Xây dựng và sử dụng hệ thống câu hỏi nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh trong dạy học phần III sinh học vi sinh vật, chương III virut và bệnh truyền nhiễm sinh học 10 nâng cao 2006

Giải tích số là một lĩnh vực toán học rất rộng, nó nghiên cứu lý thuyết xấp xỉ hàm, giải gần đúng một lớp các bài toán, các phương trình thường gặp…Đặc biệt giải tích số chuyên nghiên cứ

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K

1

Trường Đại học sư phạm hà Nội 2

Khoa: Sinh - KTNN -*** -

Lò Thị Bích Yến

Xây dựng và sử dụng hệ thống câu hỏi nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh trong dạy học phần III: sinh học vi sinh vật, chương III: Virut và bệnh truyền nhiễm sinh học 10 -

nâng cao 2006

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành: Phương pháp giảng dạy

Người hướng dẫn khoa học

Thạc Sĩ Trần Thị Hường

Hà Nội – 2007

em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tạo mọi điều kiện cho em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này

Hà Nội, tháng 05 năm 2007

Sinh viên

Tạ Anh Hoài

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K

3

Mục lục

Trang

Phần 1:Mở đầu 1

Phần 2: Nội dung 3

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 3

Đ1: Số gần đúng và sai 3

Đ2: Sai số tương đối và sai số tuyệt đối 7

Đ3: Cách viết số xấp xỉ 8

Đ4: Sai số quy tròn 8

Đ5: Xấp xỉ ban đầu 9

Đ6: Ma trận nghịch đảo 12

Đ7: Phương trình phi tuyến tính 15

Bài tập chương 1 20

Chương 2:Tính gần đúng nghiệm của hệ pt phi tuyến tính 21

Đ1: Phương pháp lặp đơn 21

Đ2: Phương pháp Seidel 26

Đ3: Phương pháp lặp Newton-Raphson 32

Chương 3: Bài tập vận dụng 37

Phần 3: Kết luận 50

Tài liệu tham khảo 51

Giải tích số là một lĩnh vực toán học rất rộng, nó nghiên cứu lý thuyết xấp xỉ hàm, giải gần đúng một lớp các bài toán, các phương trình thường gặp…Đặc biệt giải tích số chuyên nghiên cứu các phương pháp số giải gần đúng các bài toán thực tế được mô hình hoá bằng ngôn ngữ toán học

Để có lời giải gần đúng cho bất kỳ bài toán nào cũng đòi hỏi phải có các

dữ kiện của bài toán và sau đó là xây dựng mô hình bài toán, tiếp theo là công việc tìm thuật toán hữu hiệu nhất và cuối cùng viết chương trình để máy tính tính toán cho ta kết quả gần đúng Khi giải bài toán thực tế ta đều phải làm việc trực tiếp hoặc gián tiếp với các số liệu ban đầu Chính vì vậy không tránh khỏi các sai số, tuy rất nhỏ nhưng ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả tính toán

Vì vậy cần phải sử dụng các thuật toán hữu hiệu để giảm thiểu sự sai số đồng thời tiện lợi cho việc lập trình tiết kiệm số lượng các phép tính, thời gian tính toán Vấn đề tìm gần đúng nghiệm của hệ phương trình phi tuyến có ý nghĩa

lý thuyết và ứng dụng rất lớn, là cơ sở của môn giải tích số

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K

5

Với niềm yêu thích bộ môn " Giải tích số" em đã lựa chọn đề tài cho

khoá luận tốt nghiệp của em là "Một số phương pháp giải gần đúng hệ phương trình phi tuyến"

Khoá luận được chia làm 3 phần:

Phần 1: Mở đầu

Phần 2: Nội dung

Phần 3: Kết luận

Phần nội dung gồm 3 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình phi tuyến tính Chương 3: Bài tập vận dụng

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K

6

Phần 2 :

Nội dung Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Đ1: Số gần đúng và sai số

1 Số gần đúng :

Ta nói rằng a là số gần đúng của số a* nếu như a không sai khác a*nhiều, hiệu số =a*-a gọi là sai số thực sự của a, nếu  > 0 thì a là giá trị gần đúng thiếu, còn nếu  <0 thì a là giá trị gần đúng thừa của a* Vì rằng a* nói chung không biết nên cũng không biết , tuy nhiên có thể thấy tồn tại a  0, thoả mãn điều kiện:

