T 12 ôn tập toán lớp 10

Kẻ CH vuông góc với AD tại H, phân giác trong DABcắt đường tròn O tại E và cắt CH tại F, DF cắt đường tròn O tại N.. Nếu AD = BC thì DN đi qua trung trung điểm của AC.. Tính độ dài AB;

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÈ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1

Năm học: 2018 – 2019 Môn thi: Toán – Lớp: 9

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức:

2 2 :

1 1

P

     



a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm x để P < 1

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 2: (2,0 điểm)

1 Giải phương trình : x 2  7x 6   x 3   x 6   x 2  2x 3 

2 Cho 2 điểm A1;3 và B  2;1

a) Biết phương trình đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) đi qua A và B Tìm a và

b

b) Lập phương trình đường thẳng đi qua C2; 1   và song song với (d); vuông góc

với d

Bài 3: (2,0 điểm)

1 Tìm nghiệm nguyên x; y của phương trình : x 2  3y 2  2xy 2x 10y 4 0    

2 Cho x, y, z là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện xyz 100  Tính giá trị của

xy x 10 yz y 1 xz 10 z 10

Bài 4 (2,0 điểm)

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Trên đường tròn (O) lấy một điểm D bất kì

(D  A, B), trên đường kính AB lấy điểm C Kẻ CH vuông góc với AD tại H, phân

giác trong DABcắt đường tròn (O) tại E và cắt CH tại F, DF cắt đường tròn (O) tại

N Chứng minh:

1 Ba điểm N, C, E thẳng hàng;

2 Nếu AD = BC thì DN đi qua trung trung điểm của AC

Bài 5: (2,0 điểm)

Cho ABC có A 105 ;B 45 ;   o   o BC  4cm Tính độ dài AB; AC

HẾT

(Đề thi gồm có 02 trang) Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:………; Số báo danh:……….

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM

Môn thi: Toán – Lớp: 9

Bài 1: (2,0 điểm)

a) ĐK: x > 0; x ≠ 1

:

:

1 2

2

1

P

x x

x x

















1,0

b)

P < 1 

1

x

x  < 1 1

1

x

x  < 0 1

1

x

 

 < 0

Vì

2

x x  x x    x  

  > 0

 x 1 <0  x< 1 x < 1

Kết hợp ĐK: x > 0; x ≠ 1

Vậy 0 < x <1 thì P < 1

0,5

1

1

1

x

 



Vì x > 0 x 1> 0; 1

1

x  > 0 Áp dụng BĐT Cô si ta được:

1

1

2 2 4

x

x P



   

Dấu “ = ” xảy ra khi x = 4(tmđk)

Vậy P min 4 khi x = 4 P  2 khi x = 4

0,5

Bài 2: (2,0 điểm)

1) Phương trình : x 2  7x 6   x 3   x 6   x 2  2x 3 1   

Ta cĩ x2 7x 6  x 1 x 6      và x2 2x 3  x 1 x 3      nên

phương trình xác định

x 3 0 x 3

x 1 0 x 1 x 6

x 6 0 x 6

        

    

Khi đĩ :

1 x 1 x 6 x 3 x 6 x 1 x 3

x 1 x 6 x 3 x 6 x 3 0

x 6 x 3 x 1 1 0

x 6 x 3 0 x 6 x 3 x 6 x 3 0x 9 (

x 1 1 0 x 1 1 x 1 1 x 2 (

              



          



vo ânghiệm) loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm

0,25

0,25

0,25 0,25

2) a) Vì  d :y ax b a    0 đi qua 2 điểm A; B nên:

2

3

a

a b

a b

b







 



 



(tmđk)

Vậy  : 2 7

3 3

b) Gọi đường thẳng cần tìm là

  :y ax b a    0

Vì   đi qua C nên   1 2a b  1

+) Vì      d

2 3 7 2

a b







 

 



 : 1 2.2 7

3 b b 3

      

Vậy  : 2 7

3 3

y x

 +) Vì      d 2 3

   

0,5

Thay vào (1) ta được:

1 3 b b 2

    

Vậy  : 3 2

2



0,5

Bài 3: (2,0 điểm)

1) Ta có :

x 3y 2xy 2x 10y 4 0

x 2xy y 4y 4y 1 2x 6y 5 0

x y 2y 1 2 x 3y 5 0

x y 1 x 3y 1 2 x 3y 1 7 0

x 3y 1 x y 3 7

         

     

Vì x, y nguyên nên x 3y 1   và x y 3    nguyên  các

trường hợp :

*) Trường hợp 1:

x 3y 1 1 x 3y 0 x 3y x 3

x y 3 7 x y 4 4y 4 y 1

*) Trường hợp 2:

x 3y 1 1 x 3y 2 x 2 3y x 7

*) Trường hợp 3:

x 3y 1 7 x 3y 6 x 6 3y x 3

x y 3 1 x y 2 4y 4 y 1

*) Trường hợp 4:

x 3y 1 7 x 3y 8 x 8 3y x 1

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là

x; y   3;1 ; 7; 3 ; 3;1 ; 1; 3         

0,25

0,25

0,25

0,25 2) Vì x, y, z nguyên dương; xyz 100  xyz 10

Ta có :

 

 

y

M

xy x 10 yz y 1 xz 10 z 10

xy

xy x 10 xyz xy x xz 10 z xyz

xy

xy x 10 10 xy x z x 10 xy

xy

xy x 10 xy x 10 xy x 10

x xy 10 1

xy x 10

0,25

0,25

0,25

0,25

Bài 4: (2,0 điểm)

1)

P F

O

D

C

H

E N

Vì CH // BD (cùng vuông góc với AD) suy ra ACH ABD   

(đồng vị)

Lại có AND ABD    (cùng chắn cung AD)

ACH AND

  , hai góc này có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh

AF do đó tứ giác ANCF nội tiếp  FAC FNC    (hệ quả góc

nội tiếp) (1)

Nối N với E ta có DAE DNE    (cùng chắn cung DE), mà

0,25

0,25

 

DAE BAE  (gt) (2)

Từ (1) và (2) suy ra DNC DNE   

Do đó hai tia NC và NE trùng nhau do đó ba điểm N, C, E

thẳng hàng (đpcm)

0,25 0,25

2) Gọi giao điểm của ND với AB là P

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác APD ta có:

AP FP

AD FD (3)

Xét tam giác BDP, có FC // DB, Áp dụng định lí Ta lét trong

tam giác ta có::

PC PF

BCDF (4)

Từ (3) và (4) suy ra AP PC

ADBC Mà AD = BC (gt) suy ra:

AP = PC do đó P là trung điểm của AC

1,0

Bài 5: (2,0 điểm)

Kẻ AH BC

Xét AHB có AHB 90o

 45o  45o

B  A



2 105 45 60 ) tan 60

4

3 1

o

A

 Mà: AB2 AH2 BH2 (Định lí Pi- ta- go)

2 4 3 1

1,0

1,0

A

2

B

1