Ôn tập toán 12

Cho biểu đồ về sự tác động của một số thực phẩm tới môi trường: Nguồn: ourwordindata.org Thực phẩm nào tác động tới môi trường nhiều nhất?. Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt

TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM ĐỀ THI ĐÁNH GIÁ NÂNG LỰC ĐHQG HÀ NỘI

MÔN TOÁN

Mã đề thi: 21 Câu 1. Cho biểu đồ về sự tác động của một số thực phẩm tới môi trường:

(Nguồn: ourwordindata.org)

Thực phẩm nào tác động tới môi trường nhiều nhất?

A Táo B Trứng C Thịt lợn D Thịt bò

Câu 2. Một chất điểm chuyển động có phương trình là s t  2 2t 3 ( t tính bằng giây, s tính bằng

mét) Khi đó vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t 5 giây là

Câu 4. Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm?  

 

B

9 4 27



C

9 4 27





D

9 4 27



Câu 10. Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô

thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là5,… và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n Biết rằng để đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng

25450 hạt Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô?

Câu 13. Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v t1 7t m s / 

Đi được 5s, ngườilái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia

252 495 392 đồng( biết rằng trong suốt thời gian gửi tiền, lãi suất không thay đổi và người đókhông rút tiền ra khỏi ngân hàng) Lãi suất r% /năm r0

(r làm tròn đến chữ số hàng đơn

vị) là

A 6%/năm B 5%/năm C 8%/năm D 7%/năm

Câu 15. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 2  2 

giới hạn bởi các đường ysinx, y , 0 x0, x  Thể tích khối tròn

xoay sinh bởi hình  D

quay xung quanh Ox bằng:

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng    P , Q

lần lượt có phương trình là0

a

V 

B

2 3.6

a

V 

C

2 3.2

a

V 

D

2 6.6

a

V 

Câu 24. Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay  H , một mặt phẳng chứa trục của  H cắt  H

theo một thiết diện như trong hình vẽ bên dưới Tính thể tích V của  H

a

B

3 119

a

C

3

2 1127

a

D

3

2 119

a

Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm SD, điểm N

thuộc cạnh SA sao cho SN = 3AN Đường thẳng MN cắt mặt phẳng (ABCD) tại P, đường

thẳng PC cắt cạnh AB tại K Trình bày cách xác định điểm K và tính tỉ số

Câu 27. Trong không gian Oxyz, cho điểm A3;0;0 , B0; 2;0 

và C0;0; 4 

Mặt cầu ngoại tiếp tứ

diện OABC có diện tích bằng

294



Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;3), B(5;2;-1) Phương trình nào sau

đây là phương trình dạng chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A và B?

B a b c là điểm sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật Tính giá trị của biểu thức

S

B

1115

S 

C

1130

S 

D

730

S 

Câu 34. Có 60 quả cầu được đánh số từ 1 đến 60 Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả cầu rồi nhân các số

trên hai quả cầu với nhau Tính xác suất để tích nhận được là số chia hết cho 10

Câu 35. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên SAB

V V lần lượt là thể tích khối chóp S AHK và S ACD. với ,H K lần lượt là trung điểm của

SC và SD. Tính độ dài đường cao của khối chóp S ABCD. và tỉ số

1 2

V k V



h a k 

Câu 36 Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số

5 11

x y x

Đáp án:

Câu 45 Cho các số phức z thỏa mãn z 4

Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

Câu 48 Xét các số thực x, y thỏa mãn x2y2 1 và logx2y22x3y1

Giá trị lớn nhất P cửa biểu maxthức P2x y bằng:

Đáp án:

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. Cho biểu đồ về sự tác động của một số thực phẩm tới môi trường:

(Nguồn: ourwordindata.org)

Thực phẩm nào tác động tới môi trường nhiều nhất?

Lời giải Chọn D

Quan sát thông tin, đọc số liệu lượng khí CO2 phát thải ra môi trường khi sản xuất 1kg thực

phẩm Thực phẩm nào có lượng phát thải khí CO2 nhiều nhất thì có tác động nhiều nhất tới môi

trường

Dựa vào thông tin đã cho trong biểu đồ trên ta thấy:

Nuôi bò lấy thịt làm phát thải nhà kính nhiều nhất

Khi sản xuất 1kg thịt bò lượng phát thải CO2 tương đương là 60kg CO2 Điều này có nghĩa làthịt bò là thực phẩm có tác động nhiều nhất tới môi trường

Câu 2. Một chất điểm chuyển động có phương trình là ( tính bằng giây, tính bằng

mét) Khi đó vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm giây là

Lời giải Chọn D

Vận tốc tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm giây là

Ta có:

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm giây là

Câu 3. Phương trình 42x3 84x có nghiệm là:

Lời giải Chọn C

- Đưa hai vế của phương trình về cùng cơ số

- Giải phương trình thứ nhất tìm , sử dụng

- Thế vào phương trình thứ hai tìm

Xét phương trình

Thay vào phương trình thứ hai ta được:

Thay vào phương trình thứ hai ta được: (Vô nghiệm)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất

Câu 5. Cho số phức Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức là điểm nào

dưới đây?