10

10

a          

Chữ số j ở (1.1.2) của số a là chữ số chắc nếu:

.10 ,i a

    là tham số cho trước

Tham số  sẽ được chọn để sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi làm tròn vẫn là chữ số chắc thì ai+1 cũng là chữ số chắc

) 10

10

10

* '

1

*

* 2

* 1 2

1

*

)

, , , ( ) , , ,

n

i n n

lớn, phép tính sẽ kém chính xác Ta khắc phục bằng cách tránh công thức đưa đến hiệu của hai số gần nhau

b) Sai số của phép toán nhân, chia:

1

n i i

q p

p i i

x y

 ,kN *(phép khai căn) thì độ chính xác tăng lên

d) Sai số của phép tính Logarit:

Xét y = lnx, ta có y  x

5 Bài toán ngược của sai số:

Giả sử đại lượng y được tính theo công thức:

Đ2 : Sai số tương đối và sai số tuyệt đối

1 Sai số tuyệt đối:

Trong tính toán, thường ta không biết số đúng A mà chỉ biết số gần đúng của nó là a Lúc đó ta nói "a xấp xỉ A" và viết "a A" Độ lệch h=A - a được gọi là sai số thực sự của A

Vì không biết A nên ta cũng không biết h Tuy nhiên ta có thể tìm được

số dương a h sao cho a a  Aa a

Số a bé nhất mà ta có thể xác định được gọi là sai số tuyệt đối của a Nếu số xấp xỉ của A có sai số tuyệt đối là a, ta viết:

Aa a (1.2.1) Với nghĩa a - a  A  a  a (1.2.2)

2 Sai số tương đối

Tỷ số

a

a a





 (1.2.3) gọi là sai số tương đối của a

Ta suy ra a  a a (1.2.4) Do đó (1.2.1) có thể viết thành:Aa( 1  a) Công thức (1.2.3) và (1.2.4) cho ta liên hệ giữa sai số tuyệt đối và sai số tương đối

2 Chữ số đáng tin:

s

a    10 (1.3.1) Trong đó s là những số nguyên từ 0 đến 9 Chẳng hạn số 28,134 viết là: 28,134 = 2.101 + 8.100 +1.10-1 + 3.10-2 + 4.10-3

Cho a là giá trị xấp xỉ của A với giá trị tuyệt đối a

Cách thứ nhất là viết kèm sai số như công thức (1.2.1)

Cách thứ hai là viết theo quy ước mọi chữ số có nghĩa đáng tin

Một số viết theo cách thứ 2 có nghĩa là nó có sai số tuyệt đối không lớn hơn một nửa đơn vị hàng cuối cùng

Đ4 : Sai số quy tròn

1 Hiện tượng quy tròn và sai số quy tròn:

Trong tính toán, khi gặp một số có quá nhiều chữ số đáng nghi, người ta thường bỏ đi một vài chữ số cuối cho gọn Việc làm đó gọi là quy tròn số

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K

12

Việc quy tròn số sẽ tạo ra sai số mới gọi là sai số quy tròn bằng hiệu số giữa số quy tròn và số chưa quy tròn Trị tuyệt đối của hiệu này được gọi là sai số quy tròn tuyệt đối

Quy tắc quy tròn phải chọn sao cho sai số quy tròn tuyệt đối càng bé càng tốt Ta chọn quy tắc sau đây : quy tròn sao cho sai số quy tròn tuyệt đối không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng được giữ lại cuối cùng, tức là 5 đơn vị

ở hàng bỏ đi đầu tiên Cụ thể là nếu chữ số bỏ đi đầu tiên lớn hơn hoặc bằng 5 thì thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng một đơn vị, còn nếu chữ số đầu tiên nhỏ hơn 5 thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng

Thông thường quá trình tìm nghiệm r của phương trình f(x) = 0 (1.5.1)

ở đây f(x) là một hàm thực một biến x, được chia làm hai phần Một là, phần xấp xỉ ban đầu của nghiệm (thường được gọi là nghiệm xấp xỉ) Hai là, tinh chế nghiệm xấp xỉ đó để có được một nghiệm xấp xỉ mới có độ chính xác mong muốn

