khảo sát hàm số

Các bứơc khảo sát hàm số y=fxi Tập xác định: nhận định thêm về hàm số chẳn, hàm số lẻ,hàm số tuần hoàn ii Sự biến thiên: 1 Tìm giới hạn ,tiệm cận nếu có 3 Lập BBT xác định các khoảng

1 Các bứơc khảo sát hàm số y=f(x)

i) Tập xác định: (nhận định thêm về hàm số chẳn, hàm

số lẻ,hàm số tuần hoàn)

ii) Sự biến thiên:

1) Tìm giới hạn ,tiệm cận ( nếu có )

3) Lập BBT xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến

iii) Đồ thị:

• Tìm giao điểm (nếu có) của đồ thị với trục tung và trục

hoành các điểm phụ và vẽ đồ thị đi qua các điểm đã tìm.

2) Chiều biến thiên : ( Tính y’, kháo sát dấu y’ )

4) Cực trị ( nếu có )

5)Điểm uốn có hoành độ là nghiệm của đạo hàm cấp 2

y’ = 6x2-6x, y’=0 ⇔ x=0 hoặc x=1.

y’ >0 trên (-∞;0) và (1; +∞), y’ <0 trên (0;1)

Ví dụ 2: Khảo sát hàm số y = -x3+3x2-3x+2

x=0 ,y = 1 (1;0) và(-1/2;0) là giao điểm của đồ thị với

Điểm uốn

6 5 4 3 2 1

-1 -2 -3 -4

1/2 I

Chú ý 1: Đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm

Chú ý 2: Tiếp tuyến tại điểm uốn có phương trình:

Tịnh tiến hệ trục toa độ theo véctơ: , với

⇔ là hàm số lẻ trên R nên đò thị hàm số này nhận điểm I làm tâm đối xứng

y’’=-6(x-1) ,y’’=0⇔ x=1 Đ.uốn I(1;1)

e) điểm uốn

3)Đồ thị: Giao điểm với trục Ox: (2;0) Giao điểm với trục Oy: (0;2)Tiềp tuyến tại điểm uốn(1;1) là : y=1

Chú ý:

•Nếu y’=0 có hai nghiệm phân biệt thì hàm số có cực đại

và cực tiểu và đồ thị có hai dạng sau:

-2 -4 -6

•Nếu y’ =0 có nghiệm kép, hàm số đơn điệu, tiếp tuyến tại điểm uốn cùng phương với trục hoành Đồ thị có dạng

sau:

8 6 4 2

-2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10

8 6 4 2

-2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10

8 6 4 2

-2 -4 -6 -10 -5 5 10

8 6 4 2

-2 -4 -6 -10 -5 5 10

2) Hàm số y =ax4+bx2+c (a ≠ 0)

Ví dụ1: Khảo sát hàm số: y= x4-2x2-3

2) Sự biến thiên:

•y’ > 0 trên (-1;0)và (1;+∞) , y’ < 0 trên (0;1) và (-∞;-1)

3 3

3 3

−

3 3

3 3

3) Đồ thị : Đồ thị nhận Oy là trục đối xứng và cắt oy tại(0;-3) ĐT cắt Ox tai hai điểm ( − 3;0) and ( 3;0)

e) Tính lồi lõm, điểm uốn:

Tóm tắt: y =ax 4 +bx 2 +c (a≠0)

5 4 3 2 1

-1 -2 -3 -4 -5 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8

5 4 3 2 1

-1 -2 -3 -4 -5 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8

5 4 3 2 1

-1 -2 -3 -4 -5 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8

5 4 3 2 1

-1 -2 -3 -4 -5 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8

ii) Giải biện luận phương trình y =0.

iii) Tìm m để đồ thị cắt trục hoành 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng

Hàm số

-x+2 2x+1

•Y’ không xác định tại x=-1/2

•Y’<0 ,∀x ≠ -1/2 Vậy hàm số nghịch biến trên cácKhoảng (-∞;-1/2) và (-1/2;+∞)

b) Cực trị : hàm số không có cực trị

c) Giới hạn:

x y

Chú ý: Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận I (-1/2;-1/2)

làm tâm đối xứng.Tịnh tiến hệ trục toạ độ theo véctơ

2

x y

x

− +

=

+

Ví dụ 2) Khảo sát hàm số: 2 1

1

x y

•Đồ thị có tiệm cận đứng : x = -1

1 2

lim lim 2

1 1

x y

3) Đồ thị: giao điểm của đồ thị với trục tung: (0;-1) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (1/2;0).

O

•Nếu ad-bc ≠ 0 thì đồ thị có tiệm cận đứng: x = -d/c.

Tiệm cận ngang: y = a/c

•Giao điểm của hai tiệm cận ( -d/c;a/c) là tâm đối xứngTXĐ:

Đồ thị có hai dạng sau:

6 4 2

-2 -4 -6 -8

f x ( ) = a⋅ x+b

c ⋅ x+d

-1 2

I O M

6 4 2

-2 -4 -6 -8

d

cx d c c cx d c x

c

a ad bc hay y

Hàm số:

2

ax +bx+ca'x+b'

2

x -3x+6 x-1

(x-1)

y =

y’ =0 ⇔x = -1, x = 3.Dấu y’ là dấu của x2-2x-3.Y’> 0 nếu x<-1 hoặc x> 3 và y’<0 nếu -1< x < 3.Vậy hàm số tăng trên các khoảng(-∞;-1) và (3;+∞)hàm số giảm trên các khoảng(-1;1) và (1;3)

Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và yCĐ=y(-1)=5Hàm số đạt cực tiểu tại x=3 và yCT=y(3)=3

3) Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại (0;-6) , đồ thị không cắttrục hoành

Gọi I(1;-1) là giao điểm hai tiệm cận Tịnh tiến hệ trục toạ độ theo véc tơ OI,ta có:

− − +

=

+1)Tập xác định: R\{-2}

2) Sự biến thiên:

a) Chiều biến thiên

y’=-2-3/(x+2)2<0 ∀x≠-2,hàm số nghịch biến trênhai khoảng (-∞; -2) và (-2; +∞)

3 lim lim ( 2 1 )

2 3 lim lim ( 2 1 )

3 lim lim ( 2 1 )

2 3 lim lim ( 2 1 )

2 3 lim( ( 2 1)) lim 0

Tóm tắt: ax +bx+c 2

Ax+B+

C y

Ca y

•Tiệm cận xiên: y =Ax+B

•Giao điểm hai tiệm cận là tâm đối xứng

Đồ thị có các dạng sau:

8 6 4 2

-2 -4 -6 -8

8 6 4 2

-2 -4 -6

8 6 4 2

-2 -4 -6 -8

8 6 4 2

-2 -4 -6