểm M và song song với mặt

phẳng  Q Phương trình mặt phẳng  P là

A x4y z  18 0 B x 4y z   6 0

C x 3y 5z 18 0  D  x 4y z  4 0 

Câu 21: Trong không gian Oxyz, cho điểm A  1; 3; 3 , B 1; 1; 1     Phương

trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB ?

Câu 23: Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặtphẳng đi qua điểm D1; 1; 3 và vuông góc với hai mặt phẳng

  :x  1 0,  : y z 2 0    ?

A y z   2 0 B 3y 3z 8 0 

C y z  4 0  D 3x 6y 9z 10 0 

Câu 24: Trong không gian Oxyz, cho điểm M  1; 2; 3 Gọi M M M1, 2, 3 lần

lượt là điểm đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy , Oxz , Oyz Phương trình mặt phẳng M M M1 2 3 là

nên phương trình  P : 2x 1 5y 1z  0 2x 5y z   3 0 Chọn A.

Câu 18: Đường thẳng d có VTCP là u   d  1; 1; 2.

Vì mặt phẳng vuông góc với d nên u   d  1; 1; 2

cũng là một VTPT của mặt phẳng đó Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d là  1x 1  y 2  2(z 3) 0   x y  2z  5 0 Chọn C

Phương pháp giải nhanh:

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

2.4.1 Ưu điểm chung

- Hệ thống kiến thức bằng sơ đồ, bảng tóm tắt thật đơn giản, dễ hiểu, dễ nhớ

- Các câu hỏi và bài tập trắc nghiệm ngắn gọn, có các mức độ nhận biết, thông hiểu

và vận dụng phù hợp với đa số học sinh lớp 12 ở trường THPT Triệu Sơn 2

- Có cách giải nhanh, học sinh có thể sử dụng được máy tính cầm tay để giảiquyết bài toán

2.4.2 Về phía học sinh

Sau khi tiến hành dạy thực nghiệm nhận thấy:

- Đa số HS đều tham gia vào các hoạt động do SK đề xuất, một số rất hứng thú

và tích cực tìm hiểu, phát hiện kiến thức

- Song bên cạnh đó vẫn còn một số HS kiến thức chưa tốt nên kết quả hoạt độngnhóm chưa cao, một số còn bị động

- Việc sử dụng hợp lí các phương pháp, đã lôi cuốn được sự chú ý, tìm tòi của

quen với việc học hình học bằng phương pháp tọa độ trong không gian Điều đócàng khích lệ HS phấn khởi, tự tin, chủ động tích cực học tập Sau đợt thửnghiệm, HS thấy yêu thích môn Toán hơn.

- Các hoạt động đều hướng đến đối tượng là HS, muốn hiểu rõ kiến thức thì HSphải tham gia tích cực

Để đánh giá tác dụng của sáng kiến tôi đã tiến hành kiểm tra, thực hiện kiểm tranhanh 15 phút sau khi tiết dạy kết thúc, so sánh kết quả giữa các lớp thựcnghiệm và các lớp đối chứng Dùng phương pháp kiểm nghiệm giả thuyết Cụthể như sau:

Kết quả bài kiểm tra:

Lớp Sĩ

số

Điểm < 5 5  < 6,5 6,5  < 8 8  10

Từ bảng số liệu trên cho ta thấy:

- Tỉ lệ điểm, dưới 5 của lớp thực nghiệm (12C3: 10,3%) thấp hơn so với lớp đốichứng (12C4: 22%)

- Tỉ lệ điểm từ 5 đến 6,5 lớp thực nghiệm là (30,8%) thấp hơn so với lớp đốichứng (51,2%)

- Tỉ lệ điểm từ 6,5 đến 8 lớp thực nghiệm là (41%) cao hơn so với lớp đối chứng(26,8%)

- Tỉ kệ điểm từ 8 đến 10 lớp thực nghiệm (17,9%) cao hơn so với lớp đối chứng(0%)

Kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy: Các hoạt động đưa ra trong sáng kiến

có tính khả thi và hiệu quả, học sinh rất có hứng thú và tích cực tham gia xâydựng bài Sau các hoạt động học kiến thức, kĩ năng giải toán dạng này của HS

đã tốt hơn Nội dung sáng kiến có tác dụng góp phần đổi mới phương pháp dạyhọc môn Toán ở trường THPT

Qua thực nghiệm, điều tra đa số các em đã rèn luyện được kĩ năng giải cácbài tập phương trình mặt phẳng trong không gian Các em cũng tự tin khi thựchành làm đề trên lớp và ở nhà Tất cả điều đó góp phần chuẩn bị tốt cả về kiếnthức, kĩ năng, tâm lí cho học sinh chuẩn bị bước vào kì thi THPT Quốc gia vớikết quả cao nhất

2.4.3 Về phía giáo viên

- Dạy thử nghiệm được tiến hành vào giữa học kì II năm học 2018 - 2019

- Các tiết dạy thử nghiệm được tiến hành sau khi đã thống nhất mục tiêu, yêucầu, nội dung dạy thử nghiệm

- Ở lớp đối chứng, giảng dạy như các giờ bình thường khác

+ Giáo án thực nghiệm [phụ lục ].