Phan huy phú bài tập đại số tuyến tính

Trang 1 PHAN HUY PHU - NGUYEN DOAN TUAN BÀI TẬP NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trang 2 PHAN HUY PHU - NGUYEN DOAN TUAN BAI TAP DAI SO TUYEN TINH Trang 3 Chịu trách nhiệm xuất

PHAN HUY PHU - NGUYEN DOAN TUAN

BÀI TẬP

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

PHAN HUY PHU - NGUYEN DOAN TUAN

BAI TAP DAI SO TUYEN TINH

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Chịu trách nhiệm xuất bản

Giám đốc: NGUYÊN VĂN THỎA Tổng biên tap: NGUYÊN THIỆN GIÁP

Biên tập: HUY CHU

LOI NOI DAU

Môn Đại số tuyến tính được đưa vào giảng dạy ở hầu hết

các trường đại học và cao đẳng như là một môn học cơ sở cần thiết để tiếp thu những môn học khác Nhằm cung cấp thêm

một tài liệu tham khảo phục vụ cho sinh viên ngành Toán và

các ngành Kĩ thuật, chúng tôi biên soạn cuốn "Bài tập Đại số

tuyến tính" Cuốn sách được chia làm ba chương bao gồm những vấn dé cd ban của Đại số tuyến tính: Định thức và ma trận - Không gian tuyến tính, ánh xạ tuyến tính, hệ phương

trình tuyến tính - Dạng toàn phương

Trong mỗi chương chúng tôi trình bày phần tóm tắt lý

thuyết, các vi dy, các bài tập tự giải và cuối mỗi chương có phần hướng dẫn (HD) hoặc đáp số (8) Các ví dụ và bài tập được chọn lọc ở mức độ từ trung bình đến khó, có những bài tập mang tính lý thuyết và những bài tập rèn luyện kĩ năng nhằm

giúp sinh viên hiểu sâu thêm môn học

Chúng tôi xin cảm ơn Ban biên tập nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện để cuốn sách sớm được ra mắt bạn đọc

Mặc dù chúng tôi đã sử dụng tài liệu này nhiều năm cho

sinh viên Toán Đại học Sư phạm Hà Nội và đã có nhiều cố gắng khi biên soạn, nhưng chắc chắn còn có khiếm khuyết Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của độc giả

Hà Nội, tháng 3 năm 2001

Nhóm biên soạn

§1 Không gian véc tơ

§2 Ánh xạ tuyến tính

§ 3 Hệ phương trình tuyến tin!

§4 Cấu trúc của tự đồng cấu

B- Ví dụ

§1 Không gian véc tơ và ánh xạ tuyến tính

§2 Hé phuong trinh tuyén tinh eee essences nese 104

§3 Cấu trúc của một tự đồng cấu

D Hướng dẫn hoặc đáp số

-110

„122 -125

§1 Không gian véc tơ và ánh xạ tuyến tính

§ 2 Hệ phương trình tuyến tính

§3 Cấu trúc của một tự đồng cấu

Chương IIT: DẠNG TOÀN PHƯƠNG - KHÔNG GIAN VÉC TƠ

ØCLIT VÀ KHÔNG GIAN VÉC TƠ UNITA .-.- 134

A Tém tat ly thuyét

§1 Dạng song tuyến tính đối xứng và dang toàn phương 134

§ 2 Không gian véc tơ Ơclit

§3 Không gian véc tơ Unita

D Hướng dẫn hoặc đáp số 50c tre 179

"Tài Hệu tham KHẢO: ccocadointoiaetgaugs8is0484gis0n 0s 192

0, Ơy Ơy Ơn

Ở đó ơi = ø(1), ơ; = ơ(9), ơạ = ơ(n)

Tập các phép thế bậc n với phép nhân ánh xạ lập thành

một nhóm, gọi là nhóm đối xứng bậc n, kí hiệu S„ Số các phần

tử của nhóm S„ bằng nl = 1, 2 n

Khi n > 1, cặp số {i, j} &không thứ tự) được gợi là một nghịch

thế của ơ nếu số (i - j) (ơ,- ø) âm Phép thế ơ được gọi là chẵn nếu số nghịch thế của ơø chăn, ø được gọi là phép thế lẻ nếu số nghịch thế của ơ lẻ

| 1néus la phép thé chan

Ki hiéu sgno =

-1néuo la phép thé lé

và sgnơ gọi là dấu của phép thế o Néu o va 1 là hai phép thé

cung bac, thi sgn(o oT) = sgn(o) sgn(T)

