Bài tập Đại số tuyến tính

Do đó, hạng của ma trận và ánh xạtuyến tính là một, nhưng điều đó cũng có nghĩa là ta có thể chứng minh các bất đẳng thứchoặc đẳng thức về hạng theo cách ma trận hoặc ánh xạ tuyến tính..

Math231: Bài tập Đại số tuyến tính

(Bản nháp, đang hoàn thiện)

Trần Đức Anh, mail: ducanh@hnue.edu.vn

2021-2022

Mục lục

1.1 Khái niệm không gian vector 2

1.2 Tổ hợp tuyến tính 2

1.3 Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính 3

1.4 Khái niệm không gian vector con 4

1.5 Cơ sở và bổ sung thành cơ sở 4

1.6 Tổng và giao của hai không gian vector con; Không gian vetor con sinh bởi một tập 5

1.7 Tập con độc lập tuyến tính tối đại và hạng của hệ vector 5

1.8 Hạng của ma trận 5

2 Ánh xạ tuyến tính 7 2.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn 7

2.2 Ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính 8

2.3 Hạng của ánh xạ tuyến tính 8

2.4 Tự đồng cấu và tổng trực tiếp 9

2.5 Không gian vector đối ngẫu - Ánh xạ tuyến tính đối ngẫu 9

2.6 Hệ phương trình tuyến tính 10

2.7 Định thức 12

3 Cấu trúc của tự đồng cấu 14 3.1 Giá trị riêng và vector riêng 14

3.2 Tự đồng cấu chéo hóa được; Bội đại số, bội hình học 14

3.3 Không gian con bất biến 15

3.4 Tự đồng cấu, ma trận lũy linh 15

3.5 Dạng chuẩn Jordan 16

3.6 Định lý Cayley-Hamilton; Đa thức tối tiểu của ma trận 17

3.7 Phương trình đa thức ma trận 18

4 Không gian vector Euclid 19 4.1 Dạng song tuyến tính Tính chất cơ bản của không gian vector Euclid 19

4.2 Ánh xạ tuyến tính trực giao & Ma trận trực giao 20

4.3 Dạng toàn phương 21

4.4 Ma trận đối xứng thực & Toán tử đối xứng 22

4.5 Tính toán vector; Khoảng cách; Định thức Gram; Trực giao hóa Gram-Schmidt 22 4.6 Một số định lý phân tích ma trận 24

Chương 1

Không gian vector

1.1 Khái niệm không gian vector

1 Xét tập R3 cùng với hai phép toán + và được định nghĩa như sau:

1.3 Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính

6 Các tập vector dưới đây trong R3 là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

8 (Lấy từ [4]) Cho (a, b) và (c, d) là hai vector trong mặt phẳng Chứng minh rằng nếu

ad − bc = 0 thì hai vector phụ thuộc tuyến tính Nếu ad − bc 6= 0 thì hai vector này độc lậptuyến tính

9 (Lấy từ [3] và [4]) Xét trong không gian vector C[a, b] các hàm số thực liên tục trên đoạn[a, b], hệ vector nào sau đây độc lập tuyến tính?

(a) (t − 1)2, (t − 2)2, (t − 3)2

(b) 1, et, e−t

(c) sin x, sin 2x, , sin kx với k là số nguyên dương

(d) (giả thiết thêm [a, b] ⊂ R+) t, 1/t

1.4 Khái niệm không gian vector con

12 Tập nào dưới đây là không gian vector con của R3?

a) Các vector có dạng (a, 0, 0) với a ∈ R?

b) Các vector có dạng (a, 1, 1)?

c) Các vector có dạng (a, b, c) với b = a + c?

d) Các vector có dạng (a, b, c) với b = a + c + 1?

13 Ký hiệu P3 là tập tất cả các đa thức một biến hệ số thực có bậc 3 Đây là một R−khônggian vector Hỏi rằng tập con nào sau đây là không gian vector con của P3?

a) Các đa thức a0+ a1x + a2x2+ a3x3 với a0 = 0 ?

b) Các đa thức a0+ a1x + a2x2+ a3x3 với a0+ a1+ a2+ a3 = 0 ?

c) Các đa thức a0+ a1x + a2x2+ a3x3 với a0, a1, a3 là các số nguyên?

