Nếu sử dụng ñồ thị ñể biểu diễn mạng máy tính này trong ñó các ñỉnh của ñồ thị tương ứng với các máy tính, còn các cạnh tương ứng với các kênh nối câu hỏi ñó ñược phát biểu trong ngôn ng
Trang 1KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
Trang 2
Mở ñầu
Lý thuyết ñồ thị là một lĩnh vực ñã có từ lâu và có nhiều ứng dụng hiện ñại Những
tư tưởng cơ bản của lý thuyết ñồ thị ñược ñề xuất vào những năm ñầu của thế kỷ 18 bởi nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sỹ Lenhard Eurler Chính ông là người ñã sử dụng ñồ thị
ñể giải bài toán nổi tiếng về các cái cầu ở thành phố Konigsberg
ðồ thị ñược sử dụng ñể giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau Chẳng hạn, ñồ thị có thể sử dụng ñể xác ñịnh các mạch vòng trong vấn ñề giải tích mạch ñiện Chúng ta có thể phân biệt các hợp chất hóa học hữu cơ khác nhau với cùng công thức phân tử nhưng khác nhau về cấu trúc phân tử nhờ ñồ thị Chúng ta có thể xác ñịnh hai máy tính trong mạng có thể trao ñổi thông tin ñược với nhau hay không nhờ mô hình ñồ thị của mạng máy tính ðồ thị có trọng số trên các cạnh có thể sử dụng ñể giải các bài toán như: Tìm ñường ñi ngắn nhất giữa hai thành phố trong mạng giao thông Chúng ta cũng còn sử dụng ñồ thị ñể giải các bài toán về lập lịch, thời khóa biểu, và phân bố tần số cho các trạm phát thanh và truyền hình
Hưng Yên, tháng 7 năm 2010
Bộ môn Công nghệ phần mềm Khoa Công nghệ thông tin Trường ñại học sư phạm kỹ thuật Hưng Yên
Trang 3Mục lục
Mở ñầu 0
Danh mục các hình vẽ 4
Bài 1 Các khái niệm cơ bản của Lý thuyết ñồ thị .6
1.1 ðịnh nghĩa cơ bản về ñồ thị 6
1.2 ðường ñi chu trình ðồ thị liên thông 9
1.3 Phân loại ñồ thị 12
1.3.1 ðồ thị vô hướng liên thông 12
1.3.2 ðồ thị có hướng liên thông 14
1.4 Một số loại ñồ thị ñặc biệt 15
Bài 2 Biểu diễn ñồ thị trên máy tính 20
2.1 Một số phương pháp biểu diễn ñồ thị trên máy tính 20
2.2.1 Ma trận kề Ma trận trọng số 20
2.2.2 Danh sách cạnh (cung) 22
2.2.3 Danh sách kề 23
Bài 3 ðồ thị Euler 28
3.1 ðịnh nghĩa 28
3.2 Các ví dụ 29
3.3 ðịnh lý Euler và thuật toán Flor 29
Bài 4 ðồ thị Hamilton 33
4.1 ðịnh nghĩa 34
4.2 ðịnh lý và thuật toán liệt kê tất cả các chu trình Hamilton .35
Bài 5 Thảo luận cài ñặt ñồ thị, các thuật toán liệt kê chu trình Euler và Hamilton Thảo luận về bài tập lớn 38
5.1 Cài ñặt biểu diễn ñồ thị trên máy tính 38
5.2 Cài ñặt thuật toán liệt kê chu trình Euler 38
5.3 Cài ñặt thuật toán liệt kê chu trình Hamilton 40
Bài 6 Thuật toán tìm kiếm trên ñồ thị và ứng dụng 41
6.1 Duyệt ñồ thị theo chiều rộng (BFS) 41
6.2 Duyệt ñồ thị theo chiều sâu (DFS) 44
Bài 7 Cây và cây khung 45
7.1 Cây và cây khung 45
7.1.1 Cây 45
7.1.2 Cây khung của ñồ thị 47
7.2 Bài toán cây khung nhỏ nhất 47
7.3 Xây dựng tập các chu trình cơ bản của ñồ thị 49
7.4 Thuật toán Prim 50
7.5 Thuật toán Kruskal 54
Bài 8 Thảo luận về cài ñặt thuật toán tìm cây khung nhỏ nhất trên ñồ thị 57
8.1 Cài ñặt xây dựng tập các chu trình cơ bản của ñồ thị 57
8.2 Cài ñặt thuật toán Prim 59
8.3 Cài ñặt thuật toán Kruskal 60
Trang 48.4 Một số thuật toán xây dựng cây khung(*) 62
Bài 10 Bài toán tìm ñường ñi ngắn nhất 65
10.1 Các khái niệm mở ñầu 65
10.2 ðường ñi ngắn nhất xuất phát từ một ñỉnh Thuật toán Ford-Bellman 66
10.3 Trường hợp ma trận trọng số không âm Thuật toán Dijkstra 67
Bài 11 Bài toán tìm ñường ñi ngắn nhất (tiếp) 69
11.1 ðường ñi trong ñồ thị không có chu trình 69
11.2 ðường ñi ngắn nhất giữa tất cả các cặp ñỉnh 74
11.3 Cài ñặt thuật toán Dijkstra 75
Bài 12 Bài toán luồng cực ñại trong mạng 76
12.1 Mạng Luồng trong mạng Bài toán luồng cực ñại 76
12.2 Lát cắt ñường tăng luồng ðịnh lý ford_fulkerson 77
12.3 Thuật toán tìm luồng cực ñại 81
Bài 13 Lý thuyết ñồ thị và ứng dụng 91
13.1 Các bài toán liên quan tới ñồ thị 91
13.1.1 Các bài toán liên quan tới bậc của ñồ thị 91
13.1.2 Các bài toán liên quan ñến tính liên thông của ñồ thị 93
13.1.3 Các bài toán liên quan tới chu trình 94
13.1.4 Các bài toán có liên quan ñến ñường ñi và chu trình Hamilton 96
13.1.5 Các bài toán liên quan ñến ñồ thị tô màu 100
13.1.6 Bài toán về cây 110
13.1.7 Bài toán về ghép cặp 111
13.1.8 ðồ thị Euler 112
13.1.9 Các bài toán có tính tổng hợp 112
13.2 Sự liên hệ giữa các tập ñặc biệt trên ñồ thị với các bài toán trên bàn cờ 115
13.3 Duyệt rộng trên mảng hai chiều 119
Bài 14 Một số ứng dụng trong ñồ thị 126
14.1 Bài toán ñám cưới vùng quê 126
14.2 Bài toán về hệ thống ñại diện chung 127
14.3 Bài toán tối ưu rời rạc 128
Bài toán phân nhóm sinh hoạt 128
Bài toán lập lịch cho hội nghị 129
