Phần 1: Toán rời rạc pot

Sơ đồ karnaugh có hình chữ nhật gồm 2n-p ô được tô là sơ đồ karnaugh của một đơn thức là tích của p literals được gọi là cell thức của đơn thức là tích của các dòng, cột đó – Tìm công th

TOÁN HỌC RỜI RẠC

PHẦN 1

DISCRETE MATHEMATICS

PART ONE

NỘI DUNG ÔN TẬP

d Phương trình bool & hệ phủ tối tiểu

e Công thức tối tiểu của hàm bool

NỘI DUNG ÔN TẬP (cont.)

• Phép tuyển loại trừ (XOR, ⊕ )

• Phép toán trên bit

CƠ SỞ LOGIC (2)

Các tương đương thường dùng (T=hằng đúng, F=hằng sai)

P ∨ T = T Domination laws (P ∨ Q) ∨ R=P ∨ (Q ∨ R) = P ∨ Q ∨ R Associative laws

CƠ SỞ LOGIC (4)

B QUY TẮC SUY LUẬN

– Các quy tắc suy luận:

(P ∧ (P → Q)) → Q Modus ponens(¬Q ∧ (P →Q)) → ¬P Modus tollens((P →Q) ∧(Q → R)) → (P → R) Tam đoạn luận giả định(¬P ∧ (P ∨ Q)) → Q Tam đoạn luận tuyển

Q P

P

∨

Q

Q P

R Q Q P

→

→

→ ,

Q P

P ∨

¬ ,

CƠ SỞ LOGIC (5)

– Các phương pháp chứng minh: P → Q

• Chứng minh rỗng (P = false)

• Chứng minh tầm thường (Q = true)

• Chứng minh trực tiếp (P = true kéo theo Q = true)

• Chứng minh gián tiếp (Chứng minh ¬Q → ¬P đúng)

• Chứng minh phản chứng (Chứng minh ¬Q ∧ P → False)

• Chứng minh quy nạp

ĐẠI SỐ BOOL (1)

A QUAN HỆ

– Quan hệ tương đương

• Def: (phản xạ, đối xứng, bắc cầu)

• Lớp tương đương

• Tập thương

– Quan hệ thứ tự

• Def: (phản xạ, phản xứng, bắc cầu) (E, ≤)

• Trội, trội trực tiếp, sơ đồ Hasse

• Quan hệ thứ tự toàn phần, bộ phận

• Phần tử

– tối đại: M ∈ A ⊆ E, ∀ x ∈ A: M ≤ x ⇒ x=M – tối tiểu: m ∈ A ⊆ E, ∀ x ∈ A: x ≤ m ⇒ x=M – phần tử lớn nhất: M ∈ A ⊆ E, ∀ x ∈ A: x ≤ M – phần tử nhỏ nhất: m ∈ A ⊆ E, ∀ x ∈ A: m ≤ x

ĐẠI SỐ BOOL (2)

B DÀN (LATTICE)

– Cận trên : (E, ≤ ), x, y ∈ E, A={z| x ≤ z, y ≤ z}, nếu A có phần tử nhỏ

nhất thì phần tử nhỏ nhất đó được gọi là cận trên (đúng), ký hiệu sup(x, y) / x ∨ y

– cận dưới : (E, ≤ ), x, y ∈ E, A={z| z ≤ x, z ≤ y}, nếu A có phần tử lớn

nhất thì phần tử lớn nhất đó được gọi là cận dưới (đúng), ký hiệu inf(x, y) / x ∧ y / xy

– Dàn : (E, ≤ ), ∀ x, y ∈ E, ∃ sup(x, y) = x ∨ y, inf(x, y)=x ∧ y

• Các tính chất (giao hoán, kết hợp, phân phối)

• Phần tử bù: (E, ≤)-dàn có phần tử lớn nhất ký hiệu 1, phần tử nhỏ nhất

ký hiệu 0,

x ∈ E phần tử bù của x (trong E) là phần tử, ký hiệu sao cho

• Dàn mà mọi phần tử đều có phần tử bù được gọi là dàn bị bù

• Atom : phần tử trội trực tiếp của phần tử nhỏ nhất

• (E, ≤ ) là một đại số bool hữu hạn với phần tử nhỏ nhất ký hiệu là 0,

∀ x ≠ 0 ∈ E, a1, a2, …, ak là tất cả các atom bị trội bởi x khi đó:

x=a1 ∨ a2 ∨ … ∨ akcách viết này là duy nhất nếu không kể đến thự tự của các atom

• Số phần tử của một đại số bool là lũy thừa của 2

• Đại số bool gồm 2n phần tử có n atom

– f, g ∈ Fn , f ≤ g khi và chi khi ∀ X ∈ Bn : f(X) ≤ g(X)

