Bài tập Đại số tuyến tính - Đại học Sư phạm Hà Nội

Hãy chỉ ra rằng tập E cùng với phép cộngvà phép nhân với một số thực thông thường là một không gian vectơnhưng F thì không.5 Cho E là một không gian vectơ thực.. Cơ Sở, Số CHIềU CủA KHÔN

Đại số tuyến tính

1

7) Cho f : X → Y và g : Y → Z là các ánh xạ giữa các tập hợp Gọi A

là tập con của X và C là tập con của Z Chứng minh rằng:

9) Cho các ánh xạ f : R\{0} → R, g : R → R bởi công thức f (x) = x+1

x

1 + x2 Hãy tìm Imf, Img và Im(g ◦ f )

10) Cho A là một tập con của tập hợp E Ta định nghĩa hàm đặc trưng

f của tập A như sau: f (x) =

(

0 nếu x ̸∈ A

1 nếu x ∈ A Chứng minh rằng cáchàm sau cũng là các hàm đạc trưng của các tập hợp nào đó:

a) 1 − f,

0.1 TậP HợP - QUAN Hệ - ÁNH Xạ 5b) f g và f + g − f g với g là hàm đặc trưng của tập con B trong E.

11) Cho X −→ Yf −→ X là các ánh xạ giữa các tập hợp thỏa mãng

g ◦ f = Id Chứng minh rằng f là đơn ánh và g là toàn ánh

12) Cho các ánh xạ f : X → Y, g : Y → Z Gọi h = g ◦ f là hàm hợp.Chứng minh rằng

a) Nếu h là toàn ánh thì g là toàn ánh

b) Nếu h là đơn ánh thì f là đơn ánh

c) Hãy chỉ ra các ví dụ chứng tỏ rằng các kết luận ngược lại của a)

và b) là không đúng

13) Cho các ánh xạ f1, f2 : X → Y, g : Y → Z Chứng minh rằng:a) Nếu g là đơn ánh và g ◦ f1 = g ◦ f2 thì f1 = f2

b) Nếu với mọi f1, f2 mà từ g ◦ f1 = g ◦ f2 ta luôn suy ra f1 = f2, thì

g là một đơn ánh

c) Hãy chỉ ra các ví dụ chứng tỏ rằng các kết luận ngược lại của a)

và b) là không đúng

14) Cho tập hợp A gồm n phần tử và tập hợp B gồm m phần tử.a) Có bao nhiêu ánh xạ f : A → B

b) Có bao nhiêu đơn ánh g : A → B

c) Có bao nhiêu toàn ánh h : A → B

15) a) Tồn tại hay không song ánh f : N → Z?

b) Cho 0 < n ∈ N cố định Tồn tại hay không song ánh g : N →

N × {1, 2, , n}?

c) Tồn tại hay không song ánh h : N → N × N?

d) Tồn tại hay không song ánh p : N → Q?

16) Cho a < b là hai số thực Khi đó chứng minh rằng các tập sau có

cùng lực lượng: (a, b), [a, b], (a, b], R+, R.

17) Chứng minh rằng tập hợp Q \ {0} cùng với phép nhân hai số hữu tỷlập thành một nhóm Nhóm này có giao hoán không?

18) Cho X là một tập hợp Chứng minh rằng tập hợp Bij(X) gồm cácsong ánh từ X vào chính nó cùng với phép hợp thành các ánh xạ lậpthành một nhóm Hãy chỉ ra rằng nhóm này không giao hoán nếu X cónhiều hơn 2 phần tử

19) Cho G là một nhóm và H là một tập con G Chứng minh rằng H làmột nhóm con của G nếu H thỏa mãn các điều kiện sau:

0.1 TậP HợP - QUAN Hệ - ÁNH Xạ 7

a) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho na = 0 vớimọi a ∈ K

b) Chọn số n nguyên dương nhỏ nhất tỏa mãn (a), chứng minh rằng

n là số nguyên tố Số n này được gọi là đặc số của trường K

Chương 1

Không gian vectơ

1.1 Không gian vectơ

BÀI TẬP

1) Chứng minh rằng R, C là các Q− không gian vectơ

2) Cho a < b là hai số thực Xét xem trong các tập hợp sau tập hợp nào

là một không gian vectơ trên R với phép cộng và phép nhân (với một sốthực) thông thường