Việc tìm xấp xỉ ban đầu x0 là nghiệm r của phương trình (1.5.1) thường

là do sự đoán dựa trên những thông tin về hàm f có được, hoặc là bằng cách

Bây giờ ta xét một số thuật toán tìm xấp xỉ ban đầu cho nghiệm thực của phương trình đại số có dạng:

f(x) = Pn(x) = a0.xn + a1.xn-1 + …+an-1.x + an = 0 (1.5.2)

với các hệ số thực ai , i =0,1,2…,n Phương trình đại số (1.5.2) nói chung, có thể có các nghiệm thực khác nhau hoặc nghiệm thực kép Nếu ta kí hiệu nghiệm của (1.5.2) là các số r1,r2, ,r n thì Pn(x) có thể viết dưới dạng:

i r r r a

2 1 0

1

r

r r

r r a

1

4 3 1 1

3 2

2

3 2

1 0

r r

r r

r r

r r r

r

r

r r

r

r

r r

r a

1 r a

0 3 2 1

1 r a 

1 2

2 r a 

0

2 3

a

a

r ; Nguyên lý Đecart:

Nếu trong phương trình (1.5.2) hai hệ số cạnh nhau khác dấu ta nói rằng

có sự đổi dấu, nếu hai hệ số cạnh nhau cùng dấu, ta nói rằng có sự giữ nguyên dấu

Lưu ý rằng ở đây ta chỉ nói đến các hệ số khác 0

Phương trình (1.5.2) được gọi là đầy đủ nếu nó không có hệ số a nào bằng 0

Nguyên lý Đecart được phát biểu như sau:

Số nghiệm dương của phương trình (1.5.2) bằng hoặc kém hơn một số chẵn số lần đổi dấu trong dãy hệ số của phương trình đó, những hệ số là số 0 không tính đến

Số nghiệm âm của phương trình (1.5.2) bằng hoặc kém hơn một số chẵn

số lần đổi dấu trong hệ số của phương trình f(-x) = 0

Nếu phương trình là đầy đủ, thì số nghiệm âm bằng số lần giữ nguyên dấu trong hệ số của phương trình hoặc kém hơn nó một số chẵn

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K

15

i- tìm nghiệm có môđun lớn hoặc bé nhất của phương trình đại số (1.5.2) Nghiệm đơn của (1.5.2) với a0=1, có môđun lớn nhất cũng có thể được xấp xỉ từ phương trình:

0

ii- lược đồ Horner

Lược đồ Horner dùng để chia một đa thức

a x

a n n   n  n   n  n   n 





1 2

1 1 0 0 1

1 1

Ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A cấp n là một ma trận, kí hiệu

A-1 thoả mãn điều kiện

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K

16

A.A-1 = A-1.A = I

Ma trận A có ma trận nghịch đảo A-1 khi và chỉ khi det A 0 và khi đó ta

có thể tìm A-1 bằng cách tính giá trị các phần bù đại số A ij, i, j = 1,2…n sau

A A

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K

17

















































n n n

n

C C

C C

A

2 , 2

n n, 1

,

2,2n 2

n 2, 1

, 2

1,2n 2

n 1, 1

n , 1

1

C

C

C

C

C

Để tìm các thành phần C ij ta áp dụng công thức vào ma trận [A, I] sao cho ma trận A trở thành ma trận đơn vị Muốn vậy, ở bước l=1,2, ,n-1 ta phải chia các thành phần của hàng thứ l cho (l 1 ) ll a và dùng phép biến đổi sơ cấp đối với hàng như thế nào để cho tất cả các thành phần ở cột thứ l bằng 0 trừ all(l-1) Cũng lưu ý rằng mỗi lần chia cho all(l-1) như vậy bắt buộc phải kiểm tra all(l-1) .q có khác không hay không? Cụ thể, sau khi chia hàng thứ nhất của (1.6.1) cho a11, tức là ta có ( )

11 ij i ij a a a  Tiếp theo, nhân hàng đầu của ma trận trên với -a21, sau đó cộng vào hàng thứ hai theo từng thành phần một ta được:                       1