(Fn, ≤) là một đại số bool

b x

x

x , , , n)  ( 1 2

HÀM BOOL (2)

B DẠNG CHUẨN TẮC TUYỂN

– Fn tập các hàm bool n biến

– Từ tối tiểu (nguyên tử-Atom): 00 010 0

i

i n

i

n n

b b

b b x

b b

b b x B

b b

(

) , , ,

( : )

, , ,

(

2 1

2 1 2

1

) , , 2 , 1 (

, x i n

y

;

2 1

i i

i i n

b x

b

x y

y y

0

y

;

2 1

i i

i i n

i

b x

b

x y

y y

M

, ( )

,

, (

) ,

, ( )

,

, (

2 1 2

1

2 1 1 2

1 1

n k

n k

n n

x x

x D x

x x G

x x

x D x

x x G

k D G D G

D G D

G

1

1 1 1 1 1

HÀM BOOL (5)

nghiệm của hệ phương trình

1

1

m

h h

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (1)

• CÔNG THỨC TỐI TIỂU

– Đơn thức:

• tích của các literals khác 0 (nhân tử nguyên tố)

• Tập Fn có 3n đơn thức

• Đơn thức m là ước của đơn thức M (M chia hết cho m) nếu mỗi nhân tử

nguyên tố của m đều là nhân tử nguyên tố của M

– Công thức dạng đa thức:

f ∈ Fn , cách viết f dưới dạng tổng ( ∨ ) của các đơn thức được gọi là dạng

đa thức của f: , mk là các đơn thức– Công thức dạng đa thức tối giản:

k

m m

m

f = 1∨ 2 ∨ ∨

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (2)

– Quan hệ đơn giản hơn:

hai công thức tối giản của f:

f=m1 ∨ m2 ∨ … ∨ mp (1)f=M1 ∨ M2 ∨ … ∨Mq (2)(1) được gọi là đơn giản hơn (2) khi và chỉ khi:

• p < q

• ∀ i: mi là ước của ít nhất một Mj

Mỗi hàm bool f có một tập hợp hữu hạn công thức tối giản dạng đa thức và

quan hệ đơn giản hơn là một quan hệ thứ tự bộ phận trên tập đó

– Công thức dạng tối tiểu dạng đa thức:

Công thức tối tiểu dạng đa thức của một hàm bool f là phần tử tối tiểu của tập các công thức tối giản dạng đa thức của f

d d d

karnaugh

Sắp xếp các phần tử của B4 vào bảng

karnaugh

• PHƯƠNG PHÁP KARNAUGH

– Bảng Karnaugh

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (4)

– Sơ đồ karnaugh của hàm 3 hoặc 4 biến

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (5)

– Định lý:

– hàm đồng nhất 0 là bảng rỗng – hàm đồng nhất 1 là bảng có tất cả các ô dược « tô »

karnaugh của g

karnaugh của g

sơ đồ karnaugh của f: xoá các ô được tô, tô các ô không được tô)

– Sơ đồ karnaugh và dạng chuẩn tắc của hàm tương ứng

⇒ Dạng chuẩn tắc của hàm tương ứng là:

z y x z xy yz

x z y x

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (6)

– Sơ đồ karnaugh và đơn thức

karnaugh của nó có 2n-p ô được tô Sơ đồ karnaugh có hình chữ nhật gồm 2n-p ô được tô là sơ đồ karnaugh của một đơn thức là tích của p literals (được gọi là cell)

thức của đơn thức là tích của các dòng, cột đó

– Tìm công thức tối tiểu bằng phương pháp karnaugh

1 Lập bảng giá trị và sơ đồ karnaugh của f

2 Xác định các cell lớn (các cell không bị chứa trong cell khác)

3 Chọn các cell lớn chứa ít nhất một ô chỉ thuộc riêng cell đó, « chồng » các cell được

chọn (nhận được sơ đồ phụ)

4 Nếu nhận được sơ đồ trùng sơ đồ karnaugh của f thực hiện 6 Nếu không thực hiện 5.

5 Chọn trong các cell lớn còn lại cell lớn chứa nhiều ô chưa được tô nhất (trong sơ đồ

« chồng ») Nếu có nhiều cell lớn như vậy, chọn cell lớn nhất Nếu tồn tại nhiều cell cùng thoả mãn, chọn một trong số đó Chồng lên sơ đồ phụ Thực hiện 4.