3) Kí hiệu R+ là tập các số thực dương Chứng tỏ rằng tập hợp này lậpthành không gian véctơ thực với hai phép toán được định nghĩa như sau:Với x, y ∈ R+ và k ∈ R thì

a) Phép cộng x + y := xy (phép nhân thông thường)

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2) và

(a + ib)(x, y) = (ax − by, ay + bx) với mọi a, b ∈ R

6) Cho V = K × K với phép toán xác định như sau:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) và k · (a, b) = (ka, 0)

Chứng tỏ rằng V không là không gian véctơ Từ đó suy ra tiên đề 8 làkhông thể bỏ được

7) Hãy chỉ ra rằng tiên đề 8 có thể thay thế được bởi tiên đề sau: Phươngtrình λ · x = 0 đúng nếu và chỉ nếu λ = 0 hoặc x = 0

1.2 Tổ hợp tuyến tính-Hệ vectơ độc lập

tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

BÀI TẬP

1.2 Tổ HợP TUYếN TÍNH-Hệ VECTơ ĐộC LậP TUYếN TÍNH VÀ Hệ VECTơ PHụ THUộC TUYếN TÍNH11

1) Chứng minh rằng các vectơ sau độc lập tuyến tính trong các R− không

gian vectơ R2

a) (1; -1) và (0; 3)

b) (-1; 1) và (1; 2)

c) (5; -3) và (-4; 7)

2) Trong R− không gian vectơ R2, hãy biểu diễn vectơ X thành tổ hợp

tuyến tính của hai vectơ A và B

a) X = (1; 0), A = (1; 1), B = (0; 1)

b) X = (2; 1), A = (1; −1), B = (1; 1)

c) X = (1; 1), A = (2; 1), B = (−1; 0)

3) Trong R− không gian véc tơ R2, cho hai véctơ (a, b) và (c, d) Chứng

minh rằng nếu ad − bc = 0 thì hai véc tơ phụ thuộc tuyến tính Nếu

ad − bc ̸= 0 thì hai véctơ này độc lập tuyến tính

4) Chứng minh rằng các véctơ sau độc lập tuyến tính trong các R− không

gian véc tơ R3 và C− không gian véctơ C3

6) Xét xem trong không gian C[a, b] các hàm số thực liên tục trên đoạn[a, b], hệ véctơ nào sau đây độc lập tuyến tính:

d) {β1, β2, · · · , βn} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi ma trận A = (aij)

1.3 HạNG CủA MộT Hệ HữU HạN VÉCTơ 13khả nghịch.

1.3 Hạng của một hệ hữu hạn véctơ

b) sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 3x, cos 3x

4) Trong R3 cho hệ gồm ba véctơ

{(0, −2, 5); (1, 2, −3); (−1, 1, −2), (2, 5, k)}, k ∈ R

Tuỳ theo k hãy tính hạng của hệ véctơ trên

5) Cho hệ véctơ α1, α2, · · · , αn bất kì trong K−không gian véctơ V Gọi

β1, β2, · · · , βm là các tổ hợp tuyến tính của các véctơ α1, α2, · · · , αn.Chứng minh rằng hạng của hệ véctơ β1, β2, · · · , βm không vượt quá hạngcủa hệ véctơ α1, α2, · · · , αn

6) Giả sử α1, α2, · · · , αn và β1, β2, · · · , βm là hai hệ véctơ trong R-không

gian véctơ V Chứng minh rằng hạng của hệ véctơ

2) Hệ véctơ nào sau đây là cơ sở của không gian véctơ R4? Khi hệ véctơ

đó là cơ sở của R4, hãy tìm toạ độ của véctơ (4; 3; 2; 1) trong cơ sở đó.a) (1; 1; 0; 0); (0; 1; 1; 0); (0; 0; 1; 1); (1; 0; 0; 1)

b) (0; 1; 1; 1); (1; 1; 1; 0); (1; 1; 0; 1); (1; 0; 1; 1)

c) (0; 1; 2; 3); (1; 2; 3; 4); (2; 3; 4; 5); (3; 4; 5; 6)