14.4 Một số bài toán liên quan ñến việc tổ chức mạng vận chuyển bưu chính 129
Mô hình ñịnh tuyến mạng ñường thư cấp 1 130
Bài toán lập kế hoạch vận chuyển bưu gửi 130
Mô hình mạng ñường thư trong thành phố 133
TÀI LIỆU THAM KHẢO 136
Trang 5Danh mục các hình vẽ
Hình 1.1 Sơ ñồ mạng máy tính 6
Hình 1.2 Sơ ñồ mạng máy tính với ña kênh thoại .7
Hình 1.3 Sơ ñồ mạng máy tính với kênh thoại thông báo 7
Hình 1.4 Mạng máy tính với kênh thoại một chiều 8
Hình 1.5 ðường ñi trên ñồ thị 9
Hình 1.6 ðồ thị G và H .10
Hình 1.7 ðồ thị liên thông mạnh G và ñồ thị liên thông yếu H .12
Hình 1.8 ðồ thị vô hướng 13
Hình 1.9 ðồ thị có hướng .14
Hình 1.10 ðồ thị ñầy ñủ .15
Hình 1.11 ðồ thị vòng C3, C4, C5, C6 .16
Hình 1.12 ðồ thị bánh xe W3, W4, W5, W6 16
Hình 1.13 ðồ thị lập phương Q1, Q2, Q3 16
Hình 1.14 ðồ thị hai phía .17
Hình 1.15 ðồ thị K4 là ñồ thị phẳng .18
Hình 1.16 Các miền tương ứng với biểu diễn phẳng của ñồ thị 18
Hình 2.1 ðồ thị vô hướng G và ðồ thị có hướng G1 21
Hình 3.1 Mô hình 7 cây cầu ở Konigsberg 28
Hình 3.2 ðồ thị G1, G2, G3 .29
Hình 3.3 ðồ thị H1, H2, H3 .29
Hình 3.4 Minh hoạ cho chứng minh ðịnh lý 3.1 31
Hình 4.1 Du lịch 20 thành phố 33
Hình 4.2 ðồ thị Hamilton G3, nửa Hamilton G2 , và G1 .34
Hình 4.3 ðồ thị ñấu loại D5, ñấu loại liên thông mạnh D6 .36
Hình 4.4 ðồ thị và cây liệt kê chu trình Hamilton của nó theo thuật toán quay lui 37
Hình 5.1 ðồ thị và cây liệt kê chu trình Hamilton của nó theo thuật toán quay lui 40
Hình 6.1 ðồ thị vô hướng 42
Hình 7.1 Cây và rừng 45
Hình 7.2 ðồ thị và các cây khung của nó 47
Hình 7.3 ðồ thị và cây khung nhỏ nhất 53
Hình 8.1 Hệ chu trình ñộc lập cho ñồ thị vô hướng G 57
Hình 8.2 Hệ chu trình ñộc lập cho ñồ thị có hướng G1 57
Hình 8.3 Minh họa từng bước thuật toán Prim tìm cây khung nhỏ nhất 60
Hình 8.4 Minh họa từng bước thuật toán Kruskal tìm cây khung nhỏ nhất 61
Hình 11.1 ðồ thị không có chu trình 69
Hình 11.2 ðồ thị minh hoạ PERT .73
Hình 12.1 Mạng G và luồng f ðồ thị có trọng số Gf tương ứng .79
Hình 12.2 Mạng G và minh họa từng bước thuật toán Ford-Fullkerson 86
Hình 12.3 Mạng G với luồng cực ñại và lát cắt hẹp nhất 87
Hình 12.4 Ví dụ tồi tệ ñối với thuật toán Ford_Fulkerson .89
Hình 12.5 Tăng luồng dọc theo ñường tăng .90
Hình 13.1 Kết quả thi ñấu của 5 ñội bóng chuyền A, B, C, B, E 96
Hình 13.2 Sơ ñồ nhà của 8 học sinh 97
Trang 6Hình 13.3 10 thành phố 98
Hình 13.4 bố trí lịch thi cho học sinh THPT với 7 môn thi trong 7 ngày 99
Hình 13.5 Vị trí nhà ở và ñường nối giữa các nhà của 9 học sinh 100
Hình 13.6 Bản ñồ có 6 miền 101
Hình 13.7 Lập lịch thi 7 môn 104
Hình 13.8 Tô màu cho ñồ thị lịch thi 105
Hình 13.9 Phân chia kênh truyền hình 107
Hình 13.10 Tô màu cho ñồ thị phân chia kênh truyền hình 107
Hình 13.11 Thanh ghi chỉ số trong CPU 109
Hình 13.12 Tô màu cho ñô thị thanh ghi chỉ số 110
Hình 13.13 Kết quả xếp hạng của các ñội 111
Hình 13.14 Tuyển chọn biên dịch viên 114
Hình 13.15 Quy tắc ñi của quân mã 116
Hình 13.16 Quy tắc ñi của quân mã trên bàn cờ 4 × 4 116
Hình 13.17 Quy tắc ñi của quân tượng trên bàn cờ 4 × 4 117
Hình 13.18 Quy tắc ñi của quân xe trên bàn cờ 4 × 4 117
Hình 13.19 Quy tắc ñi của quân hậu trên bàn cờ 4 × 4 118
Hình 13.20 Hướng di chuyển của robot 120
Hình 14.1 Mạng tương ứng với bài toán ñám cưới vùng quê .127
Trang 7Bài 1 Các khái niệm cơ bản của Lý thuyết ñồ thị
Hình 1.1 Sơ ñồ mạng máy tính
Nhận thấy rằng trong mạng ở hình 1.1, giữa hai máy bất kỳ chỉ có nhiều nhất là một kênh thoại nối chúng, kênh thoại naỳ cho phép liên lạc cả hai chiều và không có máy tính nào lại ñược nối với chính nó Sơ ñồ mạng máy cho trong hình 1 ñược gọi là ñơn ñồ thị vô hướng Ta ñi ñến ñịnh nghĩa sau
Trang 8Hình 1.2 Sơ ñồ mạng máy tính với ña kênh thoại
ðịnh nghĩa 1.2
ða ñồ thị vô hướng G= (V, E) bao gồm V là tập các ñỉnh, và E là tập các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh Hai cạnh e1 và e2 ñược gọi là cạnh lặp nếu chúng cùng tương ứng với một cặp ñỉnh
Hình 1.3 Sơ ñồ mạng máy tính với kênh thoại thông báo
Rõ ràng mỗi ñơn ñồ thị ñều là ña ñồ thị, nhưng không phải ña ñồ thị nào cũng là ñơn ñồ thị, vì trong ña ñồ thị có thể có hai (hoặc nhiều hơn) cạnh nối một cặp ñỉnh nào
ñó
Trong mạng máy tính có thể có những kênh thoại nối một náy nào ñó với chính nó (chẳng hạn vời mục ñính thông báo) Mạng như vậy ñược cho trong hình 3 Khi ñó ña ñồ thị không thể mô tả ñược mạng như vậy, bởi vì có những khuyên (cạnh nối một ñỉnh với chính nó) Trong trường hợp nàychúng ta cần sử dụng ñến khái niệm giả ñồ thị vô hướng, ñược ñịnh nghĩa như sau:
ðịnh nghĩa 1.3
