Danh sách bài tập ĐSTT số 8 cho K65, khoa Toán-TinGiảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn nếu bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập.. Tháng 11/2015 Tuầ
Trang 1Danh sách bài tập ĐSTT số 8 cho K65, khoa Toán-Tin
Giảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn nếu bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập.
Tháng 11/2015
Tuần này ta thay đổi một chút về phần bài tập, các bạn sẽ sử dụng kiến thức đã học để trả lời 3 câu hỏi lý thuyết sau
Ba câu hỏi lý thuyết
Câu hỏi 1 Cho (~e1, , ~en) và (~ε1, , ~εn) là hai cơ sở của Rn Hãy cho công thức tính ma trận chuyển cơ sở
Câu hỏi 2 Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính có ma trận biểu diễn A trong cặp cơ sở (~α1, , ~αn) và (~β1, , ~βm) (điều đó cũng nói rằng dim V = n và dim W = m, và A ∈ Rm×n) Giả sử (~e1, , ~en) và (~ε1, , ~εm) là cặp cơ sở mới Làm thế nào để tính được ma trận biểu diễn của f trong cặp cơ sở mới?
Câu hỏi 3 Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính có ma trận biểu diễn A trong cặp cơ sở (~α1, , ~αn) và (~β1, , ~βm) Đặt
Im(A) =
A ·
x1
x2
xn
:
x1
x2
xn
∈ Rn
,
Ker(A) =
x1
x2
xn
∈ Rn : A ·
x1
x2
xn
= 0
(a) Chứng minh rằng dim Im(A) = rank(A)
(b) Chỉ ra mối quan hệ giữa Im(f ) và Im(A)? Ker(f ) và Ker(A)?
Bài tập
Bài tập 4 Cho h là ánh xạ tuyến tính từ R3 vào R2 mà ma trận biểu diễn của nó trong cặp
cơ sở (e1, e2, e3) và (f1, f2) là A =2 −1 1
(a) Lấy trong R3 cơ sở mới:
e01 = e2 + e3, e02 = e3+ e1, e03 = e1+ e2 Tìm ma trận biểu diễn của ánh xạ h trong cặp cơ sở mới
1
Trang 2(b) Tiếp tục ta chọn một cơ sở mới cho R2 gồm các vector
f10 = 1
2(f1+ f2), f
0
2 = 1
2(f1− f2)
Tìm ma trận biểu diễn của h trong cặp cơ sở (e01, e02, e03) và (f10, f20)
Bài tập 5 Cho n là số nguyên dương Với mỗi A ∈ M(n × n, R), ký hiệu Tr(A) là tổng tất
cả các phần tử đường chéo của A
(a) Chứng minh rằng ánh xạ Tr : M(n × n, R) → R là ánh xạ tuyến tính
(b) Chứng minh rằng: Với mọi A, B ∈ M(n × n, R), ta đều có Tr(AB) = Tr(BA)
(c) Từ câu (b), chứng minh rằng không tồn tại hai ma trận A, B ∈ M(n × n, R) sao cho
AB − BA = I với I là ma trận đơn vị
(d) Chứng minh rằng: Nếu C là ma trận khả nghịch, và A ∈ M(n × n, R) bất kỳ thì Tr(C−1AC) = Tr(A)
Từ vựng Ánh xạ Tr trong bài tập trên được gọi là Vết, và nó là một bất biến đồng dạng trên tập các ma trận vuông, nghĩa là nếu A, B là hai ma trận đồng dạng thì Tr(A) = Tr(B) Bài tập 6 Tìm một cơ sở của ảnh và hạt nhân của các ánh xạ tuyến tính từ R4 vào R5 sau (a) (x, y, z, t) 7→ (5x − y, x + y, z, t, x)
(b) (x, y, z, t) 7→ (x + y + 7z + t, 2z + t, x, y, y − x)
(c) (x, y, z, t) 7→ (−x + y + z + t, z − y, 17x + 13y, 16x + 5t, y − t)
Bài tập 7 (khó) Cho f : E → F và g : E → G là các ánh xạ tuyến tính Chứng minh rằng điều kiện cần để tồn tại ánh xạ tuyến tính h : F → G sao cho g = h ◦ f là ker f ⊂ ker g Hỏi rằng đây có phải là điều kiện đủ không?
Bài tập 8 Cho f, g : V → W là hai ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vector hữu hạn chiều Chứng minh rằng :
|rank f − rank g| ≤ rank(f + g) ≤ rank f + rank g
Bài tập 9 (bất đẳng thức Sylvester) Cho f : E → F và g : F → G là các ánh xạ tuyến tính giữa các không gian vector hữu hạn chiều Chứng minh rằng:
(a) rank(gf ) ≤ min(rank f, rank g) và
(b) rank f + rank g ≤ rank(gf ) + dim F
2