BÀI GIẢNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Xấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật conXấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật con

GV: Lê Thị Yến Nhi

Bộ môn Toán Ứng dụng – ĐH Bách Khoa HCM Email: lethiyennhi@hcmut.edu.vn

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

1

Bài toán diện tích

Chia S thành nhiều diện tích con

Xấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật con

Chia S càng nhỏ

Tổng diện tích xấp xỉ càng gần S

ĐỊNH NGHĨA

1

1 0

n

i i i i

Trên [xi, xi+1] chọn i tùy ý, đặt

Phân hoạch P của [a, b] là tập hợp các điểm chia của

[a, b] thỏa mãn a  x0 < x1 < …<xn  b

d = max{(xi+1 – xi)/ i = 0, , n-1}: đường kính phân hoạch

Tổng tích phân ứng với phân hoạch P

x0 a xi i xi+1 xn= b

f( i)

1

1 0

n

i i i i

9

nhữnghìnhchữnhậtđểướctínhdiệntíchphầnbêndướiparabol

𝑦 = 𝑥2 từ 0 đến1

Giả sử ta chia S thành 4 miềnbằngcácđườngthẳng:

Ta

cóthểtínhdiệntíchxấpxỉcủamỗimiếngbằngdiệntíchcủahìnhchữnhậtcócùngchiềurộngvớimiếngcắtvàcóchiềucaobằngcạnhbờphảicủamiếngcắt Mỗi HCN cóchiềurộnglà1

Tổng diện tích các hình chữ nhật:

 

2 4

14

2, 2𝑛

2, 3𝑛

2, … , 𝑛

𝑛2

n R

n n

17

Tổng quát:

19

21

22

Ví dụ 4: Bài toán về quãng đường

Giả sử đồng hồ công tơ mét (chỉ độ dài quãng đường đi) trên ô tô

bị hư và ta muốn ước tính độ dài của quãng đường đi được trong khoảng thời gian 30 giây Ta đọc số liệu trên đồng hồ vận tốc

mỗi năm giây và ghi lại trong bảng sau:

Đổi đơn vị: 1 dặm/h = 5280/3600 ft/s

23

Trong5 giâyđầutiên, vậntốckhôngthayđổinhiều, vìthế ta cóthểướctínhquãngđườngđiđượctrongthờigianđóvớigiảsửvậntốckhôngđổisuốtkhoảngthờigianđóvàbằngvớivậntốc ban đầu25 ft/s

Quãngđườngđiđượctrongnămgiâyđầutiên:

25 ft/s × 5 s=125 ft Trongkhoảngnămgiâysauvậntốccũnggầnnhưkhôngđổi, và ta chọnvậntốctrongkhoảngthờigianđólàvậntốckhit = 5s.Quãngđườngđithứ 2 là:

31 ft/s × 5 s=155 ft Tính tương tự, ta được quãng đường đi trong 30 giây là:

(25 x 5)+(31 x 5) +(35 x 5) +(43 x 5) +(47 x 5) +(46 x 5)=1135ft

24

Thay vì chọn vận tốc tại đầu khoảng thời gian làm vận tốc không đổi cho khoảng đó, ta chọn vận tốc tại cuối khoảng thời gian đó Ước tính quãng đường đi được là:

(31x 5) +(35 x 5) +(43 x 5) +(47 x 5) +(46 x 5) +(41 x 5)=1215ft

Nếu muốn độ chính xác cao hơn thì ta có thể đọc và ghi lại vận tốc mỗi hai giây, hay mỗi giây thay vì 5 giây

25

BÀI TOÁN QUÃNG ĐƯỜNG

Nếu một vật chuyển động với vận tốc thì quãng

đường vật đi được trong khoảng thời gian là

( )

v  f t

a   t b

1 0

( ) lim ( )

n b

27

Ví dụ 5: Dầu chảy từ một thùng chứa với tốc độ r(t) lít mỗi giờ Tốc độ giảm theo thời gian và những giá trị của nó trong khoảng thời gian hai giờ liên tiếp được cho bởi bảng dưới Hãy ước

lượng tổng số lượng dầu thất thoát

f liên tục trên [a,b], khi đó tồn tại c  [a,b] sao cho

gọi là giá trị trung bình của f trên [a, b]

Hãy tìm nồng độ thuốc trung bình trong máu của bệnh nhân từ

t = 5 giờ tới t = 10 giờ kể từ khi tiêm thuốc

31

32

b

33

Ví dụ: Tínhtổng Riemann cho𝑓 𝑥 = 𝑥3 −

6𝑥lấycácđiểmmẫulàđầumútphảivà a = 0, b = 3, n = 6

36

Tính chất hàm khả tích

1 f khả tích trên [a, b] thì f bị chận trên [a,b]

2 f khả tích trên [a,b] thì | f | khả tích trên [a,b]

3 f khả tích trên [a,b], m và M lần lượt là gtnn

và gtln của f trên [a,b], khi đó

38

8 f(x) tuần hoàn với chu kỳ T:

9 f lẻ trên [-a, a]:

f chẵn trên [-a, a]:

Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân

* Nếu f khả tích trên [a,b] thì hàm số

liên tục trên [a,b]

* Nếu f liên tục trên [a,b] thì F khả vi trên [a,b] và

Đạo hàm theo cận trên

Hệ quả: f liên tục,  và  khả

vi

( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )

F x   f  x   x  f  x   x

2 1 ( )

45

Ví dụ

VD1: Nếu V(t) là thể tích của nước trong bình chứa tại thời điểm

t thì V’(t) là tốc độ nước chảy trong bình tại thời điểm t Do đó:

là độ tăng chí phí khi sản xuất tăng từ 𝑥1 đến 𝑥2đơnvị

VD4: Nếu một vật chuyển động trên một đường thẳng với hàm

48

Độ dời chỗ: Quãng đường:

49

Ví dụ: Chi phícậnbiênkhisảnxuất x (mét) củamộtloạivảilà 𝐶′ 𝑥 = 3 − 0.01𝑥 + 0.000006𝑥2(đôla/mét)

Tìmđộtăng chi phínếumứcsảnxuấttăngtừ 2000 (mét) đến 4000(mét)

3 − 0.01𝑥 + 0.000006𝑥2 𝑑𝑥

4000

50

chấtđiểmchuyểnđộngtrênmộtđườngthẳngsaochovậntốccủanót ạithờiđiểm t là𝑣 𝑡 = 𝑡2 − 𝑡 − 6 (m/s)

a/ Tìmđộdờichỗcủachấtđiểmtrongthờigian1 ≤ 𝑡 ≤ 4

b/ Tìmquãngđườngchấtđiểmđiđượctrongkhoảngthờigiannày

a/

51 b/

52

Ví dụ

53

Hàm f liên tục trên [a, b] ngoại trừ 1 số hữu hạn các điểm gián đoạn loại 1 thì khả tích trên [a,b]

2