bài toán liên quan khảo sát hàm số

Bài 7: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN

KHẢO SÁT HÀM SỐ

Hãy tìm toạ độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số sau :

GiẢI

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) :

(C) : y x = + 2x

I Bài toán: Tìm toạ độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số

3 + 2 2 = x 2 +

1, 1, 2,

x x x

=





⇔  = −

 = −



y=3 y= 1 y=0 Vậy (C) và (d) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt A(1:3), B(-1:1) ,C (-2;0)

và (d): y = x + 2

3 2 2 2 0

⇔ x + x x− − =

(d): y

= x+

2

(C): y= x 3 +2x 2

A

C

B

II BÀI TOÁN: Biện luận số giao điểm của 2 đồ thị hàm số

Cho (C) : y= f(x)

(G): y = g(x) Hãy biện luận số giao điểm của (C) và (G)

PP:

+ Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (G) :

f(x) = g(x) (1) Giải và biện luận pt (1) , có bao nhiêu nghiệm thì (C) và (G)

có bấy nhiêu giao điểm

Ví dụ: Cho hàm số và đường thẳng (d) đi qua

A(-4;0) và có hệ số góc là m Hãy biện luận theo m số

giao điểm của (C) và (d)

2

x 2 y

x

+

=

GIẢI

Phương trình đường thẳng (d) : y = mx+4m

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) :

2

mx 4m

x + = +

BIỆN LUẬN PT (1)

TH1 : m 1 0 m 1 − = ⇔ =

4x 2 0 x

2

− = ⇔ =

(1)

⇒ pt (1) có 1 nghiệm ⇒ (C) và (d) có 1 giao điểm

TH2 : m 1 0 m 1 − ≠ ⇔ ≠

2

(m 1)x− + 4mx 2 0− =

Qui đồng ta được

PT:

Khi x = 0 , Pt (1) trở thành : -2 = 0 (vô nghiệm với ∀m) nên

2

mx 4m

x + = + ⇔ (m 1)x− 2 + 4mx 2 0− =

Bảng xét dấu của ∆'

m -1 1/ 2

+ 0 - 0

'

∆

Vậy ta có:

+ m< -1 V ½ < m < 1 V m>1

+ m = -1 V m= ½

+ -1 < m < ½ ⇒ Pt (1) vô nghiệm ⇒ (C) và (d) không có giao điểm

++

⇒ Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt

⇒ (C) và (d) có 2 giao điểm

⇒ Pt (1) có 1 nghiệm

⇒ (C) và (d) có 1 giao điểm

2

III BÀI TOÁN: Biện luận số nghiệm của phương trình

Cho phương trình h(x) = 0 (Có chứa tham số là m)

PP:

+ Đưa h(x) = 0 về dạng : f(x) = g(m) ( *)

+ Pt (*) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

(C) : y= f(x) và đường thẳng nằm ngang (d) : y = g(m)

+ Vậy để biện luận (*) ta đi bl số giao điểm của (C) và (d)

bằng cách vẽ đồ thị của chúng trên cùng 1 hệ trục toạ độ

CHÚ Ý: “Số giao điểm = số nghiệm của phương trình”

Hãy dùng đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của PT trên theo tham số m

Ví dụ:

1) Vẽ đồ thị (C) hàm số : y = x3 - 3x2 + 2

2) Dùng (C) biện luận theo a số nghiệm của phương trình :

x3 - 3x2 - a = 0

GIẢI

1

1

2

2 -2

-1

-1

- 2

4

-3

3

-4

4 -4

(C): y = x 3 -3x 2 +2

1)

(C) : y = x3 - 3x2 + 2 đã vẽ

(d) : y = a + 2 cùng phương trục Ox (có dạng nằm ngang) Biến đổi ta được : x3 - 3x2 + 2 = a + 2 (*)

Phương trình (*) là pt hoành độ giao điểm của (C) và (d)

1

2

2 -2

-1 -1

-2

4

-3

3

-4

4 -4

(C): y = x 3 -3x 2 +2

• •a+2 (d): y= a+2

(C): y = x 3 -3x 2 +2

.

Từ đồ thị ta có:

⇒ (C) Và (d) có 1 giao điểm

a 2 2 a 4

a 2 2 a 0

+

(C): y = x 3 -3x 2 +2

Từ đồ thị ta có:

⇒ (C) Và (d) có 1 giao điểm

a 2 2 a 4

a 2 2 a 0

a 2= 2 a 4

+ − = −

 ⇔ 

 + =  =

⇒ Pt (*) có 1 nghiệm

⇒ Pt (*) có 2 nghiệm +

+

(C): y = x 3 -3x 2 +2

Từ đồ thị ta có:

⇒ (C) Và (d) có 1 giao điểm

a 2 2 a 4

a 2 2 a 0

a 2= 2 a 4

a 2 2 a 0

2 a 2 2 4 a 0

− < + < ⇔ − < <

⇒ Pt (*) có 1 nghiệm

⇒ Pt (*) có 2 nghiệm

⇒ (C) Và (d) có 3 giao điểm

⇒ Pt (*) có 3 nghiệm +

+

+