0

0

a

a

0

1

a

a

a 0

0

a 1

a 1 I

n2 n1

(1) 1 n 2, )

1 ( 2 (1)

22 21

11 1

11 12

nn

n n

a

a

a a

A

11

1 2 2 ) 1 ( 2

a

a a a

a j  j  i j j =2,3,… , n+1

Cách làm này được áp dụng vào hàng 3,4,…cho đến hàng cuối cùng là hàng thứ n để cho a31, a41,…, an1 trở thành số 0

Vì vậy, với mỗi hàng i:

11

1 1 )

1

a

a a a

a ij  ij  i j , i= 2,3, …., n+1

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K

18

Bây giờ giả thiết là ta đã đưa được ma trận về dạng

(l-1) ( 1) (l-1) 1l 1 1,n 1 (l-1) ( 1) (l-1) 2l 2 2,n 1

1 0 a a 0

0 1 a a 0

l n l n

a a

Hai bước cơ bản cần được tiến hành đối với ma trận này là:

1.Với mỗi hàng thứ l, chia tất cả (l 1 )

) 1 ( ) 1 ( ) 1 (

ij l

ij

a

a a a

Và vấn đề tìm A-1 trở thành tìm :

) 1 (

) 1 ( )

. lj l

l il l ij l

ll

a bằng Q để dễ dàng với mỗi l cố định các thành phần ở hàng thứ l có thể chia cho (l 1 )

Đ7 : Phương trình phi tuyến tính Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến

1 Phương pháp chia đôi:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0



n n

n

a b a

dãy a n đơn điệu tăng, bị chặn trên bởi b còn dãy b n đơn điệu giảm và bị

2

) (

Vì f(a).f(b) 0, cho n  ta có f(r)2  0 suy ra f(r) = 0 Tức là r là nghiệm của phương trình (2.1) Do đó, nghiệm xấp xỉ xn có thể được lấy theo công thức:

2

n n n

b a

Ngoài ra, ta còn có đánh giá

n n n n

n n

a b a b r b a r r x

2 2

ln ) ln(

eger N

2 Phương pháp dây cung

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K

20

Phương pháp chia đôi là lấy điểm giữa của khoảng trước làm điểm mới của quá trình lặp Phương pháp dây cung, về nguyên tắc không khác gì nguyên tắc chia đôi Chỉ có điều là điểm tiếp theo của phương pháp dây cung không phải là điểm giữa mà là giao điểm của hai đoạn thẳng nối hai điểm (a,f(a)) và (b,f(b)) với trục hoành Dễ dàng kiểm tra điểm c được tính theo công thức:

) ( ) (

) ).(

(

a f b f

a b b f b c

) ( ) (

) )(

(

a f b f

a b b f b

3 Phương pháp lặp đơn

Giả sử ta có thể đưa phương trình (1.5.1) về dạng:

x (x) (1.7.2)

) 1 (

r

x n     

4 Phương pháp lặp Newton - Raphson

Xấp xỉ ban đầu của nghiệm có thể làm việc tốt lên nhờ phương pháp lặp:

) ( '

) (

1

n

n n

n

x f

x f x

Công thức này cho phép ta tính được giá trị xấp xỉ mới xn+1 khi đã biết giá trị xấp xỉ xn Để giảm việc tính toán ta có thể dùng phương pháp lặp

Newton cải tiến bằng cách thay f'(xn) trong (1.7.4) bằng f'(x0)

Để nghiên cứu khả năng hội tụ của phương pháp, ta khai triển f(x) theo chuỗi TayLor:

) (

"

)

1

n

n n

x f

f r x r

) (

"

2

x f

f E

) (

"

M x

Với M1 là một số bất kỳ thì phương pháp lặp Newton - Raphson hội tụ

Có thể sử dụng phương pháp này để tìm ma trận nghịch đảo của một ma trận không suy biến A Ta biết rằng nghịch đảo của một số a là một số x sao

cho a.x=1 Tức là x phải thoả mãn phương trình ( )  1 0

x

a x

) (

1

n

n n

n

x f

x f x

x    

Và nó được gọi là phương pháp lặp Newton - Raphson suy rộng Nếu x0

chọn gần với nghiệm r của (1.5.1) với bậc (   1 ) và của f"(x) = 0 với bậc là

) (

0

0 0

x f

x f

) ( ''

) ( ' ) 1 (

0

0 0

x f

x f

x    ;

) 0 ) 3 ( 0 0

(

) (

"

).

