Toán rời rạc-Chương 1: Các khái niệm cơ bản p3 pot

Nguyên lý Nhân.

TOÁN R I R C

Lecturer: PhD Ngo Huu Phuc

Tel: 0438 326 077 Mob: 098 5696 580 Email: ngohuuphuc76@gmail.com

Hai nguyên lý c b n

N I DUNG

1 Nguyên lý Nhân

2 Nguyên lý C ng

3 M t s ng d ng c a nguyên lý Nhân, C ng

1 Khái ni m

 Nghiên c u các bài toán t h p, m t v n đ r t quan

tr ng th ng xuyên đ c quan tâm đ n là s l ng các

ph n t trong t p h p

 Hai nguyên lý c b n sau s đ c p đ n v n đ đó:

2 Nguyên lý Nhân (1/3)

khi đó

) ( )

(

1

2

n

i

n N A A

A A











2 Nguyên lý Nhân (2/3)

Ví d :

 Ký hi u gi ng đ ng c a m t tr ng đ i h c b t đ u b ng m t trong các

ch cái A, B, C, D, E, F và m t s nguyên d ng không v t quá 50 H i nhi u nh t có bao nhiêu gi ng đ ng đ c ký hi u khác nhau?

 Gi i:

 C1: Th t c ghi ký hi u cho m t gi ng đ ng g m hai vi c, gán m t trong 6

ch cái A, B, C, D, E, F và sau đó gán m t trong 50 s nguyên d ng 1, 2,…50 Nguyên lý nhân ch ra r ng có 6 x 50 = 300 cách khác nhau đ ký

hi u cho m t gi ng đ ng Nh v y nhi u nh t có th có 300 gi ng đ ng

đ c ký hi u khác nhau

 C2: N u g i t p ch cái nêu trên là R và t p các s th t c n đánh s là

S, ta có là N(R) = 6, N(S) = 50 Nh v y m i ký hi u gi ng đ ng s g m 2

ph n: ph n ch cái là m t ph n t b t k a  R và ph n s là m t ph n t

b  S, t c là m t ph n t (a,b)  A x B - tích -các c a hai t p R và S Ta

có N(R x S) = N(R) x N(S) = 6 x 50 = 300

2 Nguyên lý Nhân (3/3)

Ví d :

 M t sinh viên có 5 chi c áo s mi khác m u, 3 cái qu n khác m u, 2 đôi

gi y khác ki u N u m i ngày sinh viên đó m c m t ki u khác nhau, thì sau bao nhiêu ngày thì sinh viên đó s ph i l p l i cách trang ph c ngoài?

 Gi i:

 C1: Các cách trang ph c khác nhau khác nhau m t trong ba thành ph n

áo s mi, qu n và gi y ch n áo có 5 cách, ch n qu n có 3 cách và

ch n gi y có 2 cách, nh v y có t t c 5 x 3 x 2 = 30 cách Ngh a là t i đa sau 30 ngày sinh viên đó s ph i l p l i cách trang ph c c a mình

 C2: Bi u di n t p A là t p áo s mi, t p Q là t p qu n, t p G là t p gi y, khi

đó m t b trang ph c g m áo, qu n và gi y là m t ph n t (a, q, g) c a t p tích -các A x Q x G V y t ng só cách đ ch n trang ph c ngoài c a sinh viên là N(A X Q X G)=N(A) X N(Q)X N(G) = 5X 3X 2 = 30

3 Nguyên lý c ng (1/3)

không giao nhau t ng đôi m t Khi đó:

) n

1 i

i A ( N )

n 1 i

i A (









3 Nguyên lý c ng (2/3)

 Ví d :

 Gi s B môn Toán có 17 cán b và B môn Khoa h c máy tính có 13 cán b (m i cán b ch biên ch m t b môn!) H i có bao nhiêu cách

ch n m t đ i bi u đi d h i ngh khoa h c trong s các cán b c a hai b môn trên?

