T 2 ôn tập toán lớp 10

Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tõm của tam giỏc ACD, G là giao điểm của CD và AO.. Từ trung điểm D của cạnh BC, kẻ đường vuụng gúc với đường phõn giỏc của gúc A cắt AB và AC lần

Phòng giáo dục và đào

tạo huyện Kim Thành Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Mụn: Toỏn 9

Thời gian làm bài: 120 phỳt

Đề gồm 01 trang

Bài 1: ( 2 ,0 điểm)

Cho biểu thức P = x 1 x 1 x 1



a) Tỡm x ủeồ P xaực ủũnh, rỳt gọn P

b) Tớnh giỏ trị của P khi x = 2

2 3 c) Tỡm giỏ trị của x thỏa món đẳng thức P x 6 x 3   x 4 .

Bài 2 : ( 2 ,0 điểm)

Giải cỏc phương trỡnh

a) x2 3 x 2 x 3 x 2 x2 2 x 3

















 b) 2 5 9  5 2 9









x

Bài 3 : ( 2 ,0 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa món a + b + c = 2015

2015

b) Cho x và y thỏa món x x22015 y  y22015 2015 Tớnh x + y.

Bài 4 : ( 3 ,0 điểm)

Cho tam giỏc ABC cõn tại A nội tiếp đường trũn tõm O đường kớnh BC Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tõm của tam giỏc ACD, G là giao điểm của CD và AO Chứng minh:

a) EG // AB b) OE  CD

c) SDAC + SBDO = 43 SABC

Bài 5 : ( 1 ,0 điểm)

Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn(AB < AC) Từ trung điểm D của cạnh BC, kẻ đường vuụng gúc với đường phõn giỏc của gúc A cắt AB và AC lần lượt tại M

và N Chứng minh: BM = CN.

- HẾT -

(Đề thi gồm cú 01 trang) Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm

Họ và tờn thớ sinh: ; Số bỏo danh

Bài 1: (2 điểm)

a)

0,75

điểm

      

, ĐKXĐ: x 0, x 1 

=

x 1 : x 1 x 1

=

x 1 x 1: x 1



= x 1

x

 :

x x 1



 =x 1

x



x x 1

x 

 =  x 12

x



0,25 0,25

0,25 b)

0,5

điểm

Với x =

3 2

2

  ĐKXĐ, x = 4 2 3 =  3 1 2  x  3 1

Nên P =  3 1 12

3 1

 



=

1 3

3

 = 3 3 1 

2



0,25

0,25 c)

0,75

điểm

ĐK: x  4

P x = 6 x  3 x 4

  x 12

x

 x = 6 x  3 x 4

  x 1 2 = 6 x  3 x 4

 x + 2 x + 1 = 6 x  3 x 4   x 2 2 x 4 0  (*)

Do  x 2 2  0  x > 0; x 4 0  ,  x  4

Nên để (*) xảy ra thì  x 2 2  và 0 x 4 0   x = 4 (TM ĐKXĐ)

0,25

0,25

0,25

Bài 2: (2 điểm)

a)

1 điểm

















0 3 x 2 x

0 3 x

0 2 x 3 x

2

2































(1)  + = +

Đặt:































0 c 3 x

0 b 2 x

0 a 1 x

(1)  a.b + c = b + a.c

 a(b - c) - (b - c) = 0

 (a - 1)(b - c) = 0  







 c b

1 a

Với a = 1  x  1  1  x - 1 = 1  x = 2 (thoả mãn đk)

Với b = c  x  2  x  3  x - 2 = x + 3  0x = 5

vô nghiệm

Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 2

0,25

0,25

0,25

0,25 b)

1 điểm

 5 9 9

2









x

Đặt x2  9 y (với y 3)

Khi đó, ta có: y2 5x x 5y























x y

y x

y

Từ đó tìm được nghiệm của phương trình là: x   4

0,25 0,5 0,25

a) 1 1 1 1 1 1 1 1

a b c  a b c   a b  c a b c   

0

 

2

0 0 0

 





 +) Nếu a + b = 0 thì suy ra c = 2015

+) Nếu b + c = 0 thì suy ra a = 2015

+) Nếu a + c = 0 thì suy ra b = 2015

Chứng tỏ trong 3 số a, b, c phải cĩ một số bằng 0.

b)

1 điểm

x x22015 y  y22015 2015 (hai nhân tử v.trái phải khác 0)

2

2015

y y 2015 Tương tự y y22015 = x22015 x

Cộng vế theo vế, ta cĩ

x + y + y22015 + x22015 = y22015 + x22015  x y

 2(x + y) = 0 nên x + y = 0

0,5

0,5

Bài 4: (3 điểm)

a)

1 điểm

O G

N

E D

M

C B

A

Vẽ hình chính xác

Chứng minh EG //AB:

Kẻ các đường trung tuyến CM, DN củaADC chúng cắt nhau ở

E

Hai trung tuyến AO và CD cắt nhau tại G, nên G là trọng tâm

ABC

Xét MCD, ta có:

3

2





CD

CG CM

CE

 EG // DM hay EG // AB

0,25

0,25 0,5

b)

1 điểm

Chứng minh OE  CD :

ODAB (Đường kính qua trung điểm D của dây AB)

Mà EG // AB nên EGOD (1)

ABC cân tại A  OG  BC, mà BC // DN nên OG  DN (2)

Từ (1) và (2) suy ra G là trực tâm ODE, do đó OE  DG

hay OE  CD

0,5

0,5 c)

1 điểm

Chứng minh: SDAC + SBDO =

4

3

SABC:

8 1

2 1

8

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1

















BC OA

BC OA S

S

BC OA OA

BC OA

OC S

ODC ABC ODC

Vậy SABC = 4 SODC hay SODC =

4

1

SABC

Ta có SDAC + SBDO = SABC– SODC = SABC– 41 SABC = 43 SABC

0,5

0,5

1 điểm

D K

P N M

C B

A

Vẽ hình chính xác

Chứng minh: BM = CN

Gọi K là giao điểm của MN và đường phân giác của góc A

Từ B kẻ đường thẳng song song với MN nó cắt AC tại P

 AMN là tam giác cân tại A (AK vừa là đường cao vừa là

đường phân giác)  AM = AN (1)

BP//MN nên BP  AK.Tương tự ABP cân tại A  AB = AP

(2)

BM = AM – AB ; PN = AN – AP (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra BM = PN (4)

Trong BCP, D là trung điểm của BC, DN// BP  N là trung

điểm

của CP hay NP = NC (5)

Từ (4),(5)  BM = CN

0,25

0,5

0,25

Lưu ý: Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.