Mục tiêu của ta là tìm ra công thức tính các phần tử của dãy số này, và ta làm theo các bước sau đây.. Như vậy, việc tìm công thức tính các phần tử của dãy {xn} được quy về việc tính lũy
Trang 1Danh sách bài tập ĐSTT cuối cùng cho K65 khoa
Toán-Tin
Giảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn nếu bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập.
Tháng 12/2015
Dạng toàn phương
Bài tập 1 Dưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc và chuẩn tắc Tính chỉ số quán tính của các dạng toàn phương đó
(a) x21+ x22+ 3x23+ 4x1x2+ 2x1x3+ 2x2x3 trong R3
(b) x1x2+ x1x3+ x1x4+ x2x3+ x2x4+ x3x4 trong R4
Bài tập 2 Tìm tất cả các giá trị λ sao cho các dạng toàn phương sau là xác định dương (a) x21+ x22+ 5x23+ 2λx1x2− 2x1x3+ 4x2x3
(b) x2
1+ 4x2
2+ x2
3+ 2λx1x2+ 10x1x3+ 6x2x3
Dãy sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 2
Bài tập 3 Cho hai số phức s, p Xét dãy số {xn}n≥0 với x0, x1 cho trước và xnđược cho bởi công thức truy hồi sau
xn+2 = sxn+1− pxn với mọi n ≥ 0 Mục tiêu của ta là tìm ra công thức tính các phần tử của dãy số này, và ta làm theo các bước sau đây
Đặt Un=
xn
xn+1
với n ≥ 0 Đặt A = 0 1
−p s
(a) Chứng minh rằng Un+1 = AUn với mọi n, và từ đó suy ra Un = AnU0 Như vậy, việc tìm công thức tính các phần tử của dãy {xn} được quy về việc tính lũy thừa An
(b) Tính đa thức đặc trưng của A
(c) Cho s = 5, p = 6 Tính giá trị riêng của A Với mỗi giá trị riêng của A, tìm một cơ sở của không gian con riêng tương ứng
(d) Cấu tạo ma trận C có hai cột chính là hai vector riêng mà bạn vừa tìm được ở câu trên Tính
D = C−1AC Chứng minh rằng Un= CDnC−1U0
(e) Kết luận công thức tính các phần tử của dãy số xn trong trường hợp đặc biệt s = 5, p = 6
1
Trang 2Ma trận đối xứng thực
Ma trận vuông A ∈ Rn×n được gọi là ma trận đối xứng nếu A = AT Ma trận này rất độc đáo
ở chỗ: Ma trận này chéo hóa được bởi ma trận trực giao Tức là tồn tại ma trận trực giao Q sao cho QTAQ là ma trận đường chéo Ngoài ra, các giá trị riêng của ma trận đối xứng thực A luôn
là các số thực
Ma trận vuông Q được gọi là trực giao nếu nó là ma trận hệ số thực và QTQ = I Từ định nghĩa của ma trận trực giao, bạn hãy suy ra kết quả sau: Các cột của ma trận trực giao lập thành
cơ sở trực chuẩn của Rn Lưu ý: QT = Q−1, nên QTAQ là ma trận đồng dạng của A
Ưu điểm của ma trận trực giao là cho phép tính ma trận nghịch đảo khá đơn giản, chỉ cần lấy chuyển vị Vì thế ma trận trực giao hay được sử dụng trong tính toán số (nghĩa là ngành Toán nghiên cứu thuật toán và làm sao cho tốc độ tính toán nhanh nhất có thể)
Bài tập 4 (Bất đẳng thức Rayleigh) Cho A ∈ Rn×n là ma trận đối xứng thực Cho λ1 và λn lần lượt là giá trị riêng nhỏ nhất và lớn nhất của A Với mỗi vector x ∈ Rn mà ta coi như ma trận cột cỡ n × 1, ký hiệu kxk =√
xTx, và được gọi là độ dài của vector x Chứng minh bất đẳng thức sau:
λ1kxk2 ≤ xTAx ≤ λnkxk2
Gợi ý Đầu tiên bạn cần chứng minh rằng: Nếu Q là trận trực giao thì kQxk = kxk với mọi vector cột x ∈ Rn
Bài tập 5 Cho A = (aij)1≤i,j≤n ∈ Rn×n là ma trận đối xứng thực nửa xác định dương (tức là
xTAx ≥ 0 với mọi vector cột x ∈ Rn) Ký hiệu r là số lớn nhất trong các giá trị riêng của A Chứng minh bất đẳng thức sau
|aij| ≤ r ≤ Tr(A) trong đó T r(A) là vết của ma trận A
Định thức Gram
Ghi chú: Định thức Gram là công cụ để định nghĩa diện tích và thể tích thấp chiều Ví dụ trong không gian 3 chiều, bạn muốn định nghĩa diện tích của tam giác phẳng 2 chiều như thế nào? Định thức Gram giúp bạn làm việc đó Và vì thế, khi nghiên cứu các hình học phức tạp hơn, thì định thức Gram sẽ xuất hiện ở các công thức tích phân là điều dễ hiểu
Bài tập 6 Cho V là một không gian vector Euclide và v1, v2, , vk là các vector nào đó của V Đặt
Gr(v1, v2, , vk) = det(hvi, vji)k×k Định thức này được gọi là định thức Gram (hoặc Gram-Schmidt) của hệ vector v1, , vk (a) Chứng minh rằng Gr(v1, , vk) ≥ 0
(b) Chứng minh rằng : Nếu định thức Gram của v1, , vk khác 0 thì hệ vector v1, , vk độc lập tuyến tính
Ý nghĩa hình học của định thức Gram Định thức Gram của hệ k vector chính là bình phương thể tích k−chiều của hình hộp định nghĩa bởi k vector đó Các bạn hãy thử với 1,2,3 vector để thấy điều đó
Bài tập 7 Chứng minh rằng định thức Gram Gr(v1, v2, , vk) không thay đổi sau quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt Tức là, nếu e1, e2, , ek là kết quả nhận được từ việc áp dụng quá trình này cho v1, v2, , vk thì
Gr(v1, , vk) = Gr(e1, , ek) = ke1k2 kekk2
2