1.5 Cơ sở và bổ sung thành cơ sở

14 Chứng minh hệ 2 vector {(1, 2, 3, 4), (2, 3, 0, 1)} là độc lập tuyến tính trong R4 Hãy bổsung thêm 2 vector để hệ này trở thành một cơ sở của R4

15 Hệ vector nào sau đây là cơ sở của kgvt R4? Khi đó, hãy tìm tọa độ của vector ~v =(1, 9, 8, 1)

17 Xét tập V = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1+ 2x2 = 3x3 + 4x4}

(a) Chứng minh rằng V là một không gian vector con của R4

(b) Cho các vector α = (3, 0, 1, 0) và β = (0, 4, 0, 2) là các vector độc lập tuyến tính trong

V Bổ sung thêm các vector để thu được một cơ sở của V

(bài tập II.26, giáo trình)

18 Giả sử ~α1, ~α2, , ~αn là một cơ sở của R−kgvt V Chứng minh rằng hệ vector ~α1, ~α1−2~α2, ~α2− 3~α3, , ~αn−1− n~αn cũng là một cơ sở của V

(bài tập II.19, giáo trình)

1.6 Tổng và giao của hai không gian vector con; Không

gian vetor con sinh bởi một tập

19 Cho U là không gian vector con sinh bởi

(bài 3.24, sách Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập của GS Lê Tuấn Hoa)

1.7 Tập con độc lập tuyến tính tối đại và hạng của hệ

(bài 3.44 sách Toán cao cấp tập 1 của GS Nguyễn Đình Trí chủ biên, tái bản lần 6)

24 Chứng minh rằng 3 điểm (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) ∈ R2 là thẳng hàng khi và chỉ khi

x1 x2 x3

y1 y2 y3

1 1 1

= 0

25 Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp Chứng minh rằng rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}

26 Chứng minh rằng nếu A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn A2 = I với I là ma trận đơn

vị, thì

rank(A + I) + rank(A − I) = n

27 Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B)

b) rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}

c) rank(AB) ≥ rank(A) + rank(B) − n

(lưu ý: hai bất đẳng thức sau là bất đẳng thức Sylvester; ý c) chưa giảng vì hơi phức tạp,sinh viên cần phải đọc phần Phụ lục Chương III trong sách Toán cao cấp tập 1 )

28 Chứng minh rằng nếu hạng của một ma trận bằng r thì mỗi định thức con nằm trên giaocủa r hàng bất kỳ độc lập tuyến tính với r cột bất kỳ độc lập tuyến tính đều khác 0

Chương 2

Ánh xạ tuyến tính

2.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn

29 Các ánh xạ sau từ R4 → R4 có phải là ánh xạ tuyến tính không? Khi đó tìm ma trậncủa ánh xạ tuyến tính đó trong cặp cơ sở chính tắc Cơ sở chính tắc là cơ sở gồm các vector(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)

a) (x1, x2, x3, x4) 7→ (x1x2, x2− x1, x3, x4)

b) (x1, x2, x3, x4) 7→ (ax2, x2− x1, x3, x4) với a là số thực cố định nào đó

c) (x1, x2, x3, x4) 7→ (0, x3, x2, x1+ x2+ x3+ x4)

(Bài tập III.10, giáo trình)

30 Ánh xạ f : R3 → R2 nào dưới đây là tuyến tính? Giải thích

31 Cho h : R3 → R2 là ánh xạ tuyến tính Cho (e1, e2, e3) là một cơ sở của R3 và (f1, f2) làmột cơ sở của R2 Giả sử ma trận của h trong cặp cơ sở (e1, e2, e3) và (f1, f2) là

A =2 −1 1

3 2 −3

.a) Ta xét một cơ sở mới trong R3 như sau:

e01 = e2+ e3; e02 = e3 + e1; e03 = e1+ e2.Xác định ma trận của h trong cặp cơ sở (e01, e02, e03) và (f1, f2)

b) Ta xét một cơ sở mới cho R2 là:

32 Tồn tại hay không ánh xạ tuyến tính f : R2 → R3 nhận các ma trận A = 

2.2 Ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính

33 Cho không gian vector con V = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0} Tìm một ánh xạ tuyếntính f : R4 → R3 thỏa mãn Im(f ) = V

35 Cho f : E → F và g : E → G là các ánh xạ tuyến tính Chứng minh rằng điều kiện cần

để tồn tại ánh xạ tuyến tính h : F → G sao cho g = h ◦ f là ker f ⊂ ker g Hỏi rằng đây cóphải là điều kiện đủ không?

2.3 Hạng của ánh xạ tuyến tính

Nhận xét: Ma trận cũng có thể coi là ánh xạ tuyến tính Do đó, hạng của ma trận và ánh xạtuyến tính là một, nhưng điều đó cũng có nghĩa là ta có thể chứng minh các bất đẳng thứchoặc đẳng thức về hạng theo cách ma trận hoặc ánh xạ tuyến tính Ưu điểm của cách matrận là dễ tiếp cận với nhiều người học không chuyên ngành Toán Ưu điểm của cách sử dụngánh xạ tuyến tính là tính trừu tượng, do đó đôi khi thu được lời giải rất ngắn gọn, ví dụ bấtđẳng thức Sylvester có thể giải quyết khá ngắn gọn nhờ vào định lý về đồng cấu tuyến tính

36 Cho f, g : V → W là hai ánh xạ giữa hai không gian vector hữu hạn chiều Chứng minhrằng :

|rank f − rank g| ≤ rank(f + g) ≤ rank f + rank g

37 (Bất đẳng thức Sylvester ) Cho f : E → F và g : F → G là các ánh xạ tuyến tính giữa cáckhông gian vector hữu hạn chiều Chứng minh rằng:

(a) rank(gf ) ≤ min(rank f, rank g) và

(b) rank f + rank g ≤ rank(gf ) + dim F

Ghi chú 38 Bất đẳng thức Sylvester thường được viết dưới dạng ma trận như sau Giả sử

A, B ∈ Rn,n Khi đó ta có bất đẳng thức sau

rank A + rank B ≤ rank(AB) + n

39 (Bất đẳng thức Frobenius) Cho A, B, C ∈ Rn,n Chứng minh rằng

rank(AB) + rank(BC) ≤ rank B + rank(ABC)

2.4 Tự đồng cấu và tổng trực tiếp

40 Cho f : V → V là một tự đồng cấu tuyến tính thỏa mãn f ◦ f = f Chứng minh rằng

V = Im(f ) ⊕ Ker(f )

41 Cho f : V → V là một tự đồng cấu tuyến tính thỏa mãn f ◦ f ◦ f = f Chứng minh rằng

V = Ker(f ) ⊕ Ker(f − Id) ⊕ Ker(f + Id)

42 Cho f : V → V là một tự đồng cấu tuyến tính thỏa mãn f ◦ f = Id Chứng minh rằng

V = Ker(f − Id) ⊕ Ker(f + Id)

43 Cho f : V → V là một tự đồng cấu tuyến tính thỏa mãn f ◦ f = 3f − 2Id Chứng minhrằng

V = Ker(f − Id) ⊕ Ker(f − 2Id)

2.5 Không gian vector đối ngẫu - Ánh xạ tuyến tính đối

ngẫu

44 Cho f : V → V là một tự đồng cấu của không gian vector hữu hạn chiều V Ký hiệu M

là ma trận của f trong một cơ sở nào đó Khi đó ta định nghĩa vết của f là vết của M Kýhiệu vết của f là Tr(f )

(a) Chứng minh rằng vết của f không phụ thuộc vào ma trận biểu diễn

(b) Chứng minh rằng Tr(f ) = Tr(f∗) với f∗ là ánh xạ đối ngẫu của f

45 Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vector hữu hạn chiều Chứngminh rằng:

(a) f là đơn cấu khi và chỉ khi f∗ là toàn cấu

(b) f là toàn cấu khi và chỉ khi f∗ là đơn cấu

(c) f là đẳng cấu khi và chỉ khi f∗ là đẳng cấu

Bình luận Tôi nghĩ là kết quả vẫn đúng khi V và W có chiều vô hạn, nhưng tôi chưa nghĩcẩn thận chuyện ý Một hệ quả của bài tập này là bài tập sau

46 Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vector hữu hạn chiều Chứngminh rằng

rank f = rank(f∗)

Bình luận Bài tập trên cho ta một chứng minh của đẳng thức

rank(A) = rank(AT)với A ∈ Rm,n bất kỳ Vì sao?

47 Cho V là một không gian vector hữu hạn chiều và f1, , fn là một cơ sở của V∗ Chứngminh rằng tồn tại một cơ sở (e1, , en) của V sao cho (f1, , fn) là cơ sở đối ngẫu của(e1, , en)

dim Ker(f1) ∩ ∩ Ker(fm) = n − m

50 Cho V là không gian vector và f, f1, , fn ∈ V∗ Giả sử Ker(f ) ⊃ Ker(f1) ∩ ∩ Ker(fn).Chứng minh rằng f là một tổ hợp tuyến tính của f1, f2, , fn

52 Với giá trị nào của a thì hệ sau không có nghiệm duy nhất

(

x − 2y = 53x + ay = 3 ?(đề cuối kỳ Math231T, kỳ 3/2020/2021)

53 Với giá trị nào của a, b thì hệ sau không có nghiệm duy nhất

(

x − by = 53x + ay = 3 ?

54 Giải và biện luận theo các tham số

59 Cho A là ma trận vuông cấp m × n Tìm điều kiện cần và đủ về hạng của A để hệ phươngtrình tuyến tính AX = B có nghiệm với mọi vector cột B ∈ Rm

60 Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B thỏa mãn: A, B là các ma trận có hệ số hữu tỷ

và hệ có nghiệm Chứng minh rằng hệ này có một nghiệm gồm toàn bộ là các số hữu tỷ

62 Biết số nghịch thế của dãy a1, a2, , anbằng k Tìm số nghịch thế của dãy an, an−1, , a1.

63 Cho A ∈ Rn,n Chứng minh rằng det A 6= 0 khi và chỉ khi các cột của A độc lập tuyếntính

64 Cho A = (aij) là ma trận vuông cấp n với hệ số thực thỏa mãn aij = 1 − δij, với δij là kýhiệu Kronecker Tính det A

cos(a1− b1) cos(a1− b2) cos(a1− bn)cos(a2− b1) cos(a2− b2) cos(a2− bn)

cos(an− b1) cos(an− b2) cos(an− bn)

,