3) Tính chiều của các không gian véctơ sau và chỉ ra một cơ sở của khônggian véctơ đó :

a) R-không gian véctơ C

b) C-không gian véctơ C

c) K-không gian véctơ Kn

d) K-không gian véctơ tích V × W , trong đó V, W là các K-khônggian véctơ với chiều lần lượt là m và n

1.4 Cơ Sở, Số CHIềU CủA KHÔNG GIAN VÉCTơ 15

4) Chứng minh rằng V là không gian véctơ chiều vô hạn nếu với mỗi nđều tồn tại một hệ n véctơ độc lập tuyến tính trong V

5) Chứng minh rằng R là Q− không gian véctơ chiều vô hạn

6) Giả sử α1, α2, · · · , αn là một cơ sở của R-không gian véctơ V Chứngminh rằng hệ véctơ α1, α1− 2α2, α2− 3α3, · · · , αn−1− nαn, (n ∈ Z+) cũng

9) Hãy bổ sung thêm các véctơ trong R4 vào hệ véctơ sau để ta được một

cơ sở của của không gian véctơ R4?

12) Trong không gian véctơ thực Pn[x] tất cả các đa thức hệ số thực có

bậc ≤ n, xét hai hệ véctơ pi và qi được xác định như sau:

pi(x) = xi, qi(x) = (x − a)i (a ∈ R, 0 ≤ i ≤ n)

Chứng minh rằng hai hệ véctơ trên là các cơ sở của Pn[x] Hãy biểu diễn

cơ sở pi theo qi

13) Cho S là một tập bất kì Xét tập các ánh xạ f : S → Kn sao cho

f (x) = ⃗0 với hầu hết x ∈ S trừ hữu hạn phần tử với phép toán cộng haiánh xạ và nhân một ánh xạ với một số thuộc K Hãy chỉ ra tập trên làmột K-không gian véctơ (kí hiệu là C(S, Kn)) Hãy tìm một cơ sở củakhông gian véctơ đó

14) Cho không gian véctơ phức n chiều V Khi đó V cũng được xem như

là không gian véctơ thực Xét một cơ sở (z1, z2, · · · , zn) của không gianphức V Chứng minh rằng z1, z2, · · · , zn, iz1, iz2, · · · , izn là một cơ sở củakhông gian véctơ thực V

1.5 Không gian véctơ con và không gian

véctơ thương

BÀI TẬP

1) Trong không gian véctơ R3 xét không gian véctơ con V gồm tất cảcác véctơ (x1; x2; x3) thoả mãn x1+ x2− x3 = 0 Xác định một cơ sở của

V Xác định cơ sở của không gian véctơ thương R3/V

2) Trong không gian véctơ R4 xét không gian véctơ con V gồm tất cả cácvéctơ (x1, x2, x3, x4) thoả mãn x1+ 2x2 = 3x3+ 4x4 Hãy chỉ ra rằng cácvéctơ α = (3, 0, 1, 0) và β = (0, 4, 0, 2) là các véctơ độc lập tuyến tínhtrong V và từ hai véctơ trên bổ sung để được một cơ sở của V Xác định

cơ sở của không gian véctơ thương R/V

3) Trong R3 cho các không gian véctơ con

1.5 KHÔNG GIAN VÉCTơ CON VÀ KHÔNG GIAN VÉCTơ THươNG17

U =< (1; 0; −1), (1; 2; 0), (2; 2; −1) > và V =< (1; 0; 2), (2; −1; 1) > a) Tìm dim(U + V ), dim(U ∩ V ), dim(R3/(U ∩ V ))

b) Tìm một cơ sở của U + V, U ∩ V và R3/(U ∩ V )

