Chứng minh rằng định thức của ma trận vuông A bằng tích của tất cả các giá trị riêng tính cả bội.. Ngoài kết quả này ra, ta còn có kết quả sau: Vết của ma trận vuông A bằng tổng của các
Trang 1Danh sách bài tập ĐSTT số 12 cho K65 khoa Toán-Tin
Giảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn nếu bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập.
Tháng 12/2015
Bổ sung thêm về giá trị riêng
Bài tập 1 Chứng minh rằng định thức của ma trận vuông A bằng tích của tất cả các giá trị riêng tính cả bội Các giá trị riêng tính cả bội có nghĩa là ta liệt kê tất cả các giá trị riêng dù nó trùng nhau
Ngoài kết quả này ra, ta còn có kết quả sau: Vết của ma trận vuông A bằng tổng của các giá trị riêng tính cả bội Tôi không biết cách chứng minh nào sơ cấp, nên không làm thành bài tập cho các bạn Qua hai kết quả này, các bạn chắc là thấy được vai trò rất đáng kể của các giá trị riêng
Tính dạng chuẩn Jordan như thế nào?
Như đã biết, lý thuyết đại số tuyến tính về tự đồng cấu có thể quy về ma trận trong một cơ sở cố định Ví dụ định thức của tự đồng cấu được định nghĩa là định thức của ma trận biểu diễn trong một cơ sở nào đó Lý thuyết dạng chuẩn Jordan của tự đồng cấu cũng vậy Tôi chỉ bàn trong ngôn ngữ của ma trận, vì trong môi trường đó, các bạn sẽ thấy dễ hiểu
Trước tiên ta định nghĩa cái gọi là tổng trực tiếp của hai ma trận vuông Cho A ∈ Rn×n và
B ∈ Rm×m Khi đó ta định nghĩa ma trận vuông A ⊕ B ∈ R(n+m)×(n+m) như sau
A ⊕ B =
,
trong đó On×m là ma trận 0 cấp n × m Tiếp theo, ta định nghĩa khối Jordan sơ cấp, ký hiệu là
Js,λ, cấp s ứng với giá trị riêng λ như sau
Js,λ =
Tức Js,λ là một ma trận vuông cấp s có các giá trị trên đường chéo bằng λ và các số 1 ở đường chéo ngay dưới đường chéo chính, còn các vị trí khác bằng 0 hết
Lý thuyết dạng chuẩn Jordan nói rằng mọi ma trận vuông A, mà đa thức đặc trưng của nó có
đủ nghiệm, đều đồng dạng với một ma trận có dạng tổng trực tiếp của các khối Jordan sơ cấp Ma trận sau được gọi là ma trận dạng chuẩn Jordan của ma trận A Thứ tự của các khối Jordan sơ cấp trong dạng chuẩn Jordan là không quan trọng, vì dù có tráo thế nào, thì các ma trận này cũng
Trang 2đồng dạng với nhau, điều đó nằm trong chứng minh của lý thuyết Jordan Ký hiệu J là ma trận dạng chuẩn Jordan của A, điều đó nói rằng tồn tại ma trận C khả nghịch sao cho A = C−1J C hay J = CAC−1 Điều đó gợi cho ta hai công việc: Một là tính J, hai là tính C Tuy nhiên, tính
C khá là khó, nhiệm vụ cao cả đó dành lại cho các chủ nhân tương lai của đất nước, tức là các bạn Trong tờ giấy này, tôi chỉ ra cho các bạn cách tính J
• Bước 1: Tính đa thức đặc trưng của A Xác định tất cả các giá trị riêng của A
• Bước 2: Với mỗi giá trị riêng λ, ta tính số khối Jordan sơ cấp Js,λ xuất hiện trong dạng chuẩn Jordan của A theo công thức sau:
rank(A − λI)s−1− 2rank(A − λI)s+ rank(A − λI)s+1 Lưu ý rank(A − λI)s là hạng của ma trận (A − λI)s) Ta tính tất cả các s có thể có (ví dụ các khối Jordan sơ cấp với cấp s lớn hơn cỡ của ma trận A là không thể xuất hiện trong dạng chuẩn Jordan của ma trận A)
Bài tập 2 Tìm dạng chuẩn Jordan của các ma trận sau
(a)
2 6 −15
1 1 −5
1 2 −6
, (b)
−2 −6 13
, (c)
1 −3 4
4 −7 8
6 −7 7
Một hệ quả của lý thuyết dạng chuẩn Jordan là: Hai ma trận A và B đồng dạng với nhau khi
và chỉ khi chúng có cùng dạng chuẩn Jordan Dựa vào đó, các bạn hãy giải bài tập sau
Bài tập 3 Các ma trận sau có đồng dạng với nhau không?
