PHẦN III : CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO pptx

PHẦN III : CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO

*Dùng định nghĩa

1) Cho abc = 1 và a3  36 Chứng minh rằng 

3

2

a

b2+c2> ab+bc+ac

Giải: Ta xét hiệu: 

3

2

a

b2+c2- ab- bc – ac = 

4

2

a

 12

2

a

b2+c2- ab- bc –

ac

= ( 

4

2

a

b2+c2- ab– ac+ 2bc) + 

12

2

a

3bc =(

2

a

-b- c)2 +

a

abc a

12

36

3



=(

2

a

-b- c)2 +

a

abc a

12

36

3 

>0 (vì abc=1 và a3 > 36 nên a >0 )

Vậy : 

3

2

a

b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh

2) Chứng minh rằng

a) x4 y4 z2  1  2x.(xy2 xz 1 )

b) với mọi số thực a , b, c ta có

a2  5b2  4ab 2a 6b 3  0

c) a2 2b2 2ab 2a 4b 2  0

Giải:

a) Xét hiệu:x  y z  1  2x y  2x  2xz 2x =

 2 22  2  2

1









H0 ta có điều phải chứng minh

b) Vế trái có thể viết H = a 2b 12 b 12  1  H > 0 ta có đpcm

c) vế trái có thể viết H =  2  2

1



a  H  0 ta có điều phải chứng minh

* Dùng biến đổi tương đương

1) Cho x > y và xy =1 Chứng minh rằng

 

2 2 2







y x

y x

Giải: Ta có x2y2 xy2  2xyxy2 2 (vì xy = 1)

 x2 y22 xy4 4 xy2  4

Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với

8 4

y

 xy4 4xy2  4  0   x  y2 22  0

BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh

2) Cho xy  1 Chứng minh rằng

xy y

x    

2 1

1 1

1

2 2

Giải:

Ta có

xy y

x    

2 1

1 1

1

2

1

1 1

1 1

1 1

1

2 2





































1 .1  1 2.1  0

2 2

2

















xy y

y xy xy

x

x xy



) ( 1

1

) (

2















xy y

y x y xy

x

x y x

    

1  1 .1  0

1

2 2

2













xy y

x

xy x y

BĐT cuối này đúng do xy > 1 Vậy ta có đpcm

* Dùng bất đẳng thức phụ

1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1 Chứng minh rằng

3

1

2

2

2 b c 

a

Giải: áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)

Ta có  2    2 2 2

1 1 1

1 1

.

c

b



3

1

2 2 2





a (vì a+b+c =1 ) (đpcm)

2) Cho a,b,c là các số dương Chứng minh rằng

 . 1 1 1  9



















c b a

c

b

a

c a

c c

b a

b c

a b

a



9















































b

c c

b a

c c

a a

b

b

a

áp dụng BĐT phụ   2

x

y y

x

Với x,y > 0 Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng

Vậy  . 1 1 1  9



















c b a c b

* Dùng phương pháp bắc cầu

1) Cho 0 < a, b,c <1 Chứng minh rằng :2a3 2b3 2c3  3 a2bb2cc2a

Giải: Do a <1  2

a <1 và b <1

Nên 1 a2 1 b2 0  1 a2ba2b 0

Hay 1 a2ba2b (1)

Mặt khác 0 <a,b <1  a 2 a3 ; b  b3  1 a2 a3b3

Vậy a3 b3  1 a2b

Tương tự ta có

b3 c3   1 b c a2 ; 3 c3   1 c a2

 2a  2b  2c  3 a bb cc a (đpcm)

2) So sánh 3111 và 1714

Giải: Ta thấy 11

31 < 11  5 11 55 56

Mặt khác 56 4.14  4 14 14 14

2  2  2  16  17 Vậy 3111 < 1714 (đpcm)

* Dùng tính chất tỉ số

1) Cho a ,b ,c ,d > 0 Cminh

Giải: Vì a ,b ,c ,d > 0 nên ta có

a b a b a b d

b c b c b c a

d a d a d a c

Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có :

2 a b b c c d d a 3

2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác

Chứng minh rằng :1 a b c 2

Giải: Vì a ,b ,c là số đo ba cạnh của tam giác nên ta có a,b,c > 0

Và a < b +c ; b <a+c ; c < a+b

Từ (1) a a a 2a



Mặt khác a a

b c  a b c 

a b c  b c  a b c  Tương tự ta có

2

a b c   a c  a b c 

2

a b c  b a a b c 

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có :

1 a b c 2

   (đpcm)

* Phương pháp làm trội :

1) Chứng minh BĐT sau :

a) 1 1 1 1

1.33.5 (2n 1).(2n 1) 2

b) 1 1 1 1 2

Giải:

a) Ta có :

2 1 (2 1)

.

Cho n chạy từ 1 đến k Sau đó cộng lại ta có

1 1 1 1 1 2 1

1.3 3.5 (2n 1).(2n 1) 2 2n 1 2

b) Ta có:

1.2 1.2.3 1.2.3 n 1.2 1.2.3 n 1 n



< 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2

          