4) Cho V là không gian véctơ con c¨ua R[t], không gian các đa thức với

hệ số thực sinh bởi các đa thức sau:

f1 = t3− 2t2+ 4t + 1, f2 = 2t3− 3t2+ 9t − 1,

f3 = t3+ 6t − 5, f4 = 2t3− 5t2 + 7t + 5

Tìm một cơ sở của V và chiều của V Bổ sung cho cơ sở đó để được

cơ sở của không gian véctơ các đa thức bậc không vượt quá 3

5) Trong R4 cho các không gian véctơ con

U =< (1; 1; 0; −1), (1; 2; 3; 0), (2; 3; 3; −1) > và

V =< (1; 2; 2; −2), (2; 3; 2; −3), (1; 3; 4; −3) >

a) Tìm dim(U + V ), dim(U ∩ V ), dim(R4/(U ∩ V ))

b) Tìm một cơ sở của U + V, U ∩ V và R4/(U ∩ V )

6) Trong R5 cho các không gian véctơ con

U =< (2, 3, −1, 3, 4); (2, 5, −2, 5, 3); (3, 4, 0, −1, 10) > và

V =< (2, 4, 1, 3, 2); (2, 6, −5, 7, 4); (3, 6, 4, 3, 2) >

Tìm một cơ sở của U + V, U ∩ V và R5/(U ∩ V )

7) Hãy chỉ ra rằng một không gian véctơ hữu hạn chiều không thể là hợphữu hạn các không gian con thực sự của nó

8) Cho U, V1, V2 là các không gian véctơ con của không gian véctơ hữuhạn chiều V Chứng minh rằng

(U ∩ V1) + (U ∩ V2) ⊂ U ∩ (V1+ V2)

Tìm ví dụ để bao hàm thức xảy ra thực sự (tức là vế trái là không gian

véctơ con thực sự của vế phải).

9) Giả sử U, W là hai không gian véctơ con của không gian véctơ hữuhạn chiều V thoả mãn điều kiện dim(U + W ) = dim(U ∩ W ) + 1 Chứngminh rằng U + W trùng với một trong hai không gian véctơ con U, W ,còn U ∩ W trùng với không gian còn lại

10) Cho E là không gian véctơ chiều n Đặt Fi (i = 1, · · · , k) là cáckhông gian con sao cho dim Fi ≤ r (i = 1, · · · , k), ở đó r < n là sốnguyên dương Chỉ ra rằng có một không gian con F ⊂ E với chiều n − rsao cho F ∩ Fi = {⃗0} (i = 1, · · · , k)

11) Tìm các không gian véctơ con E1, E2, E3 của R3 sao cho:

i) Ei∩ Ej = ⃗0 (i ̸= j)

ii) E1+ E2+ E3 = R3

iii) Tổng trong (ii) không là tổng trực tiếp

12) Một không gian véctơ con E1 của E được gọi là có đối chiều n, kýhiệu là codimE1 = n, nếu không gian véctơ thương E/E1 có chiều n.Cho E1, F1 là hai không gian con chiều hữu hạn và E2, F2 là không giancon b tuyến tính của E1, F1, tức là E1⊕ E2 = E và F1⊕ F2 = F

a) Hãy chỉ ra rằng dim E2 = codimE1, dim F2 = codimF1

b) Chứng minh rằng E1∩ F1 có chiều hữu hạn và

codim(E1∩ F1) ≤ dim E2 + dim F2

13) Với các khái niệm như bài 12, xây dựng một biểu diễn E = H1⊕ H2

sao cho H1 có chiều hữu hạn và

i) H1 ⊂ E1∩ F1

ii) H2 ⊃ E2+ F2

Chứng minh rằng: H2 = E2⊕ (E1∩ H2) và H2 = F2⊕ (F1∩ H2).14) Cho U là một không gian véctơ con của không gian véc tơ hữu hạnchiều V Chứng minh rằng tồn tại không gian véc tơ con W của V sao

1.5 KHÔNG GIAN VÉCTơ CON VÀ KHÔNG GIAN VÉCTơ THươNG19cho V = U ⊕ W Hỏi rằng W có duy nhất không?

15) Cho V = V1⊕ V2 và U ⊂ V Chứng tỏ rằng (U ∩ V1) + (U ∩ V2) làtổng trực tiếp nhưng có thể xảy ra trường hợp U ̸= (U ∩ V1) ⊕ (U ∩ V2)