 Gi i:

 C1: Có 17 cách khác nhau đ ch n m t cán b c a B môn Toán (vi c th nh t) và

13 cách khác nhau đ ch n m t cán b c a B môn Khoa h c máy tính (vi c th hai) Rõ ràng là hai công vi c đó không th ti n hành đ ng th i Theo nguyên lý

c ng ta có 17 + 13 = 30 cách ch n v đ i bi u này

 C2: Xem xét theo cách khác, n u ta g i A là t p các cán b B môn Toán và B là t p các cán b B môn Khoa h c máy tính Hai t p đó là hai t p r i nhau (không có

ph n t chung) và N(A) = 17 và N(B) = 13 S cách ch n đ i bi u d h i ngh trong

s các cán b c a hai b môn chính là vi c ch n m t ph n t b t k c a t p AB

Ta có N(AB) = N(A) + N(B) = 30

3 Nguyên lý c ng (3/3)

 Ví d :

 M t đ thi tr c nghi m có th đ c ch n t m t trong ba b đ thi đ c l p

t ng ng có 23, 17 và 29 đ Có bao nhiêu cách ch n khác nhau?

 Gi i:

 C1: Có 23 cách ch n đ thi t danh sách th nh t, 17 cách t danh sách th hai và 29 cách t danh sách th 3 Vì v y có 23 + 17 + 29 = 69 cách đ thi tr c nghi m

 C2: Ký hi u ba b đ thi là A, B, C T ng t nh ví d 2.1.1, ta có s cách

ch n đ thi là N(ABC) = N(A) + N(B) + N(C) = 23 + 17 + 29 = 69

4 M t s ng d ng c a hai nguyên lý c b n (1/5)

 Ví d :

hai cách ho c b ng 0 ho c b ng 1 B i v y, quy t c nhân

đ dài b ng 8

4 M t s ng d ng c a hai nguyên lý c b n (2/5)

 Ví d :

kh i c a thành ph Hà N i n u m i bi n có n i dung ví d

là m t trong 26 ch cái, sau ch cái g m s l n h n 0 và

nh 10, b n s cu i b t k

 Có t t c 26 cách ch n ch cái; 9 cách ch n cho ch s ti p theo

 Vì th theo quy t c nhân, nhi u nh t có 26 X 9 X 10 X 10 X 10X10 =

2 340 000 bi n đ ng ký xe

4 M t s ng d ng c a hai nguyên lý c b n (3/5)

 Ví d :

 Gi s t p A = {a1, a2, … an} Ta có th bi u di n m i t p con  c a A

t ng ng 1-1 v i dãy nh phân có đ dài n trong đó n u ai   thì

ph n t th i c a dãy nh phân t ng ng b ng 1

 T đó suy ra s các t p con c a t p A có n ph n t đúng b ng dãy

nh phân có đ dài n và b ng 2n

4 M t s ng d ng c a hai nguyên lý c b n (4/5)

 Ví d :

 M t kh u c a m t h th ng dài t 6 đ n 8 ký t , trong đó m i ký t là m t ch Latinh vi t hoa hay m t ch s M i m t kh u ph i ch a ít nh t m t ch s H i

có bao nhiêu m t kh u?

 Gi i:

 G i P là t ng s m t kh u có th và P6, P7, P8 t ng ng là s m t kh u dài 6, 7, 8

ký t Theo quy t c c ng ta có: P = P6 + P7 + P8 C n tính P6, P7, P8

 tìm P6 d h n ta tính s các xâu dài 6 ký t là các ch in hoa ho c ch s , r i

b t đi s các xâu dài 6 ký t là các ch in hoa và không ch a ch s nào Theo quy

t c nhân s các xâu dài 6 ký t là 36 6 và s các xâu không ch a các ch s là 26 6

Vì v y:

P6 = 36 6 - 26 6 = 2 176 782 336 - 308 915 776 = 1 867 866 560

 Hoàn toàn t ng t , ta có:

P7 = 36 7 - 26 7 = 78 364 164 096 - 8 031 810 176 = 70 332 353 920

P8 = 36 8 - 26 8 = 2 821 109 907 456 - 208 827 064 576 = 2 612 483 063 360

 Nh v y ta có: P = P6 + P7 + P8 = 2 684 483 063 360

4 M t s ng d ng c a hai nguyên lý c b n (5/5)

 Ví d :

đ ng viên thi b n súng (k c nam và n ) là 14 S n v n

đ ng viên thi b i b ng s nam thi b n súng H i toàn đoàn

 Gi i :

 Chia đoàn thành 2: nam và n , ta ký hi u t ng ng là các t p A, B

 S n l i đ c chia 2 nhóm thi b n súng A1và thi b i A2 Thay s n

b i là N(A2) b ng s nam thi b n súng là N(B1) ta đ c s n b ng

t ng s đ u th thi b n súng T đó theo nguyên lý c ng toàn đoàn

có 10+14=24 ng i