Lời giải Chọn D

Cho số phức

Số phức có điểm biểu diễn là

Ta có:

Số phức có điểm biểu diễn là

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A2; 1;3 

A. x2y  3z 9 0 B. x2y  3z 9 0 C. x2y  3z 7 0 D. x2y3z 7 0

Lời giải Chọn B

Mặt phẳng  P song song với mặt phẳng  Q x: 2y  3z 2 0 nên phương trình mặt phẳng

 P có dạngx2y  3z a 0a2.

Vì A2; 1;3    P  2 2 1  3.3  a 0 a9

.Vậy phương trình mặt phẳng  P cần tìm là: x2y  3z 9 0.

Câu 7. Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M1;6;2020

trên mặt phẳng Oyz

ótọa độ là:

A 1;0;2020 B 0;6;2020 C 1;6;0 D 1;0;0

Lời giải Chọn B

Điểm M  là hình chiếu của điểm M a b c ; ;  trên mặt phẳng Oyz có tọa độ là: M0; ;b c

.Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M1;6;2020

x x

 



Ta có bảng xét dấu:

Lời giải Chọn C

Câu 10. Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô

thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là5,… và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n Biết rằng để đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng

25450 hạt Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô?

Lời giải Chọn B

Dễ thấy số hạt dẻ đặt vào từng ô tạo thành một cấp số cộng với u17;d 5

Gọi bàn cờ đó có n ô

2.7 1 525450

Câu 11. là một nguyên hàm của hàm số Biết

trong đó là các số nguyên dương và là phân số tối giản Khi đó, giá trị biểu thức

bằng

Lời giải Chọn A

Câu 13. Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v t1 7t m s / 

Đi được 5s, ngườilái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với giatốc a 70m s/ 2

Tính quãng đường S đi được của ô tô lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi

Quãng đường ô tô đi được 5s đầu là:

Vận tốc khi xe đi được 5s là: v1 5 7.5 35 m s/ 

Phương trình vận tốc của xe khi xe gặp chướng ngại vật là: v t2 35 70 t m s / 

Thời gian ô tô di chuyển tiếp đến khi dừng hẳn: 35 70 0 1 

252 495 392 đồng( biết rằng trong suốt thời gian gửi tiền, lãi suất không thay đổi và người đókhông rút tiền ra khỏi ngân hàng) Lãi suất r% /năm r0

(r làm tròn đến chữ số hàng đơn

vị) là

Lời giải Chọn A

Sau 4 năm người đó nhận được số tiền là 6 4

Điều kiện:

.Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

Câu 16. Cho hình phẳng  D

giới hạn bởi các đường ysinx, y , 0 x0, x  Thể tích khối tròn

xoay sinh bởi hình  D

quay xung quanh Ox bằng:

Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình  D

quay xung quanh Ox bằng:

2 2 0

Ta có:

+) Với Hàm số không nghịch biến trên

+) Với ta có hàm số đã cho nghịch biến trên

m m

4

m

m m

Đặt

Gọi là điểm biểu diễn của số phức

Ta có:

.Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng cóphương trình là

Câu 20. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4, và Gọi I

là giao điểm của AC và BD Biết I thuộc đường thẳng , tìm phương trình đường

thẳng CD

Lời giải Chọn B

Dễ thấy A, B cùng thuộc trục Ox nên phương trình đường thẳng AB là y = 0

, I là trung điểm của AC Phương trình đường thẳng CD đi qua C và song song với AB

, I là trung điểm của AC Phương trình đường thẳng CD đi qua C và song song với AB

Lời giải Chọn C

x y z   ; 2 3 4x y z và cho điểm M1; 2;5  Tìm phương trình mặt phẳng   đi

qua M đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng    P , Q

A 5x2y z 14 0 B x4y  3z 6 0

C x4y  3z 6 0 D 5x2y z  4 0

Lời giải Chọn B

Gọi  

là mặt phẳng cần tìm

Ta có n P 1;1; 1 ,  n Q 1; 2;3 

.Gọi n là 1VTPT của    n n n P; Q  1; 4; 3

.Vậy phương trình mặt phẳng   là: x 1 4y 2 3 z  5 0 x4y  3z 6 0.

