Tháng 12/2015 Thuật ngữ cần biết 1 Tập các giá trị riêng của tự đồng cấu f hay ma trận vuông A được gọi là phổ của f hoặc phổ của A.. Lưu ý Tìm vector riêng có nghĩa là tìm một cơ sở của
Trang 1Danh sách bài tập ĐSTT số 11 cho K65 khoa Toán-Tin
Giảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn nếu bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập.
Tháng 12/2015
Thuật ngữ cần biết
(1) Tập các giá trị riêng của tự đồng cấu f hay ma trận vuông A được gọi là phổ của f (hoặc phổ của A)
(2) Cho λ là một giá trị riêng của ma trận vuông A Bội đại số của λ là số mũ của nhân tử
x − λ trong phân tích của đa thức đặc trưng det(A − xI) thành tích các nhân tử tuyến tính Bội hình học của λ là chiều của Ker(A − λI)
Bài tập tính toán
Bài tập 1 Tìm các giá trị riêng và vector riêng của các ma trận sau
(a)
2 −1 2
5 −3 3
−1 0 −2
, (b)
4 −5 2
5 −7 3
6 −9 4
Lưu ý Tìm vector riêng có nghĩa là tìm một cơ sở của không gian con riêng ứng với giá trị riêng nào đó
Bài tập 2 Tính các giá trị riêng của các ma trận sau, tính bội đại số và bội hình học của các giá trị riêng này, từ đó xác định xem các ma trận hệ số phức sau có chéo hóa được không?
(a)
−1 3 −1
−3 5 −1
−3 3 1
, (b)
6 −5 −3
3 −2 −2
2 −2 0
, (c)
1 1 1 1
1 1 −1 −1
1 −1 1 −1
1 −1 −1 1
Trong trường hợp ma trận A ở trên chéo hóa được, hãy tìm ma trận khả nghịch C sao cho
C−1AC là ma trận chéo Xem cách tính C ở bài tập 3
Bài tập lý thuyết
Bài tập 3 Giả sử A là ma trận vuông cấp n chéo hóa được, và giả sử C là ma trận vuông
mà các cột của nó lập thành một cơ sở của Cn (hoặc Rn) và mỗi cột là một vector riêng của
A Chứng minh rằng C−1AC là ma trận đường chéo mà các phần tử chéo là các giá trị riêng của A
Bài tập 4 Giả sử p > 0 là bội đại số của giá trị riêng λ0 của ma trận vuông A cấp n Gọi r
là hạng của A − λ0I Chứng minh rằng
1 ≤ n − r ≤ p
1
Trang 2Bài tập 5 Chứng minh rằng nếu mọi vector khác ~O của một tự đồng cấu đều là vector riêng thì tự đồng cấu đó bằng k · Id với k là vô hướng nào đó
Bài tập 6 Cho A là ma trận vuông lũy linh Hỏi A có những giá trị riêng nào? Đa thức đặc trưng của A có công thức là gì?
Bài tập 7 Giả sử A và B là hai ma trận vuông cùng cấp, cùng có hệ số trong C, giao hoán với nhau Giả sử A có tất cả các giá trị riêng phân biệt Chứng minh rằng mỗi vector riêng của A là vector riêng của B và tồn tại một cơ sở gồm các vector riêng của A và B
Bài tập 8 Cho tự đẳng cấu ϕ của không gian vector V Chứng minh rằng nếu λ là một giá trị riêng của ϕ thì λ−1 là một giá trị riêng của ϕ−1
Bài tập 9 Chứng minh rằng tổng và giao của các không gian con bất biến cũng là các không gian con bất biến
Bài tập 10 Giả sử ϕ là tự đồng cấu của không gian vector V Giả sử U = U1⊕ U2⊕ ⊕ Us
là tổng trực tiếp các không gian con bất biến đối với ϕ Chứng minh rằng
ϕ(U ) = ϕ(U1) ⊕ ⊕ ϕ(Us)
Bài tập 11 Cho ϕ là tự đồng cấu của Cn có n giá trị riêng phân biệt Tìm số các không gian con bất biến của ϕ
Bài tập 12 Cho A, B ∈ Cn×n Chứng minh rằng hai ma trận AB và BA có cùng tập các giá trị riêng Khó hơn, chứng minh rằng hai ma trận đó có cùng giá trị riêng tính cả bội (hay nói cách khác là có cùng đa thức đặc trưng)
Bài tập 13 Nghiên cứu mối quan hệ giữa các giá trị riêng của ma trận A2 và của ma trận A
Một kiểu bài tập trong Hình học xạ ảnh
Bài tập 14 Tìm tất cả các không gian con bất biến của ma trận sau
−16 −20 2
16 20 −1
−5 −6 1
2