16) Cho tổng trực tiếp V = V1 ⊕ V2 ⊕ ⊕ Vr và cho Si là một cơ sởcủa Vi với 1 ≤ i ≤ r Chứng minh rằng Si đôi một không giao nhau và

∪r

i=1Si là một cơ sở của V

3) Các ánh xạ từ K4 vào chính nó nào sau đây là ánh xạ tuyến tính? Khi

đó tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính đó trong cơ sở chính tắc

21

5) Cho A ∈Mat(m, n, K) Chứng tỏ rằng các ánh xạ

φ : Mat(n, k, K) → Mat(m, k, K) và ψ :Mat(k, m, K) →Mat(k, n, K)xác định bởi công thức: φ(B) = AB và ψ(B) = BA là các ánh xạtuyến tính Khi k = m = n, hãy tìm điều kiện cần và đủ của A để haiánh xạ trên bằng nhau

8) Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 có ma trận trong cơ sở chính tắc là

 Tìm ma trận của f trong cơ sở (0; 1; 1); (1; 1; 0); (1; 0; 1)

9) Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 có ma trận trong các cơ

0 −2 3

 Tìm ma trận của f trong cơ sở{(0; 1; 1); (1; 1; 0); (1; 0; 1)} và {(1; 1); (−1; 1)}

2.2 HạT NHÂN, ảNH CủA MộT ĐồNG CấU ĐơN CấU, TOÀN CấU VÀ ĐẳNG CấU23

2.2 Hạt nhân, ảnh của một đồng cấu Đơn

cấu, toàn cấu và đẳng cấu

5) Cho C là không gian các hàm liên tục f : R → R Xét ánh xạ

φ : C → C xác định bởi công thức φ : f (t) 7→ R0tf (s)ds Chứng minh

rằng Imφ gồm tất cả các hàm khả vi liên tục và Kerφ là 0 Chứng tỏ

rằng φ là đơn ánh nhưng không song ánh

6) Cho f : E → F, g : E → G là các ánh xạ tuyến tính Chứng minh

rằng điều kiện cần để tồn tại ánh xạ tuyến tính h : F → G để g = h ◦ f

là kerf ⊂ kerg Điều kiện đủ có đúng không?

7) Cho V, W là hai không gian véctơ hữu hạn chiều Chứng tỏ rằng:a) Nếu dim V < dim W thì không có toàn cấu từ V lên W

b) Nếu dim V > dim W thì không có đơn cấu từ V vào W

c) Với bất kì ánh xạ tuyến tính f, g đi từ V sang W ta đều có

dim(Im(f + g)) ≤ dim(Imf ) + dim(Img)

8) Cho f : V → W là một đơn cấu Chứng minh rằng với mọi khônggian véctơ con U của V thì dim U = dim f (U )

9) Cho f : E → F là một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian véctơ.a) Xét R(f ) là không gian các ánh xạ tuyến tính g : F → E sao cho

2.3 Tự ĐồNG CấU VÀ Tự ĐẳNG CấU 25

1) Tìm một cơ sở và số chiều của Im và Ker của các tự đồng cấu trong

R3 sau:

a) f (x1, x2, x3) = (2x1− x2− x3, −x1 + 2x2− x3, −x1− x2+ 2x3).b) f (x1, x2, x3) = (x1+ x2, x1+ x3, 2x1+ x2+ x3)

f2 = f Chứng minh rằng V = Imf ⊕ Kerf.

7) Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều và f ∈ End(V ) thoả mãn

f3 = f Hỏi ta có thể kết luận V = Imf ⊕Im(f −idV)⊕Im(f +idV) không?

8) Cho V là không gian véctơ vô hạn chiều Hỏi một tự đồng cấu của V

là đơn cấu thì có là đẳng cấu không?