Trang 9Giả ñồ thị vô hướng G = (V, E) bao gồm V là tập các ñỉnh và E là tập các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử (không nhất thiết phải khác nhau) của V gọi là cạnh Cạnh e ñược gọi là khuyên nếu nó có dạng e = (u, u)
Hình 1.4 Mạng máy tính với kênh thoại một chiều
Các kênh thoại trong mạng máy tính có thể chỉ cho phép truyền tin theo một chiều Chẳng hạn, trong hình 1.4 máy chủ ở Hà Nội chỉ có thể nhận tin từ các máy ở ñịa phương,
có một số máy chỉ có thể gửi tin ñi, còn các kênh thoại cho phép truyền tin theo cả hai chiều ñược thay thế bởi hai cạnh có hướng ngược chiều nhau
Ta ñi ñến ñịnh nghĩa sau
Trong các phần tiếp theo chủ yếu chúng ta sẽ làm việc v?i ñơn ñồ thị vô hướng và ñơn ñồ thị có hướng Vì vậy, ñể cho ngắn gọn, ta sẽ bỏ qua tính từ ñơn khi nhắc ñến chúng
Trang 101.2 ðường ñi chu trình ðồ thị liên thông
là ñơn nếu như không có cạnh nào bị lặp lại
Ví dụ 1.1 Trên ñồ thị vô hướng cho trong Hình 1.5: a, d, c, f, e là ñường ñi ñơn ñộ dài 4 Còn d, e, c, a không là ñường ñi, do (c,e) không phải là cạnh của ñồ thị Dãy b, c, f, e, b là chu trình ñộ dài 4 ðường ñi a, b, e, d, a, b có ñộ dài là 5 không phải là ñường ñi ñơn, do cạnh (a, b) có mặt trong nó 2 lần
Hình 1.5 ðường ñi trên ñồ thị Khái niệm ñường ñi và chu trình trên ñồ thị có hướng ñược ñịnh nghĩa hoàn toàn tương tự như trong trường hợp ñồ thị vô hướng, chỉ khác là ta có chú ý ñến hướng trên các cung
ðịnh nghĩa 1.7
ðường ñi ñộ dài n từ ñỉnh u ñến ñỉnh v, trong ñó, n là số nguyên dương, trên ñồ thị có hướng G = (V, A) là dãy x0, x1,…, xn-1, xn
trong ñó u = x0, v = xn, (xi, xi+1)∈ E, i = 0, 1, 2,…, n-1
ðường ñi nói trên còn có thể biểu diễn dưới dạng dãy các cung:
(x0, x1), (x1, x2), …, (xn-1, xn)
Trang 11ðỉnh u gọi là ñỉnh ñầu, còn ñỉnh v gọi là ñỉnh cuối của ñường ñi ðường ñi có ñỉnh ñầu trùng với ñỉnh cuối (tức là u = v) ñược gọi là chu trình ðường ñi hay chu trình ñược gọi
là ñơn nếu như không có cạnh nào bị lặp lại
Ví dụ 1.2 Trên ñồ thị có hướng cho trong Hình 1.5: a, d, c, f, e là ñường ñi ñơn ñộ dài 4 Còn d, e, c, a không là ñường ñi, do (c,e) không phải là cạnh của ñồ thị Dãy b, c, f, e, b là chu trình ñộ dài 4 ðường ñi a, b, e, d, a, b có ñộ dài là 5 không phải là ñường ñi ñơn, do cạnh (a, b) có mặt trong nó 2 lần
Xét một mạng máy tính Một câu hỏi ñặt ra là hai máy tính bất kỳ trong mạng này
có thể trao ñổi thông tin ñược với nhau hoặc là trực tiếp qua kênh nối chúng hoặc thông qua một hoặc vài máy tính trung gian trong mạng? Nếu sử dụng ñồ thị ñể biểu diễn mạng máy tính này (trong ñó các ñỉnh của ñồ thị tương ứng với các máy tính, còn các cạnh tương ứng với các kênh nối) câu hỏi ñó ñược phát biểu trong ngôn ngữ ñồ thị như sau: Tồn tại hay không ñường ñi giữa mọi cặp ñỉnh của ñồ thị
Trang 12Trong trường hợp ñồ thị là không liên thông, nó sẽ rã ra thành một số ñồ thị con liên thông ñôi một không có ñỉnh chung Những ñồ thị con liên thông như vậy ta sẽ gọi là các thành phần liên thông của ñồ thị
Ví dụ 1.4 ðồ thị H trong hình 2 gồm 3 thành phần liên thông H1, H2, H3
Trong mạng máy tính có thể có những máy (Những kênh nối) mà sự hỏng hóc của
nó sẽ ảnh hưởng ñến việc trao ñổi thông tin trong mạng Các khái niệm tương ứng với tình huống này ñược ñưa ra trong ñịnh nghĩa sau
ðịnh nghĩa 1.10
ðỉnh v ñược gọi là ñỉnh rẽ nhánh nếu việc loại bỏ v cùng với các cạnh liên thuộc với nó khỏi ñồ thị làm tăng số thành phần liên thông của ñồ thị Cạnh e ñược gọi là cầu nếu việc loại bỏ nó khỏi ñồ thị làm tăng số thành phần liên thông của ñồ thị
Ví dụ 1.5 Trong ñồ thị G ở hình2, ñỉnh d và e là ñỉnh rẽ nhánh, còn các cạnh (d, g) và (e, f) là cầu
ðối với ñồ thị có hướng có hai khái niệm liên thông phụ thuộc vào việc ta có xét ñến hướng trên các cung hay không
ðịnh nghĩa 1.11
ðồ thị có hướng G = (V, A) ñược gọi là liên thông mạnh nếu luôn tìm ñược ñường ñi giữa hai ñỉnh bất kỳ của nó
ðịnh nghĩa 1.12
ðồ thị có hướng G = (V, A) ñược gọi là liên thông yếu nếu ñồ thị vô hướng tương ứng với
nó là vô hướng liên thông
Rõ ràng nếu ñồ thị là liên thông mạnh thì nó cũng là liên thông yếu, nhưng ñiều ngược lại là không luôn ñúng, như chỉ ra trong ví dụn dưới ñây
Ví dụ 1.6 Trong Hình 1.7 ñồ thị G là liên thông mạnh, còn H là liên thông yếu nhưng không là liên thông mạnh
Trang 13Hình 1.7 ðồ thị liên thông mạnh G và ñồ thị liên thông yếu H
Một câu hỏi ñặt ra là khi nào có thể ñịnh hướng các cạnh của một ñồ thị vô hướng liên thông ñể có thể thu ñược ñồ thị có hướng liên thông mạnh? Ta sẽ gọi ñồ thị như vậy