Phép thế ø được gọi là một vòng xích độ dài k nếu có k số i¡,

iy, , i, d6i mot khac nhau dé o(i,) = ig, ø(Œ;) =i, , ø(¿) = i,

và ơ() = ¡ với mọi ¡ #i¡, i Vong xich đó được kí hiệu là

(, lạ 1) Mọi phép thế đều phân tích được thành tích những

vòng xích độc lập

Một vòng xích độ dài 2 được gọi là một chuyển trí Vòng

xích (¡, i„, ., Í) phân tích được thành tích (i¡„ i)đ,, i⁄.,) ( in)

§2 ĐỊNH THỨC

1 Giả sử K là một trường (trong cuốn sách này ta chủ yếu xét K là trường số thực IR hoặc trường số phức C) Ma trận kiểu (m, n) với các phần tử trên trường K là một bảng chữ nhật gồm

m hàng, n cột các phần tử a¡ e K,¡= 1m, J Ln Tập các ma

trận kiểu (m, n) được kí hiệu M(m, n, R) Ma trận vuông cấp n

là ma trận có n dòng, n cột Tập các ma trận vuông cấp n với các

phần tử thuộc trường K kí hiệu là Mat(n, K)

2 Cho ma trận A vuéng cap n, A = (aj), i, j = 1, 2 me Định thức của ma trận A, kí hiệu đet A là một phần tử của K được xác định như sau:

detA = Ysen(o)ajecr) + B99(2) + Angin) +

e5,

3 Tính chất của định thức

a) Nếu đổi chỗ hai dòng (hoặc hai cột) nào đó của ma trận

A, thì định thức của nó đổi đấu

b) Nếu thêm vào một dòng (hoặc một cột) của ma tran A một tổ hợp tuyến tính của những dòng (hoặc những cột) khác, tít thì định thức không thay đổi.

c) Nếu một dòng (hay một cột) phân tích thành tổng, thì

Công thức trên được gọi là công thức khai triển định thức theo dòng hay theo cột

Va Guiecide 1Sji<j<2.<j <n 1<ken, đặt Ai ‘i la i

định thức của ma trận vuông cấp k nằm ở các dòng Ì¡, i¿ và các

ở đó j¡ j, là k cột cố định Tổng được lấy theo tất cả các bộ (i¡ iy)

sao cho 1 <i¡ <i;¿< <i¿ <n Công thức trên được gọi là công thức khai triển định thức theo k cột j¡, .j, Tương tự, ta có công thức khai triển theo k dòng Khi k = 1, ta được công thức đã nói

trong mục a

§3 MA TRẬN

1 Ma trận kiểu (m, n) với các phần tử trên trường K đã được giới thiệu trong §2 Tập các ma trận kiểu (m, n) với các phần tử trên trường K được kí hiệu là Mat(m, n K) A e Mat(m, n K) được viết A =(aj) i=1,m; j=1,2 n hay ré rang hon:

10

2 Cac phép toán trên Mat(m, n, K)

Cho A = (ai), B= (bị) thuộc Mat(m, n, K)

Ta có:

a) Ma trận C=(cj) ở đó œ¡ = aj + bị

được gọi là tổng của hai ma trận A và B và kí hiệu là A +B

Ma trận D = (d,) ở đó dụ = aj - bị

được gọi là hiệu của ma trận A và B và kí hiệu là A - B

b) Với ke R, ma trận kA có các phần tử là (ka¡,) được gọi

là tích của ma trận A với phần tử k của trường K

e) Nếu A= (aj) € Mat(m, n, K) và

được gọi là tích của hai ma trận B và A

Với A, B e Mat(n, K), ta có det(AB) = detA detB

11

đ) Tập Mat(n, K) các ma trận vuông cấp n với phép toán cộng lập thành một nhóm giao hoán, còn với phép toán cộng ma trận và phép nhân ma trận lập thành một vành không giao

hoán, có đơn vị

3 Hạng của ma trận; Ma trận nghịch đảo

Giả sử A e Mat(m, n, K), ta định nghĩa hạng của ma trận A

là cấp cao nhất của định thức con khác không rút ra từ ma trận

A Khi A € Mat(n, K) va hang A = n (ta ciing ding kí hiệu hạng

A là rang A) thi ma tran A gọi là không suy biến, khi đó

detA # 0 và tổn tại duy nhất ma trận B thuộc Mín, K) để

A.B=B.A =1; ở đó I, là ma trận đơn vị Ma trận B được gọi là

ma trận nghịch đảo của ma trận A và kí hiệu là A''