2 (

x f

x f

x    ;

có cùng giá trị

Vì vậy nhiều khi ta có thể dùng giá trị này để tính các giá trị tiếp theo

5 Phương pháp tiếp tuyến:

Nếu trong vòng thực lặp Newton - Raphson ta thay f'(xn) bằng biểu thức xấp xỉ

1

1 ) ( ) (

n n

x x

x f x f

, n =1,2,3…

Trong thuật toán này giá trị xấp xỉ mới xn+1 được xác định nhờ vào 2 giá trị trước xn-1 và xn Phương pháp này về mặt công thức giống như phương pháp dây cung nhưng khác ở chỗ x0 và x1 chọn bất kỳ nghiệm gần r, không nhất thiết phải nằm ở hai phía của nghiệm như phương pháp dây cung đòi hỏi

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K

24

b) x3 + 3x2 -3 = 0 với độ chính các 10-3, biết khoảng cách ly nghiệm là (-3;-2)

Bài 2: Dùng phương pháp lặp, tìm nghiệm gần đúng của phương trình

a) 5x3 - 20x +3 = 0, Với độ chính xác 10-4 biết khoảng cách ly nghiệm là

Cho hệ phương trình phi tuyến

g x g

2 2 1

g x

g

………

2 1

x x

g x

) 1 ( 2

) 1 ( 1 ) 1 (

k n

k k

k

x

x x

2 Cách giải hệ phương trình phi tuyến hai ẩn

Cho hệ phương trình phi tuyến:

g g

g

2 1

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K

26

0 ) , (

0 ) , (

2 1 2

2 1 1





x x f

x x f

(2.1.4)

ở đây f1, f2 là các đạo hàm riêng của chúng cho đến bậc hai được giả thiết

là liên tục và giới nội

Trước tiên, ta đưa hệ (2.1.4) về dạng

) , (

) , (

2 1 2 2

2 1 1 1

x x g x

x x g x

g

2 2 1

) 1 ( 1 ) 1

(

k

k k

3 5

0 6

11 2

2 2 2 1

2 2

1 1

x x

x x x

có một nghiệm r = ( 0,25; 0,25)

3 12 5 (-x ) , (

g

2

) 6

11 (x

) , (

g

2 2 2 2 1 2

1 2

2

2 2 1 2 1 1

x x

x x

( g

; 6

x g

0,5 -

g

;

2 2

2 1

1

2

2

1 1

2 2 1

2

2 1 1

g

x

g x

5 x

-2

6

11 x

) ( 2 2

) ( 2 2 (k) 1 )

1 ( 2

) ( 2 2 (k) 1 ) 1 ( 1

k

k k

x x

x

x x

Với x(0) = (0,4;0,4) ta có các kết quả sau:

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K

28

756 0,25245216

34 0,24787503

19

440 0,25297001

34 0,24787503

18

285 0,25359558

34 0,24787503

17

655 0,31052970

25 0,19894427

3

375 0,32692109

13 0,19315703

2

000 0,35125000

00 0,22375000

1

x x

1(k) (k)2

k

3 Cách giải hệ phương trình phi tuyến tính 3 ẩn

Cho hệ phương trình phi tuyến:

0 ) , , (

0 ) , , (

0 ) , , (

3 2 1 3

3 2 1 2

3 2 1 1







x x x f

x x x f

x x x f

(2.1.4)

Trước tiên ta đưa hệ về dạng:

) , , (

) , , (

) , , (

3 2 1 3 3

3 2 1 2 2

3 2 1 1 1

x x x g x

x x x g x

x x x g x

3 3 2

3 1

3

3 2 2

2 1

2

3 1 2

1 1

g x

g

x

g x

g x

g

x

g x

g x g

Tại lân cận của nghiệm r = (r1,r2,r3) thì phương pháp lặp đơn:

Hội tụ đến nghiệm của hệ phương trình (2.1.4) , ở đây:

) ( ( )

) 1 (k k

x g

x  