là ñồ thị ñịnh hướng ñược ðịnh lý dưới ñây cho ta tiêu chuẩn nhận biết một ñồ thị có là ñịnh hướng ñược hay không
ðịnh lý 1.1
ðồ thị vô hướng liên thông là ñịnh hướng ñược khi và chỉ khi mỗi cạnh của nó nằm trên ít nhất một chu trình
Chứng minh
ðiều kiện cần Giả sử (u,v) là một cạnh của một ñồ thị Từ sự tồn tại ñường ñi có hướng
từ u ñến v và ngược lại suy ra (u, v) phải nằm trên ít nhất một chu trình
ðiều kiện ñủ Thủ tục sau ñây cho phép ñịnh hướng các cạnh của ñồ thị ñể thu ñược ñồ thị có hướng liên thông mạnh Giả sử C là một chu trình nào ñó trong ñồ thị ðịnh hướng các cạnh trên chu trình này theo một hướng ñi vòng theo nó Nếu tất cả các cạnh của ñồ thị là ñã ñược ñịnh hướng thì kết thúc thủ tục Ngược lại, chọn e là một cạnh chưa ñịnh hướng có chung ñỉnh với ít nhất một trong số các cạnh ñã ñịnh hướng Theo giả thiết tìm ñược chu trình C’ chứa cạnh e ðịnh hướng các cạnh chưa ñược ñịnh hướng của C’ theo một hướng dọc theo chu trình này (không ñịnh hướng lại các cạnh ñã có ñịnh hướng) Thủ tục trên sẽ ñược lặp lại cho ñến khi tất cả các cạnh của ñồ thị ñược ñịnh hướng Khi ñó ta thu ñược ñồ thị có hướng liên thông mạnh
1.3 Phân loại ñồ thị
1.3.1 ðồ thị vô hướng liên thông
Trong mục này chúng ta sẽ trình bày một số thuật ngữ cơ bản của lý thuyết ñồ thị Trước tiên, ta xét các thuật ngữ mô tả các ñỉnh và cạnh của ñồ thị vô hướng
Trang 14ðịnh nghĩa 1.13
Hai ñỉnh u và v của ñồ thị vô hướng G ñược gọi là kề nhau nếu (u,v) là cạnh của ñồ thị G Nếu e = (u, v) là cạnh của ñồ thị ta nói cạnh này là liên thuộc với hai ñỉnh u và v, hoặc cũng nói là nối ñỉnh u và ñỉnh v, ñồng thời các ñỉnh u và v sẽ ñược gọi là các ñỉnh ñầu của cạnh (u, v)
ðể có thể biết có vao nhiêu cạnh liên thuộc với một ñỉnh, ta ñưa vào ñịnh nghĩa sau
deg(a) = 1, deg(b) = 4, deg(c) = 4, deg(f) = 3,
deg(d) = 1, deg(e) = 3, deg(g) = 0
ðỉnh bậc 0 gọi là ñỉnh cô lập ðỉnh bậc 1 ñược gọi là ñỉnh treo Trong ví dụ trên ñỉnh g là ñỉnh cô lập, a và d là các ñỉnh treo Bậc của ñỉnh có tính chất sau:
ðịnh lý 1.2 Giả sử G = (V, E) là ñồ thị vô hướng với m cạnh Khi ñó tổng bậc của tất cả các ñỉnh bằng hai lần số cung
Chứng minh Rõ ràng mỗi cạnh e = (u, v) ñược tính một lần trong deg(u) và một lần trong deg(v) Từ ñó suy ra tổng tất cả các bậc của các ñỉnh bằng hai lần số cạnh
Ví dụ 1.8 ðồ thị với n ñỉnh có bậc là 6 có bao nhiêu cạnh?
Giải: Theo ñịnh lý 1.2 ta có 2m = 6n Từ ñó suy ra tổng các cạnh của ñồ thị là 3n
Hệ quả 1.3 Trong ñồ thị vô hướng, số ñỉnh bậc lẻ (nghĩa là có bậc là số lẻ) là một số chẵn
Trang 15Chứng minh Thực vậy, gọi O và U tương ứng là tập ñỉnh bậc lẻ và tập ñỉnh bậc chẵn của ñồ thị Ta có
v
vv
2
Do deg(v) là chẵn với v là ñỉnh trong U nên tổng thứ nhất ở trên là số chẵn Từ ñó suy ra tổng thứ hai (chính là tổng bậc của các ñỉnh bậc lẻ) cũng phải là số chẵn, do tất cả các số hạng của nó là số lẻ, nên tổng này phải gồm một số chẵn các số hạng Vì vậy, số ñỉnh bậc lẻ phải là số chẵn
Ta xét các thuật ngữ tương tự cho ñồ thị vô hướng
1.3.2 ðồ thị có hướng liên thông
ðịnh nghĩa 1.15
Nếu e = (u, v) là cung của ñồ thị có hướng G thì ta nói hai ñỉnh u và v là kề nhau, và nói cung (u, v) nối ñỉnh u với ñỉnh v hoặc cũng nói cung này là ñi ra khỏi ñỉnh u và vào ñỉnh
v ðỉnh u(v) sẽ ñược gị là ñỉnh ñầu (cuối) của cung (u,v)
Tương tự như khái niệm bậc, ñối với ñồ thị có hướng ta có khái niệm bán bậc ra và bán bậc vào của một ñỉnh
ðịnh nghĩa 1.16
Ta gọi bán bậc ra (bán bậc vào) của ñỉnh v trong ñồ thị có hướng là số cung của ñồ thị ñi
ra khỏi nó (ñi vào nó) và ký hiệu là deg+(v) (deg-(v))
Hình 1.9 ðồ thị có hướng
Ví dụ 1.9 Xét ñồ thị cho trong hình 1.10 Ta có
deg-(a)=1, deg-(b)=2, deg-(c)=2, deg-(d)=2, deg-(e) = 2
deg+(a)=3, deg+(b)=1, deg+(c)=1, deg+(d)=2, deg+(e)=2
Trang 16Do mỗi cung (u, v) sẽ ñược tính một lần trong bán bậc vào của ñỉnh v và một lần trong bán bậc ra của ñỉnh u nên ta có:
ðịnh lý 1.3 Giả sử G = (V, E) là ñồ thị có hướng Khi ñó
2m = ∑deg ( )+ v +∑deg ( )− v
Rất nhiều tính chất của ñồ thị có hướng không phụ thuộc vào hướng trên các cung của nó Vì vậy, trong nhiều trường hợp sẽ thuận tiện hơn nếu ta bỏ qua hướng trên các cung của ñồ thị ðồ thị vô hướng thu ñược bằng cách bỏ qua hướng trên các cung ñược gọi là ñồ thị vô hướng tương ứng với ñồ thị có hướng ñã cho
1.4 Một số loại ñồ thị ñặc biệt
Trong mục này ta xét một số ñơn ñồ thị vô hướng dạng ñặc biệt xuất hiện trong nhiều vấn ñề ứng dụng thực tế
ðồ thị ñầy ñủ
ðồ thị ñầy ñủ n ñỉnh, ký hiệu bởi Kn, là ñơn ñồ thị vô hướngmà giữa hai ñỉnh bất
kỳ của nó luôn có cạnh nối
Các ñồ thị K3, K4, K5 cho trong hình dưới ñây