Gia si A =(Aj)là ma trận phụ hgp cua ma tran A = (aj),

A, la phan phy dai sé cda phan ti ay; At 1a ma tran chuyển

Vậy ơ có 5 nghịch thế nên sgnơ = -l

b) Ta hãy tính số nghịch thế của hoán vị (1, 4, 7 3n-2, 2,

5, 8 3n-l, 3, 6, ẩn)

1 không tham gia vào nghịch thế nào

4 tham gia vào 2 nghịch thế với các số đứng sau nó

7 tham gia vào 4 nghịch thế

3n - 2 tham gia vào 2(n - 1) nghịch thế với các số đứng sau nó

3 không tham gia vào nghịch thế nào với các số đứng sau nó

ð tham gia vào 1 nghịch thế với các số đứng sau nó

8 tham gia vào 2 nghịch thế với các số đứng sau nó

đn - 1 tham gia vào (n - 1) nghịch thế với các số đứng sau nó

ác số 3, 6, 9 3n không tham gia vào nghịch thế nào với các số đứng sau nó

13

nghich thé trong hoan vi da néu va do dé sgn 8 = (-1) °

Hãy xác định dấu của:

Vi du 1.3

' Chứng minh rằng việc nhân một phép thế với chuyển trí

đ, j) về bên trái tương đương với việc đổi chỗ các số

Nhắc lại rằng một vòng xích (a,, ag, ., a„) là một phép thế

ø các số tự nhiên từ 1 đến n sao cho ø(a,) = a,,, (i = 1, m-1) và ø(a„) = a¡, còn ø() = / nếu Ï # a; với mọi ¡ = 1, m Vòng xích (aj, a, a,,) goi 1a c6 dé dai m

Ta đã biết mỗi vòng xích độ dài m déu phan tich duge thành m - 1 chuyển trí Vì vậy g o F` phân tích được thành tích

con f= 128 on Ta sẽ chứng tỏ rằng không đưa

n1 2 n-1

f về g được bằng ít hơn n - 1 phép chuyển trí

16

¢ 1 8 ø Be VIÊN CS

Với một phép thế h = " „ ta nói rằng ¡ là

hy hy hy phần tử chính quy nếu h, > ¡ Để ý rằng nếu nhân vào bên trái của h một chuyển trí thì số phần tử chính quy tăng cùng lắm là một đơn vị Thật vậy, nếu ngược lại, chẳng hạn ¡, j là hai phần

tử không chính quy của h mà nếu đổi chỗ h, với h; ta lại được hai phần tử chính quy (của phép thế mới) thé thi: hj <i, h,< j nhung hj 2 i, h,>j vô lý

Do f chỉ có một phần tử chính quy, và g có n phần tử chính quy, vì vậy không thể đưa f về g bằng ít hơn n - 1 phép chuyển trí

nghịch thế, 0 <k< = thì có thể déi ché hai phan tu a;, a, nào

đó để thu được hoán vị J có k + 1 nghịch thế Thật vậy, trước hết ta nhận thấy rằng nếu œ,> œ„¡ với mọi ¡= 1, 2, , n-1 thì

aco ce nghịch thế Vì vậy, do số nghịch thế của œ là k < g,

nén ton tai ip dé ai, <đi vi:

Xét hoán vị B = (B¡, B,) trong d6 B, =a, néu i # ig, ip + 1,

con Bi, =),41 + Biv =a), thì rõ ràng Ð có nhiều hơn œ một

nghịch thế Nghĩa là số nghịch thế của B là k + 1

17

£€ |24_

Cách 2 Xét phép thế đồng nhat op = (1, 2 , n) mdi lan chuyển số nhỏ nhất sang bên phải một đơn vị, ta được một phép thế mới có số nghịch thế lớn hơn phép thế cũ 1 đơn vị, sau n bước ta được phép thé o,., = (2, 3, n, 1), làm tiếp tục như vậy với số hai, cuối cùng ta được phép thế

Dễ thử thấy với n = 2, 3, 4, bài toán đúng

Giả sử bài toán đúng với n > 4; Ta chứng minh nó đúng với n+1;nghĩa là với 0< k < Câu , ta chứng tỏ có ø e S„¡ để số

nghịch thế của ø bằng k Ta xét hai trường hợp:

a) Với 0< k< C2, theo giả thiết quy nạp có T € Sn để 1 có

b) Với k> C2, don> 3 nên C2, =k< Cả

Vi vậy, theo giả thiết quy nạp có phép thé te S, để 1 có

đúng € 3 ? ¡—k nghịch thế Khi đó xét

18

: _( 1 3 nm n+l

ø= thì ø có đúng k nghịch thế (n41 mow |

Vì các vòng xích có mặt trong khai triển của f đều có độ dài

19

ap? ag® an? |

Hay D, =(a, -a;).-.(a, —ay_1)-Dy_) » 5 d6

D,., 14 dinh thc Vandermonde cta cac sé aj, a,.)-

Nhận xét là D, = 1, từ đó ta có:

Dạ = T[@; a):

Vi du 1.8

Cho ma tran vuéng cép n A = (a,))

ở đó a, = min(i, j) Hay tinh detA

Lời giải:

Cách 1: Ta có

ar) _

Nhân cột thứ nhất của ma trận A với -k rồi cộng vào cột

thứ k, ta được:

1 =1 -9 -(n-1)

1 0 -1 -(n-2) detA=/1 0 0 -(@n-3)

0 0 0 1 2cosư

21

Dy = 2cosa Dy, - Dy; =

= 2.cosa coska - cos(k -1)a

= (cos(k+1)a + cos(k-1)a) - cos(k-1)a = cos(k+1)a

Nhu vay D, =cosna

ở đó các phần tử trên đường chéo chính bằng nhau và bằng

e?°+e"”; các phần tử trên hai đường xiên gần nhất với đường

chéo chính bằng 1, còn các phần tử khác bằng 0

22

Tacé A, =(e® +e%)A, | - A n-2

9 pet? —e7M® g(M=VO_ gino -

1 a ay a, +b,

Ta bổ sung để được ma trận c&p (n+2):

Với ¡ = 0, 1, , n; còn phản tử ở cột cuối bằng

Cry (cen)!

¡ nghĩa là dòng thứ nhất có dạng:

các số hạng ở dòng cuối đều bằng (n+1) ! Để đơn giản kí hiệu

và cách viết ta đặt x¿= x+ k,k=0,1, n, 6 dong thi hai tu dưới lên của ( #'), ta có:

(PGR), POIs ony POG) = (QUEL) Bọ # yy ony (DEL) Ie, + ay)

Dòng thứ ba từ dưới lên của ma trận (*) cé dang

(“ z Xo †8iXg+A 2 (n+1)! 5 +RiXn tay)

Cộng vào dòng này hai dòng cuối sau khi nhân với các số

Lời giải:

Nhận xét rằng nếu ta thêm vào một phần tử a¿ nào đó của

ma trận vuông Á một số chẵn, thì định thức của ma trận nhận được sẽ sai khác với định thức của ma trận Á một số chẵn Vì thế nếu ta bớt đi 2000 đơn vị ở những phần tử bằng 2001 của A,

thì tính chẫn lẻ của định thức của A không thay đổi, nghĩa là:

detA = detB (mod 2) ở đó B = (bj)

nhân dòng đầu với -1 rồi cộng vào các đòng còn lại ta được:

0 1 1 1 1-1 0 0 detB=]1 0 -1 0

1 0 0 -1 Cộng vào cột thứ nhất tất cả các cột còn lại ta có:

Vì CỊ +ơj" = ce nên hiệu của mỗi phần tử với phần tử

đứng bên trái nó thì bằng phần tử đứng ngay trên nó Để tính

D, ta lấy cột thứ n trừ đi cột n-1, rồi lấy cột n-1 trừ đi cột n- 9, lấy cột thứ 2 trừ đi cột thứ nhất, ta có:

28

sau n -1 bước như vậy, ta được:

8 cosp -sing ) ( cosp -sing cos2p -sin2p

sing cosp sing cos@ ˆ sin2p cos2p

29

coskg -sinko

Giả sử: at-| }sax=k n-1

sink cosk@

A"=A"'A= i [ cos(n-1)p -sin(n-1)@ cosp -sing

sin(n-1)p cos(n 1)@ sing cos cos(n-1)pcosp-sin(n-1)gsing -cos(n-1)@ sing- sin(n - 1)p |

sin(n - 1)@ cos@ + cos(n - 1)@ sine _ cos(n - l)@ coso - sin(n -1)9 sing

Hãy chứng mình: Tích của hai ma trận phản đối xứng A và

B là một ma trận phần đối xứng khi và chỉ khi AB = -BA

Tời giải:

Giả sử A=(ap), B= (bị) ở đó aj +a, =0, bị + bạ =0

với mọi ¡, j = l, , n

n Đặt C=A.B=(cy)i cy = 4; jx

1

D=B.A= (dụ), ` jk *

Ta c6: ej = Lab <The ¡=4 kí:

Như vậy AB phân đối xứng ©@eœ„ = -œ¡, Vì, k

©e¿= -dị với mọii,k @ AB = -BA

C= An Ang Ayn 9 0 0

-1 0 0 by by by

0 -1 0 bại by by,

o 0 T1 Đạp bag + Pan

31

Khai triển theo n dòng đầu (theo định lý Laplace), ta có

đetC = detA detB (1)

Mặt khac, bién déi ma tran C bdi phép bién déi sơ cấp sau: Nhân cột thứ nhất với b,;, cột thứ hai với b,,, ., cot thit n vdi b,,

rồi cộng vào cột thứ n + j = 1, 9, n), ta được ma trận D dạng sau mà định thức của D và của € bằng nhau:

a, Ay = Ay Ay, Ay - d In

Ag) Age Bạn đại dạy « đạn

D= Aan Ans Amn Ay dhe đạn

Khai triển theo n cột cuối (theo định lý Laplace) ta có:

detD = det(dij) = det(A B) (2)

Từ (1) và (2) và do detC = detD nên ta có:

đet(A¿ B) = detA detB

cột j„ của AX là 0 Từ điều kiện AX = XA suy ra x¡, =0 Như

b b a a) Chung minh detA = (a-b)""! (a + (n-1)b)

b) Trong trudng hgp detA # 0 Hãy tính ma trận nghịch đảo Ä'! của ma tran A

33

Gọi B = (bụ) là ma trận nghịch đảo của A = (a,)

\

Ta biết rằng bị, = a Aj, 6 đó A, la phan phụ đại số cua phan tt a; trong ma tran A

ab b

Với mỗi ithì Aj = là định thức cấp (n-1)

b b a Theo phần a) thì A; = (a-b)"? (a + (n-9)b)

34

a+(n-3)b

(a+(n=1)b).(a=b)ˆ

Với i#j thì A¿j= c1}? M,, ở đó MỤ, là định thức cấp n-1,

có được bằng cách xóa dòng thứ ¡ và cột thứ j của ma trận A Do

A đổi xứng nên A, = Aj Gia str rằng ¡ < j, khi đó cột thứ ¡ va

dòng thứ j-1 của My gồm toàn những phần tử b Nếu đổi chỗ đồng j - 1 lên trên dòng đầu (giữ nguyên các dòng khác), rồi lại

đổi cột ¡ lên cột thứ nhất (và vẫn giữ nguyên các cột khác), thì

1.4 Kí hiệu (n, k) là số các hoán vị của 1, 2 n có đúng k nghịch thế Chứng mình công thức truy hồi sau:

(nt1, k) =(n, k) + (n, k~1) + + (n, k-n)

với quy ước (n, j) = 0 nếu j<0 hoặc j> Cả

1.5 Ta gọi độ giảm của phép thế f là hiệu của số các phần

tử không bất động (nghĩa là số các phần tử ¡ mà f() # i) và số các vòng xích độ đài lớn hơn 1 trong phân tích của f thành tích các vòng xích độc lập

a) Chứng minh f có cùng tính chất chăn lẻ với độ giảm của nó b) Chứng minh rằng số tối thiểu các nhân tử trong phân tích của f thành tích các chuyển trí bằng độ giảm của f

1.6 Đối với hai số x và n nguyên, n # 0, ta kí hiệu ríx, n) là

số dư khi chia x cho n: 0 < ríx, n) <n Chứng mình rằng nếu n> 2 và a là số nguyên, nguyên tố đối với n, thì tương ứng kh>r(ak, n) là một phần tử của S„„ k e ƒ1 n-]1

1.7 Chứng minh rằng mỗi phép thế cấp k > 1, đều phân

tích được thành tích những chuyển trí dạng (1, j) với ¡ = 1, 2

36

1.8 Xác định dấu của các phép thế sau:

1.12 Chứng tỏ các định thức sau đây bằng không:

1 cosa cos2a cosäœ

j cosa cos2a cos3a cos4œ

a

cos2a cos3a cos4œ cosðœ cos3a cosda cosSa cos6a

37

38

a,-b, ay-by a,-b,

a,-b, ag-be a;=b

1.17 Cho da thtte P(x) = (x - ay)(x - a2) (x - a,)

ở đó a, là các số thực đôi một phân biệt Hãy tính định thức sau:

Hay chung minh det J # 0 Hay tinh ma tran AJ tu dé suy

ra gia tri detA Hay néu bai toan tuong tu khi A va J la cac ma