Gợi ý Bài tập này khó, nếu bạn không biết khái niệm đa thức Chebyshev.. Tính chất, cách tính định thức Ghi chú: Phần này tôi viết chủ yếu là để giúp các bạn học tốt hơn về lý thuyết, chứ
Trang 1Danh sách bài tập ĐSTT số 9 cho K65, khoa Toán-Tin
Giảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn nếu bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập.
Tháng 11/2015
Bài tập 1 (Bài này dùng để gợi ý giải bài tập số 7 Danh sách 8) Cho V, W là hai không gian vector trên trường số thực Cho U ⊂ V là không gian vector con Cho f : U → W là một ánh xạ tuyến tính Chứng minh rằng tồn tại ánh xạ tuyến tính g : V → W sao cho g|U = f
Ký hiệu g|U nghĩa là ánh xạ hạn chế của g lên tập U
Bài tập về Định thức
Bài tập 2 Tính hợp thành của các phép thế sau và viết phép thế thu được thành tích các xích rời rạc và tính dấu của chúng
2 4 5 1 3
1 2 3 4 5
4 3 5 1 2
3 5 4 1 2
1 2 3 4 5
4 3 1 5 2
(c) (1, 2)(2, 3) (n − 1, n)
Bài tập 3 Cho a1, a2, , an là một dãy số thực đôi một phân biệt Một cặp số (i, j) với
1 ≤ i < j ≤ n được gọi là nghịch thế của dãy số trên nếu ai > aj Biết số nghịch thế của dãy
a1, a2, , an bằng k Tìm số nghịch thế của dãy an, an−1, , a1
Bài tập 4 Cho A ∈ Rn×n Chứng minh rằng det A 6= 0 khi và chỉ khi các dòng (hoặc các cột) của A độc lập tuyến tính
Bài tập 5 Tính các định thức sau
(a)
x a a a
a x a a
a a a x
, (b)
cos(a1− b1) cos(a1− b2) cos(a1− bn) cos(a2− b1) cos(a2− b2) cos(a2− bn)
cos(an− b1) cos(an− b2) cos(an− bn)
,
(c)
x1 a2 a3 an
a1 x2 a3 an
a1 a2 x3 an
a1 a2 a3 xn
Trang 2
Bài tập 6 Tính định thức Vandermonde
a1 a2 an−1 an
an−11 an−12 an−1n−1 an−1n
Bài tập 7 Tính
1 cos ϕ1 cos 2ϕ1 cos(n − 1)ϕ1
1 cos ϕ2 cos 2ϕ2 cos(n − 1)ϕ2
1 cos ϕn cos 2ϕn cos(n − 1)ϕn
Gợi ý Bài tập này khó, nếu bạn không biết khái niệm đa thức Chebyshev
Bài tập 8 Tính
Gợi ý Nếu bạn biết khái niệm dãy sai phân, thì bạn có thể giải quyết bài này dễ dàng Nếu bạn không biết thì hãy cố gắng đoán công thức và dùng quy nạp
Bài tập chưa chắc sẽ chữa, vì chính tôi còn chưa nghĩ :D
Bài tập 9 Tính det(|i − j|)n×n
Bài tập 10 Cho A = (aij) là ma trận vuông cấp n với hệ số thực thỏa mãn aij = 1 − δij, với δij là ký hiệu Kronecker, nghĩa là δij = 0 nếu i 6= j và δij = 1 nếu i = j Tính det A Bài tập 11 Tính các định thức sau
(a)
(b)
Tính chất, cách tính định thức
Ghi chú: Phần này tôi viết chủ yếu là để giúp các bạn học tốt hơn về lý thuyết, chứ những gì viết ở đây có hết trong bất kỳ cuốn giáo trình ĐSTT nào
Trong mục này, tôi nhắc lại một cách rất sơ lược những nét cần chú ý về định thức Các bạn nên tham khảo [1] để có chứng minh đầy đủ và để hiểu chính xác khái niệm khó này Cho A là một ma trận vuông cấp n với hệ số trong trường R Khi đó ta gắn với A một con số gọi là định thức của A, ký hiệu là det A Nếu ký hiệu v1, v2, , vn là các vector cột của A, (như vậy vi ∈ Rn với mọi i) thì ta có thể viết det A = det(v1, v2, , vn) Tóm lại ta có thể coi det là một ánh xạ det : Rn× × Rn
n lần
→ R
Lưu ý : ta hoàn toàn có thể coi det là ánh xạ của các vector hàng của A
Trang 3Tính chất 1 : det là ánh xạ đa tuyến tính Nghĩa là
det(av1 + bv10, v2, , vn) = a det(v1, v2, , vn) + b det(v01, v2, , vn)
với mọi v1, v10, v2, vn∈ Rn và a, b ∈ R Nói cách khác, khi cố định n − 1 biến, thì det là ánh
xạ tuyến tính với biến còn lại