Hình 1.10 ðồ thị ñầy ñủ
ðồ thị ñầy ñủ Kn có tất cả n(n-1)/2 cạnh, nó là ñơn ñồ thị có nhiều cạnh nhất
ðồ thị vòng
ðồ thị vòng Cn, n≥3 gồm n ñỉnh v1, v2, .vn và các cạnh (v1,v2), (v2,v3) (vn-1,vn), (vn,v1)
ðồ thị vòng C3, C4, C5, C6 cho trong hình 2.2
Trang 17ðồ thị lập phương n ñỉnh Qn là ñồ thị với các ñỉnh biểu diễn 2n xâu nhị phân ñộ dài
n Hai ñỉnh của nó gọi là kề nhau nếu như hai xâu nhị phân tương ứng chỉ khác nhau 1 bit Hình 1.13 cho thấy Qn với n=1,2,3
Hình 1.13 ðồ thị lập phương Q1, Q2, Q3
ðồ thị hai phía
Trang 18ðơn ñồ thị G = (V, E) ñược gọi là hai phía nếu như tập ñỉnh V của nó có thể phân hoạch thành hai tập X và Y sao cho mỗi cạnh của ñồ thị chỉ nối một ñỉnh nào ñó trong X với một ñỉnh nào ñó trong Y Khi ñó ta sẽ sử dụng ký hiệu G = (X∪Y, E) ñể chỉ ñồ thị hai phía với tập ñỉnh X∪Y
ðịnh lý sau ñây cho phép nhận biết một ñơn ñồ thị có phải là hai phía hay không
ðịnh lý 1.4 ðơn ñồ thị là ñồ thị hai phía khi và chỉ khi nó không chứa chu trình ñộ dài lẻ
ðể kiểm tra xem một ñồ thị liên thông có phải là hai phía hay không có thể áp dụng thủ tục sau Cho v là một ñỉnh bất kỳ của ñồ thị ðặt X={v}, còn Y là tập các ñỉnh
kề của v Khi ñó các ñỉnh kề của các ñỉnh trong Y phải thuộc vào X Ký hiệu tập các ñỉnh như vậy là T Vì thế nếu phát hiện T ∩ Y ≠ ∅ thì ñồ thị không phải là hai phía, kết thúc ngược lại, ñặt X = X ∪ T Tiếp tục xét như vậy ñối với T’ là tập các ñỉnh kề của T,
ðồ thị hai phía G=(X ∪ Y, E) với |X|= m, |Y| = n ñược gọi là ñồ thị hai phía ñầy
ñủ và ký hiệu là K2,3, K3,3, K3,4 ñược cho trong hình 2.5
Hình 1.14 ðồ thị hai phía
ðồ thị phẳng
ðồ thị ñược gọi là ñồ thị phẳng nếu ta có thể vẽ nó trên mặt phẳng sao cho các cạnh của nó không cắt nhau ngoài ở ñỉnh Cách vẽ như vậy sẽ ñược gọi là biểu diễn phẳng của ñồ thị
Ví dụ ñồ thị K4 là phẳng, vì có thể vẽ nó trên mặt phẳng sao cho các cạnh của nó không cắt nhau ngoài ở ñỉnh (xem hình 2.6)
Trang 19Hình 1.15 ðồ thị K4 là ñồ thị phẳng
Một ñiều ñáng lưu ý nếu ñồ thị là phẳng thì luôn có thể vẽ nó trên mặt phẳng với các cạnh nối là các ñoạn thẳng không cắt nhau ngoài ở ñỉnh (ví dụ xem cách vẽ K4 trong hình 2.6)
ðể nhận biết xem một ñồ thị có phải là ñồ thị phẳng có thể sử dụng ñịnh lý Kuratovski, mà ñể phát biểu nó ta cần một số khái niệm sau: Ta gọi một phép chia cạnh (u,v) của ñồ thị là việc loại bỏ cạnh này khỏi ñồ thị và thêm vào ñồ thị một ñỉnh mới w cùng với hai cạnh (u,w), (w, u) Hai ñồ thị G(V,E) và H=(W,F) ñược gọi là ñồng cấu nếu chúng có thể thu ñược từ cùng một ñồ thị nào ñó nhờ phép chia cạnh
ðịnh lý 1.5 (Kuratovski) ðồ thị là phẳng khi và chỉ khi nó không chứa ñồ thị con ñồng cấu với K3,3 hoặc K5
Trong trường hợp riêng, ñồ thị K3,3 hoặc K5 không phải là ñồ thị phẳng Bài toán về tính phẳng của ñồ thị K3,3 là bài toán ñố nổi tiếng về ba căn hộ và ba hệ thống cung cấp năng lượng cho chúng: Cần xây dựng hệ thống ñường cung cấp năng lượng với mỗi một căn hộ nói trên sao cho chúng không cắt nhau
ðồ thị phẳng còn tìm ñược những ứng dụng quan trọng trong công nghệ chế tạo mạch in
Biểu diễn phẳng của ñồ thị sẽ chia mặt phẳng ra thành các miền, trong ñó có thể có
cả miền không bị chặng Ví dụ, biểu diễn phẳng của ñồ thị cho trong Hình 1.16 chia mặt phẳng ra thành 6 miền R1, R2, .R6
Hình 1.16 Các miền tương ứng với biểu diễn phẳng của ñồ thị
Trang 20Euler ñã chứng minh ñược rằng các cách biểu diễn phẳng khác nhau của một ñồ thị ñều chia mặt phẳng ra thành cùng một số miền ðể chứng minh ñiều ñó, Euler ñã tìm ñược mối liên hệ giữa số miền, số ñỉnh của ñồ thị và số cạnh của ñồ thị phẳng sau ñây ðịnh lý 1.6 (Công thức Euler) Giả sử G là ñồ thị phẳng liên thông với n ñỉnh, m cạnh Gọi r là số miền của mặt phẳng bị chia bởi biểu diễn phẳng của G Khi ñó
Giải Do mỗi ñỉnh của ñồ thị ñều có bậc là 3, nên tổng bậc của các ñỉnh là 3x20=60 Từ
ñó suy ra số cạnh của ñồ thị m=60/20=30 Vì vậy, theo công thức Euler, số miền cần tìm
là
r = 30-20+2=12
Trang 21Bài 2 Biểu diễn ñồ thị trên máy tính
2.1 Một số phương pháp biểu diễn ñồ thị trên máy tính
ðể lưu trữ ñồ thị và thực hiện các thuật toán khác nhau với ñồ thị trên máy tính cần phải tìm những cấu trúc dữ liệu thích hợp ñể mô tả ñồ thị Việc chọn cấu trúc dữ liệu nào
ñể biểu diễn ñồ thị có tác ñộng rất lớn ñến hiệu quả của thuật toán Vì vậy, việc chọn lựa cấu trúc dữ liệu ñể biểu diễn ñồ thị phụ thuộc vào từng tình huống cụ thể (bài toán và thuật toán cụ thể) Trong mục này chúng ta sẽ xét một số phương pháp cơ bản ñược sử dụng ñể biểu diễn ñồ thị trên máy tính, ñồng thời cũng phân tích một cách ngắn gọn những ưu ñiểm cũng như những nhược ñiểm của chúng