A =
3 2 −5
2 6 −10
1 2 −3
và B =
6 20 −34
6 32 −51
4 20 −32
Bài tập 4 Các ma trận sau có đồng dạng với nhau không?
A =
4 6 −15
1 3 −5
1 2 −4
, B =
−2 −6 13
, C =
−13 −70 119
Bài tập 5 (khó, bạn có thể tạm bỏ qua) Chứng minh rằng Js,λ và ma trận chuyển vị JT
s,λ đồng dạng với nhau Từ đó chứng minh rằng nếu A là ma trận vuông (hệ số phức) thì A đồng dạng với AT
Dạng song tuyến tính Tính chất cơ bản của không gian vector Euclide
Bài tập 6 Trong không gian vector thực R3 với cơ sở {e1, e2, e3} Dạng song tuyến tính nào sau đây xác định một tích vô hướng?
(a) ϕ(x1e1 + x2e2 + x3e3, y1e1+ y2e2+ y3e3) = x1y1+ 2x2y2 + 3x3y3
(b) ϕ(x1e1 + x2e2 + x3e3, y1e1+ y2e2+ y3e3) = x1y1− x2y2+ 5x3y3
(c) ϕ(x1e1 + x2e2 + x3e3, y1e1+ y2e2+ y3e3) = 5x1y1+ 3x2y2+ x3y3− 2x1y2− 4x2y3
Bài tập 7 Tìm điều kiện cần và đủ của a, b, c, d ∈ R sao cho dạng song tuyến tính trên R2 sau ϕ((x1, x2), (y1, y2)) = ax1y1+ bx1y2+ cx2y1 + dx2y2 là một tích vô hướng
Bài tập 8 Cho V là một không gian vector Euclide hữu hạn chiều
Trang 3(a) Chứng minh rằng mọi hệ vector trực giao từng cặp mà không chứa vector ~0 là độc lập tuyến tính
(b) Nếu W là một không gian vector con của V và W⊥ là phần bù trực giao của W trong V Chứng minh rằng V = W ⊕ W⊥ Ta gọi phân tích như này là phân tích trực giao (đối với tích
vô hướng của V )
(c) Cho W1, W2 là hai không gian con của V thỏa mãn dim W1 < dim W2 Chứng minh rằng tồn tại vector khác ~0 trong W2 trực giao với cả không gian W1
Bài tập 9 (Bài tôi ra trong bài thi cuối kỳ của K63K) Cho (V, h·, ·i) là không gian vector Euclide hữu hạn chiều Với mỗi vector u ∈ V, đặt kuk =phu, ui
(a) Cho u, v là hai vector trong V Chứng minh đẳng thức sau
ku + vk2 = kuk2+ kvk2+ 2hu, vi
(b) Chứng minh rằng nếu u và v là hai vector vuông góc trong V thì ta có ku + vk2 = kuk2+ kvk2 Kết quả này chính là định lý Pythagore
(c) Chứng minh định lý Pythagore cho k vector đôi một trực giao với k ∈ N
(d) Cho u1, u2, , uk là các vector đôi một trực giao trong V Chứng minh rằng nếu ui 6= ~0 với mọi 1 ≤ i ≤ k thì các vector này độc lập tuyến tính
(e) Cho e1, e2, , ek là các vector trực chuẩn nào đó trong V và cho u là một vector bất kỳ trong
V Chứng minh rằng
u −
k
X
i=1
hu, eiiei
!
⊥ ej
với mọi 1 ≤ j ≤ k Từ đó suy ra bất đẳng thức Bessel sau
kuk2 ≥
k
X
i=1
hu, eii2
(f) Cho f : V → V là một ánh xạ bảo toàn tích vô hướng h·, ·i của V, nghĩa là hf (u), f (v)i = hu, vi với mọi u, v ∈ V Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính và hơn nữa, f là một tự đẳng cấu của V
Bình luận Bất đẳng thức Bessel thật ra nói một điều rất đơn giản: Đó là độ dài hình chiếu vuông góc của một vector lên một phẳng nào đó không lớn hơn độ dài của vector đó Đây là một bất đẳng thức bình thường trong hình học phổ thông, nhưng khi phiên dịch dưới dạng đại số tuyến tính, nó có thể ứng dụng trong giải tích điều hòa chẳng hạn