Ở đây tôi chỉ viết tính chất này cho biến đầu tiên vì tiện, chuyện đó cũng xảy ra với các biến khác
Tính chất 2 : Tính chất thay phiên Nếu vi = vj với i 6= j nào đó thì
det(v1, v2, , vi, , vj, , vn) = 0
Tính chất 3 : Tính chất phản đối xứng Tức là nếu đổi chỗ hai vector (hay đổi chỗ hai dòng của ma trận) thì định thức đổi dấu Cụ thể
det(v1, v2, , vi, , vj, , vn) = − det(v1, v2, , vj, , vi, , vn)
với mọi v1, v2, , vn∈ Rn và mọi i 6= j
Để tính định thức, ta có một vài cách Các bạn có thể tham khảo [2], trong đó có tóm tắt các cách làm, như vậy tiết kiệm thời gian tra cứu hơn Tuy nhiên, ta ghi lại một vài cách sơ lược
Cách 1 : Dùng định nghĩa Cách này dài dòng, và không có tính thực tế, nhưng trong các bài tập lý thuyết thì cũng có thể dùng nhiều
Cách 2 : Dùng biến đổi sơ cấp chuyển ma trận về tam giác trên Biến đổi sơ cấp ở đây là biến đổi có dạng
v1 7→ v1+ a2v2 + + anvn
với ai ∈ R Khi đó định thức
det(v1+ a2v2+ + anvn, v2, v3, , vn) = det(v1, v2, , vn)
Các bạn tự chứng minh sự kiện này bằng cách áp dụng tính chất thay phiên
Như vậy biến đổi sơ cấp không làm thay đổi định thức, và ta biết rằng ta hoàn toàn có thể dùng biến đổi sơ cấp để chuyển ma trận về dạng tam giác trên Khi đó, định thức của ma trận tam giác trên chính là tích các phần tử đường chéo
Cách 3 : Dùng khai triển Laplace Tức khai triển định thức theo dòng hay theo cột (một hoặc nhiều) Đây là cách làm khá phổ biến
Một số cách khác, nhưng mẹo mực Ví dụ : dựa vào tính chất det(AB) = det(A) det(B),
ta có thể tính định thức của ma trận nếu phân tích nó thành tích, hoặc nếu biết ma trận là hạng tử nhân của một tích nào đó Những bài tập kiểu này có khá nhiều trong [2] nhưng toàn
là bài khó
Một cách khác là dùng khai triển Laplace để chuyển định thức về dạng truy hồi Thuật ngữ này hơi khó hiểu một chút, ta sẽ mô tả nó bằng bài tập
Trang 4Một số bài tập nâng cao
Mục này thêm vào để các bạn có thêm một danh sách bài tập khá thú vị để luyện tập với kiến thức mà các bạn đã biết
Bài tập 12 Giả sử A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn A2 = I, với I là ma trận đơn vị Chứng minh rằng rank(A + I) + rank(A − I) = n
Bài tập 13 Cho ma trận vuông A có hệ số là các số nguyên Tìm điều kiện cần và đủ để A khả nghịch và A−1 cũng gồm các hệ số là số nguyên
Bài tập 14 Giả sử trong ma trận A = (aij) ∈ Rn×n đã cho trước các phần tử aij với i 6= j Chứng minh rằng ta có thể điền vào đường chéo chính các phần tử 0 hoặc 1 để ma trận A không suy biến
Bài tập 15 (Định lý đẳng cấu Noether) Cho E1 và E2 là các không gian con của không gian vector E nào đó Chứng tỏ rằng không gian (E1 + E2)/E2 đẳng cấu với không gian
E1/(E1∩ E2)
Bài tập 16 Cho A và B là hai ma trận vuông giao hoán với nhau và B là ma trận lũy linh Chứng minh det(A + B) = det A
Bình luận Đây là một bài thi cuối kỳ môn này ở ĐHSPHN Có hai lời giải : một là trong cuốn [3], hai là sử dụng định lý về tam giác trên đồng thời(1)
Tham khảo
[1] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính
[2] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập
[3] Nguyễn Doãn Tuấn, Phan Huy Phú, Bài tập Đại số tuyến tính
[4] Simultaneous triangularization, http://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_matrix# Simultaneous_triangularisability
(1) Ta sẽ giới thiệu sau: tiếng Anh là Simultaneous triangularization, xem [4]