2.2.1 Ma trận kề Ma trận trọng số
Xét ñơn ñồ thị vô hướng G =(V,E), với tập ñỉnh V={1, 2, ,n} , tập cạnh E= {e1,
e2, ,em } Ta gọi ma trận kề của ñồ thị G là ma trận
A=( ai,j : i, j = 1, 2, ,n) Với các phần tử ñược xác ñịnh theo qui tắc sau ñây:
ai,j = 1 , nếu có cạnh từ i sang j hay (i, j) ∈ E, i, j =1, 2, ., n
ai, j = 0, trong trường hợp còn lại tức là không có cạnh(i, j)
Ví dụ 2.1 Ma trận trận kề của ñồ thị vô hướng G cho trong Hình 2.1 là:
Trang 22Hình 2.1 ðồ thị vô hướng G và ðồ thị có hướng G1 Các tính chất của ma trận kề:
1) Rõ ràng ma trận kề của ñồ thị vô hướng là ma trận ñối xứng, tức là
a[i,j]=a[j,i], i,j =1,2, .,n Ngược lại, mỗi (0,1)-ma trận ñối xứng cấp n sẽ tương ứng, chính xác ñến cách ñánh số ñỉnh (còn nói là: chính xác ñến ñẳng cấu), với một ñơn ñồ thị
Ma trận kề của ñồ thị có hướng ñược ñịnh nghĩa một cách hoàn toàn tương tự
Ví dụ 2.2 ðồ thị có hướng G1 cho trong Hình 2.1 có ma trận kề là ma trận sau:
Chú ý: Trên ñây chúng ta chỉ xét ñơn ñồ thị Ma trận kề của ña ñồ thị có thể xây dựng hoàn toàn tương tự, chỉ khác là thay vì ghi 1 vào vị trí a[i,j] nếu (i,j) là cạnh của ñồ thị, chúng ta sẽ ghi k là số cạnh nối hai ñỉnh i, j
Trang 23Trong rất nhiều vấn ñề ứng dụng của lý thuyết ñồ thị, mỗi cạnh e=(u,v) của ñồ thị ñược gán với một con số c(e) (còn viết là c(u,v) gọi là trọng số của cạnh e ðồ thị trong trường hợp như vậy ñược gọi là ñồ thị có trọng số Trong trường hợp ñồ thị có trọng số, thay vì mà trận kề, ñể biểu diễn ñồ thị ta sử dụng ma trận trọng số
C= {c[i,j], i, j = 1, 2, ., n}
với c[i,j]=c(i,j) nếu (i,j) ∈ E và c[i,j]= δ nếu (i, j) ∉ E
trong ñó số δ , tuỳ từng trường hợp cụ thể, có thể ñược ñặt bằng một trong các giá trị sau :
0, +∞ , -∞
Ưu ñiểm lớn nhất của phương pháp biểu diễn ñồ thị bằng ma trận kề (hoặc ma trận trọng số) là ñể trả lời câu hỏi: Hai ñỉnh u, v có kề nhau trên ñồ thị hay không, chúng ta chỉ phải thực hiện một phép so sánh nhược ñiểm lớn nhất của phương pháp này là : không phụ thuộc vào số cạnh của ñồ thị, ta luôn phải sử dụng n2 ñơn vị bộ nhớ ñể lưu trữ ma trận
Ví dụ 2.3 Danh sách cạnh (cung) của ñồ thị G (G1) cho trong Hình 2.1 là:
Trang 24for u ∈ Ke(v) do Chẳng hạn, trên PASCAL có thể mô tả danh sách này như sau (Gọi là cấu trúc Forward Star):
Const
Trang 25m=1000; {m-so canh}
n= 100; {n-so dinh}
var
Ke: array[1 m] of integer;
Tro: array[1 n+1] of integer;
Trong ñó Tro[i] ghi nhận vị trí bắt ñầu của danh sách kề của ñỉnh i, i=1, 2, .,n,
Tro[n+1]=2m+1
Khi ñó dòng lệnh qui ước
for u∈ Ke(v) do
begin end
Có thể thay thế bởi cấu trúc lệnh cụ thể trên PASCAL như sau
For i:=Tro[v] to Tro[v+1]-1 do
Trang 26node=record v:integer;
for j:=1 to m do begin
write(‘Cho dinh dau va cuoi cua canh ‘,j,’:’);
Trang 27writeln(‘Danh sachcac dinh ke cua dinh ‘,j,’:’);
t:=Ke[j];
while t^.next<>nil do begin
Trang 28Hình 2.2 Danh sách kề của ñồ thị vô hướng G và có hướng G1 cho trong Hình 2.1
ðể ý rằng trong cách biểu diễn này chúng ta cần phải sử dụng cỡ m+n ñơn vị bộ nhớ
Trong các thuật toán mô tả ở các phần tiếp theo hai cấu trúc danh sách kề và ma trận trọng số ñược sử dụng thường xuyên
Trang 29Bài 3 ðồ thị Euler
Có thể coi năm 1736 là năm khai sinh lý thuyết ñồ thị, với việc công bố lời giải
“bài toán về các cầu ở Konigsberg” của nhà toán học lỗi lạc Euler (1707-1783) Thành phố Konigsberg thuộc Phổ (nay gọi là Kaliningrad thuộc Nga) ñược chia thành bốn vùng bằng các nhánh sông Pregel, các vùng này gồm hai vùng bên bờ sông, ñảo Kneiphof và một miền nằm giữa hai nhánh của sông Pregel Vào thế kỷ 18, người ta xây bảy chiếc cầu nối các vùng này với nhau
Hình 3.1 Mô hình 7 cây cầu ở Konigsberg Dân thành phố từng thắc mắc: “Có thể nào ñi dạo qua tất cả bảy cầu, mỗi cầu chỉ một lần thôi không?” Nếu ta coi mỗi khu vực A, B, C, D như một ñỉnh và mỗi cầu qua lại hai khu vực là một cạnh nối hai ñỉnh thì ta có sơ ñồ của Konigsberg là một ña ñồ thị G như hình trên
Bài toán tìm ñường ñi qua tất cả các cầu, mỗi cầu chỉ qua một lần có thể ñược phát biểu lại bằng mô hình này như sau: Có tồn tại chu trình ñơn trong ña ñồ thị G chứa tất cả các cạnh?
3.1 ðịnh nghĩa
Chu trình ñơn trong ñồ thị G ñi qua mỗi cạnh của nó một lần ñược gọi là chu trình Euler ðường ñi ñơn trong G ñi qua mỗi cạnh của nó một lần ñược gọi là ñường ñi Euler
ðồ thị ñược gọi là ñồ thị Euler nếu nó có chu trình Euler, và gọi là ñồ thị nửa Euler nếu
nó có ñường ñi Euler
Rõ ràng mọi ñồ thị Euler luôn là nửa Euler, nhưng ñiều ngược lại không luôn ñúng
Trang 303.2 Các ví dụ