6 Xây dựng công thức tối tiểu của f : là tổng của các công thức của các cell lớn được chọn

7 So sánh các công thức xây dựng được để xác định công thức tôt nhất (ít phép toán

nhất)

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (7)

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (7)

Chồng các cell có ô chỉ thuộc mình nó, ta được sơ đồ phụ:

Sơ đồ phụ còn khác sơ đồ Karnaugh gốc, chọn một trong hai cell lớn 2

hoặc 3, chồng lên sơ đồ phụ, ta được:

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (7)

Sơ đồ phụ bây giờ trùng với sơ đồ Karnaugh gốc Công thức tối tiểu dạng

đa thức của hàm tương ứng là:

3.) 5.

4.

(1.

2) 5.

y x t

z x xyz

f

xzt z

y x t

z x xyz

f

Cả hai công thức « tốt » như nhau

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (8)

• PHƯƠNG PHÁP CONSENSUS

– Cơ sở phương pháp:

• Nếu f = m1 ∨ m2 ∨ … ∨ mp là công thức dạng đa thức của f, thì ∀i: mi ≤ f

• Nếu m là đơn thúc, m ≤ f thì tồn tại các đơn thức m1, …, mk sao cho f = m

∨ m1 ∨ … ∨ mk

• Nguyên nhân: đơn thức m ≤ f được gọi là một nguyên nhân của f

• Nguyên nhân nguyên tố: đơn thức m bị trội trực tiếp bởi f

thức của f

nhân nguyên tố của f

• ⇒ phương pháp tìm công thức tối tiểu dạng đa thức của f:

– Tìm tập các nguyên nhân nguyên tố của f – Xác định tập nhỏ nhất các nguyên nhân nguyên tố tìm được có tổng là f (phủ

tối tiểu)

• Consensus: hai đơn thức , trong đó m1, m2 là các đơn thức

không chứa x và , khi đó mm đươc gọi là consensus của hai đơn thức

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (9)

• Consensus(m1, m2) ≤ m1 ∨ m2

• Tìm nguyên nhân nguyên tố:

1 Xác định một công thức tối giản dạng đa thức của f Lập danh sách L các đơn

thức nguyên nhân

2 For each variable x

a) Chia L thành ba danh sách con: A gồm các đơn thức chứa x, B gồm các

đơn thức chứa , C gồm các đơn thức còn lại b) Nếu A hoặc B rỗng chuyển sang bước tiếp theo, nếu không ,tính các

consensus của mỗi đơn thức của A với mỗi đơn thức của B thêm chúng vào L

c) Xoá bỏ khỏi L các đơn thức là bội của các đơn thức khác

3 Kết quả thu được: L là danh sách các nguyên nhân nguyên tố của f

• Tìm phủ tối tiểu các nguyên nhân nguyên tố:

⇒ Lập và giải hệ phương trình bool cho phủ tối tiểu

» Đơn thức C phủ đơn thức m ⇔ C là ước của m

x

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (10)

• PHƯƠNG PHÁP QUINE-MC CLUSKEY

– Giai đoạn 1: Tìm công thức tối giản dạng đa thức

• Lập bảng giá trị của f

• Lập bảng gồm nhiều cột để ghi kết quả của các bước sau:

1 Viết vào cột thứ nhất các dãy bit làm f = 1, gom thành từng nhóm

theo số bit 1 (sắp các nhóm theo thứ tự tăng của số bit 1)

2 Với mỗi dãy bit của nhóm i viết dưới dạng AxB tổng với dãy bit viết

dưới dạng của nhóm i+1 kết quả (A_B) được ghi vào cột kế

bên, đánh dấu dãy bit tham gia vào tổng (A hoặc B có thể là rỗng)

3 Lặp lại với cột kế tiếp đến khi không tạo ra cột mới , khi đó dãy bít

không bị đánh dấu cho các đơn thức trong công thức tối giản dạng

đa thức của f

B x A

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (11)

– Giai Đoạn 2: tìm công thức tối tiểu dạng đa thức

• Lập bảng phủ: các cột tương ứng với các đơn thức mi trong dạng

tuyển chuẩn tắc của f, dòng tương ứng với các đơn thức trong công thức tối giản dạng đa thức, tô ô giao của dòng và cột nếu đơn thức dòng tương ứng là ước của đơn thức cột tương ứng

1 Phát hiện các đơn thức cốt yếu: tìm các cột chỉ một ô được tô, ô

được tô nằm trên dòng nào, đơn thức dòng đó là đơn thức cốt yếu

2 Xóa các cột được phủ bởi các đơn thức cốt yếu

3 Xóa các dòng không chứa ô được tô, xóa bớt các cột giống nhau

(nếu có)

4 Trong các dòng còn lại, tìm tập ít nhất các đơn thức phủ các cột còn

lại