Câu 23. Biết rằng thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều có diện tích bằng a2 3 Tính

A

2 3.3

a



Lời giải Chọn A

Vì thiết diện qua trục của hình nón là tam giác đều nên l2r và

2

23

Câu 24. Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay , một mặt phẳng chứa trục của cắt

theo một thiết diện như trong hình vẽ bên dưới Tính thể tích của

Lời giải Chọn D

3 .4 92

 

    

 

+ Khối nón cụt có hai bán kính đáy là và chiều cao

a

B

3 119

a

C

3

2 1127

a

D

3

2 119

a

Lời giải Chọn D

Gọi OAC BDO là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Theo bài ra ta có: Điểm A cách đều các đỉnh , , A B C nên A O ABC

Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm SD, điểm N

thuộc cạnh SA sao cho SN = 3AN Đường thẳng MN cắt mặt phẳng (ABCD) tại P, đường

thẳng PC cắt cạnh AB tại K Trình bày cách xác định điểm K và tính tỉ số

      

H

Từ SA3AN gt 

suy ra

14

Câu 27. Trong không gian Oxyz, cho điểm và Mặt cầu ngoại tiếp tứ

diện OABC có diện tích bằng

Lời giải Chọn B

Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

.Khi đó ta có hệ phương trình:

3;0;0 ,

A B0; 2;0  C0;0; 4 

294

2 2

2 2

324

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là

Vậy diện tích cầu ngoại tiếp tứ diện là

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;3), B(5;2;-1) Phương trình nào sau

đây là phương trình dạng chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A và B?

Lời giải Chọn C

Ta có: là 1 VTCP của đường thẳng đi qua hai điểm A và B nên cũng

là 1 VTCP của đường thẳng đi qua hai điểm A và B.

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đáp án C, đường thẳng có VTCP là

Câu 30. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A2;0;0

, C0;4;0

Biết điểm( ; ; )

B a b c là điểm sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật Tính giá trị của biểu thức

4

P a  b c

Lời giải Chọn C

Trong đó x1 là nghiệm bội chẵn, do đó hàm số đã cho có 1 điểm cực trị.

Xét phương trình hoành độ giao điểm   3  1

4 4

Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn đề bài là m0.

Câu 33. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , biết ,

Lời giải Chọn D

Vì nên

Câu 34. Có 60 quả cầu được đánh số từ 1 đến 60 Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả cầu rồi nhân các số

trên hai quả cầu với nhau Tính xác suất để tích nhận được là số chia hết cho 10

Lời giải Chọn B

Số cách lấy ngẫu nhiên hai quả cầu trong số 60 quả cầu đã cho là: cách lấy

Gọi biến cố A: “Lấy được hai quả cầu mà tích hai số trên hai quả cầu chia hết cho 10”

TH1: Hai quả cầu lấy được có đúng một quả mang số chia hết cho 10

V V lần lượt là thể tích khối chóp S AHK và S ACD. với ,H K lần lượt là trung điểm của

SC và SD. Tính độ dài đường cao của khối chóp S ABCD. và tỉ số

1 2

V k V

h a k 

Lời giải Chọn D

 2 115

161590

53590

78295

2 60

P A

C

Ta có: SAB  SAD   SA SAABCD.

x y x

x y x

Trong các nghiệm trên có là nghiệm bội chẵn nên không phải cực trị

Vậy hàm số có hai điểm cực trị

Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P x: 2y2z 3 0

Vì đi qua điểm và có tung độ đỉnh bằng nên ta có hệ phương trình:

Câu 42. Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x 3 3x2mx có hai điểm cực trị là: 5

P ab192

12

16.12 192

12

13

Câu 43. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , bằng:

Đáp án: 4

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , là:

Câu 44. Cho hàm số y f x 

có đồ thị như hình vẽ sau Tìm m để phương trình f sinxm

cóđúng hai nghiệm trên đoạn  0; 

Đáp án:    4 m 3

Lời giải

Đặt sinx t  0;1 do x 0;  t cosx 0 x2

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ứng với mỗi giá trị của t khác 1 thì có 2 giá trị của x.

Do đó để phương trình f sinxm có đúng 2 nghiệm trên đoạn  0; 2 thì phương trình

 

f t m

phải có một nghiệm duy nhất trên 0;1    4 m 3..

Câu 45. Cho các số phức thỏa mãn Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

là một đường tròn Tính bán kính của đường tròn đó

Gọi M là hình chiếu của A trên d và A là hình chiếu của A qua d.

a

SI

Tínhkhoảng cách từ C đến mặt phẳng SAD

Đáp án:

32

Xét tam giác vuông SAI:

2

33

;

22

Câu 50. Một sợi dây có chiều dài được cắt thành 2 đoạn để làm thành một hình vuông và một hình

tròn Tính chiều dài (theo đợn vị mét) của đoạn dây làm thành hình vuông được cắt ra sao chotổng diện tích của hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất?

Đáp án:

Lời giải

Gọi chiều dài của đoạn dây làm hình vuông là x

Chiều dài của đoạn dây làm hình tròn là