Ví dụ 3.1 ðồ thị G1 trong Hình 3.2 là ñồ thị Euler vì nó có chu trình Euler a, e, c, d, e, b,
a ðồ thị G3 không có chu trình Euler nhưng nó có ñường ñi Euler a, c, d, e, b, d, a, b, vì thế G3 là ñồ thị cửa Euler ðồ thị G2 không có chu trình cũng như ñường ñi Euler
Hình 3.2 ðồ thị G1, G2, G3
Ví dụ 3.2 ðồ thị H2 trong Hình 3.3 là ñồ thị Euler vì nó có chu trình Euler a, b, c, d, e, a
ðồ thị H3 không có chu trình Euler nhưng nó có ñường ñi Euler c, a, b, c, d, b vì thế H3 là
ñồ thị nửa Euler ðồ thị H1 không có chu trình cũng như ñường ñi Euler
Hình 3.3 ðồ thị H1, H2, H3 ðiều kiện cần và ñủ ñể một ñồ thị là một ñồ thị Euler ñược Euler tìm ra vào năm
1736 khi ông giải quyết bài toán hóc búa nổi tiếng thế giới thời ñó về bảy cái cầu ở thành phố Konigsberg và ñây là ñịnh lý ñầu tiên của lý thuyết ñồ thị
3.3 ðịnh lý Euler và thuật toán Flor
ðịnh lý 3.1 (Euler) ðồ thị vô hướng liên thông G là ñồ thị Euler khi và chỉ khi mọi ñỉnh của G ñều có bậc chẵn
ðể chứng minh ñịnh lý trước hết ta chứng minh bổ ñể:
Bổ ñề 3.1 Nếu bậc của mỗi ñỉnh của ñồ thị G không nhỏ hơn 2 thì G chứa chu trình Chứng minh
Trang 31Nếu G có cạnh lặp thì khẳng ñịnh của bồ ñề là hiển nhiên Vì vậy giả sử G là ñơn
ñồ thị Gọi v là một ñỉnh nào ñó của G Ta sẽ xây dựng theo qui nạp ñường ñi
v → v1 →v2 → trong ñó v1 là ñỉnh kề với v, còn với i ≥ 1 chọn vi+1 ≠ vi-l (có thể chọn vi+1 như vậy là vì deg(vi) ≥2) Do tập ñỉnh của G là hữu hạn , nên sau một số hữu hạn bước ta phải quay lại một ñỉnh ñã xuất hiện trước ñó Gọi ñỉnh ñầu tiên như thế là vk Khi ñó, ñoạn của ñường
ñi xây dựng nằm giữa hai ñỉnh vk là 1 chu trình cần tìm
Chứng minh ñịnh lý:
Cần Giả sử G là ñồ thị Euler tức là tồn tại chu trình Euler P trong G Khi ñó cứ mỗi lần chu trình P ñi qua một ñỉnh nào ñó của G bậc của ñỉnh ñó tăng lên 2 mặt khác mỗi cạnh của ñồ thị xuất hiện trong P ñúng một lần, suy ra mỗi ñỉnh của ñồ thị ñiều có bậc chẵn
ðủ Quy nạp theo số ñỉnh và số cạnh của G Do G liên thông và deg(v) là số chẵn nên bậc của mỗi ñỉnh của nó không nhỏ hơn 2 Từ ñó theo bổ ñề G phải chứa chu trình C Nếu C ñi qua tất cả các cạnh của G thì nó chính là chu trình Euler Giả sử C không ñi qua tất cả các cạnh của G Khi ñó loại bỏ khỏi G tất cả các cạnh thuộc C ta thu ñược một ñồ thị mới H vẫn có bậc là chẵn Theo giả thiết qui nạp, trong mỗi thành phần liên thông của
H ñiều tìm ñược chu trình Euler Do G là liên thông nên trong mỗi thành phần của H có ít nhất một ñỉnh chung với chu trình C
Vì vậy, ta có thể xây dựng chu trình Euler trong G như sau: bắt ñầu từ một ñỉnh nào ñó của chu trình C, ñi theo các cạnh của C chừng nào chưa gặp phải ñỉnh không cô lập của H Nếu gặp phải ñỉnh như vậy ta sẽ ñi theo chu trình Euler của thành phần liên thông của H chứa ñỉnh ñó Sau ñó lại tiếp tục ñi theo cạnh của C cho ñến khi gặp phải ñỉnh không cô lập của H thì lại theo chu trình Euler của thành phần liên thông tương ứng trong H v.v… Quá trình sẽ kết thúc khi ta trở về ñỉnh xuất phát, tức là thu ñược chu trình
ñi qua mỗi cạnh của ñồ thị ñúng một lần
Trang 32Hình 3.4 Minh hoạ cho chứng minh ðịnh lý 3.1
Hệ quả 3.1 ðồ thị vô hướng liên thông G là nửa Euler khi và chỉ khi nó có không quá 2 ñỉnh bậc lẻ
Chứng minh Thực vậy , nếu G có không quá 2 ñỉnh bậc lẻ thì số ñỉnh bậc lẻ của
nó chỉ có thể là 0 hoặc 2 Nếu G không có ñỉnh bậc lẻ thì theo ðịnh lý 3.1, nó là ñồ thị Euler Giả sử G có 2 ñỉnh bậc lẻ là u và v Gọi H là ñồ thị thu ñược từ G bằng cách thêm vào G một ñỉnh mới w và hai cạnh (w,u) và(w,v) Khi ñó tất cả các ñỉnh của H ñiều có bậc chẵn, vì thế theo ðịnh lý 3.1, nó có chu trình Euler C Xoá bỏ khỏi chu trình này ñỉnh
w và hai cạnh kề nó ta thu ñược ñường ñi Euler trong ñồ thị G
Giả sử G là ñồ thị Euler, từ chứng minh ñịnh lý ta có thủ tục sau ñể tìm chu trình Euler trong G
Procedure Euler_Cycle;
Begin
STACK:=∅ ; CE:=∅ ; Chon u la mot dinh nao do cua do thi;
Trang 33Else Begin
x⇐ STACK; CE⇐ x;
End;
End;
End;
Trang 34Bài 4 ðồ thị Hamilton
ðể làm quen với chu chình Hamilton xin mở ñầu bằng bài toán du lịch kín quanh thế giới do Hamilton ñặt ra: Chon trươc 20 thành phố: A1 , A2 , , A20 ðể ñơn giản giả sử rằng các thành phố này là ñỉnh của một Hình 4.1 mặt ñều( ñó k ña diện có 12 mặt ngũ giác ñều và 20 ñỉnh) thay cho trái ñất, còn các cạnh của ña diện biểu hiện cho ñường ñi giữa các thành phố, trên Hình 4.1
Hình 4.1 Du lịch 20 thành phố Liệu một khách du lịch có thể tham quan tất cả 20 thành phố, qua mỗi thành phố ñúng một lầm rồi lại trở về ñược ñiểm xuất phát hay không? và có bao nhiêu cách ñi?