9) Cho f, g là hai tự đồng cấu của không gian véctơ V thoả mãn các điềukiện sau:

2.4 KHÔNG GIAN VÉCTơ ĐốI NGẫU 27

13) Ta gọi một phép chiếu trong không gian véctơ V là một tự đồngcấu P của V thoả mãn P2 = P Trong không gian véctơ V xét m phépchiếu Pi(i = 1, · · · , m) sao cho ImPi = W (i = 1, · · · , m) với W là mộtkhông gian véctơ con cố định trong V Gọi λi(i = 1, · · · , m) là các phần

1) Cho S = {⃗x1, ⃗x2, · · · , ⃗xn} là một cơ sở của V và T = {⃗y1, ⃗y2, · · · , ⃗ym}

là một cơ sở của W Gọi eij là ánh xạ tuyến tính từ V vào W xác địnhbởi công thức eij(⃗xk) =

(

⃗i nếu k = j

0 nếu k ̸= j Chứng minh rằng hệ véctơ{eij} (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) lập thành một cơ sở của Hom(V, W )

2) Cho V là một không gian véctơ hữu hạn chiều và f1, f2, · · · , fn là một

cơ sở của V∗ Chứng minh rằng có thể chọn được một cơ sở ⃗e1, ⃗e2, · · · , ⃗encủa V để fi = ⃗e∗i với mọi i = 1, · · · , n

3) Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian véctơ hữuhạn chiều Chứng minh rằng:

a) f là đơn cấu khi và chỉ khi f∗ là toàn cấu

b) f là toàn cấu khi và chỉ khi f∗ là đơn cấu

c) f là đẳng cấu khi và chỉ khi f∗ là đẳng cấu

4) Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian véctơ hữuhạn chiều Chứng minh rằng:

hạng(f ) = hạng(f∗)

5) Cho V và W là hai không gian véctơ và φ ∈ Hom(V, W ) Chứng minhrằng ánh xạ

x2+ x3+ x4 = 8

x1− x3+ 2x4 = −3e)

2.4 KHÔNG GIAN VÉCTơ ĐốI NGẫU 29

· · · ·98x98+ 99x99+ 100x100 = 29799x99+ 100x100+ x1 = 200100x100+ x1 + 2x2 = 1034) Tìm số chiều của không gian nghiệm của các hệ phương trình sau:

7) Cho hệ phương trình sau

8) Cho hệ phương trình Ax = b, trong đó A ∈Mat(n; Q) và b ∈ Qn Chứngminh rằng nếu hệ đã cho có nghiệm thì luôn có ít nhất một nghiệm hữu tỉ

9) Cho hệ phương trình tuyến tính

trình để tìm A−1

Chương 3

Cấu trúc của một tự đồng cấu

3.1 Không gian con riêng của một tự đồng

4) Cho tự đẳng cấu ψ của K-không gian véctơ V Chứng minh rằng nếu

λ là giá trị riêng của ψ thì λ−1 là giá trị riêng của ψ−1

5) Chứng tỏ rằng giao và tổng của các không gian con bất biến cũng làcác không gian con bất biến

6) Cho φ, ψ là hai tự đồng cấu của không gian véctơ V giao hoán vớinhau Chứng minh rằng nếu W là không gian con bất biến của φ thìψ(W ) cũng là không gian con bất biến của φ Hãy chỉ cụ thể trongtrường hợp W là Kerψ và Imψ

7) Cho hai tự đồng cấu tuyến tính f, g của một không gian véctơ Chứngminh rằng f ◦ g và g ◦ f có cùng tập giá trị riêng

9) Giả sử f là tự đồng cấu tuyến tính của không gian véctơ V Giả sử

U = U1⊕ U2⊕ · · · ⊕ Um là tổng trực tiếp của các không gian véctơ conbất biến của φ Chứng minh rằng φ(U ) = φ(U1) ⊕ φ(U2) ⊕ · · · ⊕ φ(Um)

10) Cho f là một tự đồng cấu của Kn và có n giá trị riêng phân biệt.Tìm số các không gian con bất biến của f

3.2 Tự đồng cấu chéo hoá được

BÀI TẬP

1) Tìm các giá trị riêng và véctơ riêng của các tự đồng cấu sau trongkhông gian R3 rồi chỉ ra tự đồng cấu đó có chéo hóa được không?a) f (x1, x2, x3) = (2x1+ x2, x2− x3, 2x2+ 4x3)