Hamilton ñã giải bài toán trên bằng cách chỉ ra nguyên tắc ñi như sau: khách du lịch khi ñến ñầu mút của mỗi cạnh, nếu anh ta chọn cạnh bên trái mình thì phép chọn ñược ký hiệu bằng T, chọn cạnh phía phải kí hiệu bằng chữ P, và ơ nguyên tại chỗ ký hiệu băng 1 Tích của phép chọn ñi theo cạnh phải rồi ñi tiếp theo cạnh trái, TTT, hay TTP là phép chọn ñi theo cạnh trái hai lần và ñi theo cạnh phải 1 lần.v.v Hai phép chọn bằng nhau,
Trang 35nếu xuất phát từ cùng một ñiểm cả hai ñều cùng ñi tới một ñiểm Tích không có tính chất giao hoán (PT TP), nhưng có tính chất kết hợp ví dụ như (TT)P=T(TP)
Sau này lý thuyết về chu trình Hamilton sẽ giúp ta giải quyết các bài toán tương tự như bài toán du lịch ở trên
4.1 ðịnh nghĩa
ðường ñi qua tất cả các ñỉnh của ñồ thị mỗi ñỉnh ñúng một lần ñược gọi là ñường
ñi Hamilton Chu trình bắt ñầu từ một ñỉnh v nào ñó qua tất cả các ñỉnh còn lại mỗi ñỉnh ñúng một lần rồi quay trở về v ñược gọi là chu trình Hamilton ðồ thị G ñược gọi là ñồ thị Hamilton nếu nó chứa chu trình Hamilton và gọi là ñồ thị nữa Hamilton nếu nó có ñường
ñi Hamilton
Rõ ràng ñồ thị Hamilton là nửa Hamilton, nhưng ñiều ngược lại không còn ñúng
Ví dụ 4.1 Trong hình 4.2: G3 là Hamilton, G2 là nửa Hamilton còn G1 không là nửa
Hamilton
Hình 4.2 ðồ thị Hamilton G3, nửa Hamilton G2 , và G1.Cho ñến nay việc tìm một tiêu chuẩn nhận biết ñồ thị Hamilton vẫn còn là mở, mặc
dù ñây là một vấn ñề trung tâm của lý thuyết ñồ thị Hơn thế nứa, cho ñến nay cũng chưa
có thuật toán hiệu quả ñể kiểm tra một ñồ thị có là Hamilton hay không Các kết quả thu ñược phần lớn là ñiều kiện ñủ ñể một ñồ thị là ñồ thị Hamilton Phần lớn chúng ñiều có
Trang 36dạng "nếu G có số cạnh ñủ lớn thì G là Hamilton" Một kết quả như vậy ñược phát biểu trong ñịnh lý sau ñây
4.2 ðịnh lý và thuật toán liệt kê tất cả các chu trình Hamilton
ðịnh lý 4.1 (Dirak 1952) ðơn ñồ thị vô hướng G với n>2 ñỉnh, mỗi ñỉnh có bậc không nhỏ hơn n/2 là ñồ thị Hamilton
Chứng minh:
Thêm vào ñồ thị G k ñỉnh mới và nối chúng với tất cả các ñỉnh của G giả sử k là
số nhỏ nhất các ñỉnh cần thêm vào ñể cho ñồ thị thu ñược G’ là ñồ thị Hamilton Ta sẽ chỉ
ra rằng k=0 Thực vậy, giả sử ngược lại là k >0 Ký hiệu
v, p, w, , v là chu trình Hamilton trong G’, trong ñó v, w là ñỉnh của G còn p là một trong số các ñỉnh mới Khi ñó w không kề với v vì nếu ngược lại, ta không cần sử dụng p
và ñiều ñó là mâu thuẫn với giả thiết k nhỏ nhất Hơn thế nữa ñỉnh (w’ chẳng hạn) kề với
w không thể ñi liền sau ñỉnh v’ (kề với v) vì rằng khi ñó có thể thay
v → p→ w → → v’→ w’ → → v
bởi v → v’ → → w → w’ → → v bằng cách ñảo ngược ñoạn của chu trình nằm giữa w và v’ Từ ñó suy ra là số ñỉnh của ñồ thị G’ không kề với w là không nhỏ hơn số ñỉnh kề với v (tức là ít nhất cũng là bằng n/2+k), ñồng thời số ñỉnh của G’ kề với w ít ra là phải bằng n/2+k Do không có ñỉnh nào của G’ vừa không kề, lại vừa kề với w, cho nên tổng số ñỉnh của ñồ thị G’ (G’ có n+k ñỉnh) không ít hơn n+2k Mâu thuẫn thu ñược ñã chứng minh ñịnh lý
ðịnh lý sau là tổng quát hoá của ñịnh lý Dirak cho ñồ thị có hướng:
ðịnh lý 4.2 Giả sử G là ñồ có hướng liên thông với n ñỉnh
Nếu deg+ (v) ≥ n/2, deg – (v) ≥ n/2, ∀v thì G là Hamilton
Có một số dạng ñồ thị mà ta có thể biết khi nào là ñồ thị Hamilton Một ví dụ như vậy là ñồ thị ñấu loại ðồ thị ñấu loại là ñồ thị có hướng mà trong ñó hai ñỉnh bất kỳ của
nó ñược nối với nhau bởi ñúng một cung Tên ñấu loại xuất hiện như vậy vì ñồ thị như vậy có thể dùng ñể biểu diễn kết quả thi ñấu bóng chuyền, bóng bàn hay bất cứ một trò chơi nào mà không cho phép hoà Ta có ñịnh lý sau:
ðịnh lý 4.3
i) Mọi ñồ thị ñấu loại là nửa Hamilton
Trang 37ii) Mọi ñồ thị ñấu loại liên thông mạnh là Hamilton
Ví dụ 4.2 ðồ thị ñấu loại D5, D6 ñược cho trong hình 4.3
Hình 4.3 ðồ thị ñấu loại D5, ñấu loại liên thông mạnh D6 Thuật toán liệt kê tất cả các chu trình Hamilton của ñồ thị
Thuật toán sau ñây ñược xây dựng dựa trên cơ sở thuật toán quay lui cho phép liệt kê tất
cả các chu trình Hamilton của ñồ thị
Trang 38Ví dụ 4.3 Hình 4.4 dưới ñây mô tả cây tìm kiếm theo thuật toán vừa mô tả
Hình 4.4 ðồ thị và cây liệt kê chu trình Hamilton của nó theo thuật toán quay lui Trong trường hợp ñồ thị có không quá nhiều cạnh thuật toán trên có thể sử dụng ñể kiểm tra ñồ thị có phải là Hamilton hay không
Trang 39Bài 5 Thảo luận cài ñặt ñồ thị, các thuật toán liệt kê chu trình Euler và Hamilton Thảo luận về bài tập lớn
5.1 Cài ñặt biểu diễn ñồ thị trên máy tính
Chương trình nhập danh sách kề của ñồ thị từ bàn phím và ñưa danh sách ñó ra màn hình Phân tích bài toán :
Trong rất nhiều thuật toán làm việc với ñồ thị chúng ta thường xuyên phải thực hiện các thao tác: Thêm hoặc bớt một số cạnh Trong trường hợp này Cấu trúc dữ liệu dùng ở trên
là không thuận tiện Khi ñó nên chuyển sang sử dụng danh sách kề liên kết (Linked
Adjancency List) như mô tả trong chương trình nhập danh sách kề của ñồ thị từ bàn phím
và ñưa danh sách ñó ra màn hình
5.2 Cài ñặt thuật toán liệt kê chu trình Euler
Tìm chu trình Euler trong ñồ thị G
Cài ñặt chương trình tìm chu trình Euler trong ñồ thị G
Cho ñồ thị G=(X,E) tồn tại chu trình Euler Hãy tìm chu trình (chi trình Euler là chu trình
ñi qua tất cả các cạnh của ñồ thị, mỗi cạnh ñi qua ñúng một lần)
Phân tích bài toán :
ðầu vào: ðồ thị G
ðầu ra: Chu trình Euler (nếu có)
2 Thuật toán:
Xuất phát từ một ñỉnh u bất kỳ, khi ñi qua cạnh nào thì xoá cạnh ñó khỏi ñồ thị và ghi lại
từ trái sang phải Khi thực hiện thuật toán cần lưu ý nếu gặp cạnh bắc cầu giữa 2 thành phần liên thông thì ta phải xoá hết thành phần liên thông rồi mới xoá ñến cạnh bắc cầu Khi xoá cạnh bắc cầu thì phải loại hết các ñỉnh trơ trọi (nghĩa là không kề với bất cứ ñỉnh nào thuộc ñồ thị)
Cấu trúc dữ liệu:
Biểu diễn ñồ thị bằng ma trận kề a(i,j), do ñó lưu ý khi xoá ñi một cạnh ta chỉ việc gán a(i,j)=a(j,i)=0, ñồng thời phải lưu cạnh vừa xoá vào một mảng khác: Mảng Ctr
Trang 40Mảng lt: array [1…Nmax] of integer dùng trong thủ tục tìm thành phần liên thông (giống như một thuật toán tìm thành phần liên thông trình bày ở trên)
Mảng dd: array [1…Nmax] of Boolean, giá trị dd[i] cho biết ñỉnh i bị loại khỏi ñồ thị hay chưa Nếu bị lại thì dd[i]=True; ngược lại dd[i]=False;
