Các phương trình hàm hai biến và ứng dụng trong giải toán bậc trung học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHAN THỊ HOÀNG LINH CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN BẬC TRUNG HỌC Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60.46

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHAN THỊ HOÀNG LINH

CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN BẬC TRUNG HỌC

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số : 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Cao Văn Nuôi

Đà Nẵng – Năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu và kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong công trình nào khác

Học viên

Phan Thị Hoàng Linh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Cấu trúc luận văn 2

CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM 3

VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN PHƯƠNG TRÌNH HÀM 3

1.1 1.1.1 Nicole Oresme (1323 – 1382) 3

1.1.2 Gregory of Saint – Vincent (1584 – 1667) 4

1.1.3 Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885) 4

1.1.4 Jean d’Alembert (1717 – 1783) 6

ĐỊNH NGHĨA 8

1.2 1.2.1 Định nghĩa 8

1.2.2 Ví dụ 8

SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 13

1.3 CHƯƠNG 2: GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN 19 2.1 PHƯƠNG TRÌNH CAUCHY 19

2.1.1 Phương trình Cauchy 19

2.1.2 Các bài toán về phương trình Cauchy 26

2.2 PHƯƠNG TRÌNH JENSEN 30

2.2.1 Phương trình Jensen 30

2.2.2.Các bài toán về phương trình Jensen 30

2.3 PHƯƠNG TRÌNH PEXIDER 33

2.3.1 Phương trình Pexider 33

2.3.2 Các bài toán về phương trình Pexider 34

2.4 PHƯƠNG TRÌNH VINCZE 37

2.4.1 Phương trình Vincze 37

2.4.2 Các bài toán về phương trình Vincze 39

2.5 PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN 45

2.5.1 Phương trình hàm hai biến 45

2.5.2 Các bài toán về phương trình hàm hai biến 46

2.6 PHƯƠNG TRÌNH EULER 47

2.6.1 Phương trình Euler 47

2.6.2 Các bài toán về phương trình Euler 48

2.7 PHƯƠNG TRÌNH D’ALEMBERT 49

2.7.1 Phương trình D’Alembert 49

2.7.2 Các bài toán về phương trình D’Alembert 51

CHƯƠNG 3: CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG GIẢI TOÁN BẬC TRUNG HỌC 54

3.1 PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA 54

3.2 PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP 56

3.3 THUẬT TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BOTTCHER 59

3.4 PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI HÀM LIÊN TỤC 59

3.4.1 Phương pháp sử dụng tính liên tục của hàm số 59

3.4.2 Phương pháp chuyển qua giới hạn 66

3.5 PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI HÀM KHẢ VI 70

KẾT LUẬN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của giải tích toán học Việc giải phương trình hàm có lẽ là một trong những bài toán lâu đời của giải tích Nhu cầu giải phương trình hàm xuất hiện ngay khi bắt đầu có lý thuyết hàm số, nhiều phương trình hàm xuất phát từ nhu cầu thực tế của toán học hoặc của các ngành khoa học khác

Phương trình hàm cũng là một chuyên đề quan trọng trong chương trình toán ở các trường THPT chuyên Trong các kì thi olympic toán quốc gia và quốc tế, olympic khu vực, thường xuất hiện các dạng toán khác nhau liên quan đến phương trình hàm Tuy nhiên, cho đến nay, học sinh các lớp chuyên, các lớp chọn còn biết rất ít các phương pháp để giải các phương trình hàm Đặc biệt, chúng ta còn rất ít cuốn sách về chuyên đề phương trình hàm và ứng dụng của nó

Các bài toán về phương trình hàm rất phong phú và đa dạng, bao gồm các loại phương trình tuyến tính và phi tuyến tính, phương trình hàm một ẩn hàm và phương trình nhiều ẩn hàm, phương trình hàm một biến và phương trình hàm nhiều biến…

Bài toán phương trình hàm thường xuất hiện trong các cuộc thi toán học

Để giải nó ta không những cần nắm vững lý thuyết mà còn cần rất nhiều kỹ năng

Trong toán học hiện đại, nó đóng vai trò quan trọng để giải quyết các vấn đề liên quan Phương trình hàm ứng dụng nhiều trong chương trình phổ thông, chương trình học sinh giỏi toán

Từ những vấn đề trên, tôi đã quyết định chọn đề tài nghiên cứu: “Các phương trình hàm hai biến và ứng dụng trong giải toán bậc trung học”

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu ứng dụng của phương trình hàm hai biến giải toán bậc trung học

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là phương trình hàm hai biến Phạm vi nghiên cứu của luận văn là xây dựng cơ sở lý thuyết và hệ thống các bài toán liên quan đến phương trình hàm hai biến và vận dụng để giải các bài toán phương trình hàm ở chương trình bậc trung học

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan đến phương trình hàm hai biến và ứng dụng

- Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum với các chuyên gia về các ứng dụng của phương trình hàm

* Đóng góp của đề tài

- Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến phương trình hàm hai biến nhằm xây dựng một hệ thống lý thuyết về các phương trình hàm hai biến

- Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng như đưa ra một

số bài toán, ví dụ minh hoạ và có chọn lọc nhằm làm cho vấn đề được sáng tỏ

5 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3 chương:

- Chương 1: Các khái niệm cơ bản về phương trình hàm

- Chương 2: Các phương trình hàm hai biến

- Chương 3: Các ứng dụng của phương trình hàm trong giải toán bậc trung học

CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN PHƯƠNG TRÌNH HÀM 1.1.

Trong đại số ở trường phổ thông trung học, chúng ta tìm hiểu về phương trình đại số liên quan đến một hoặc nhiều ẩn là các số thực chưa biết Phương trình hàm cũng giống như phương trình đại số, tuy nhiên ẩn của nó là một hoặc nhiều hàm số Bài toán về phương trình hàm xuất hiện khá thường xuyên trong các cuộc thi toán Vì vậy, luận văn này sẽ nghiên cứu và giải quyết một số vấn đề liên quan đến phương trình hàm ở bậc phổ thông trung học Trong chương này, ta tóm lược đôi nét về lịch sử phát triển của phương trình hàm trong sự phát triển chung của Toán học

1.1.1 Nicole Oresme (1323 – 1382)

Nicole Oresme là một nhà toán học người Pháp, ông là một trong những nhà khoa học lớn thời Trung cổ, ông có những nghiên cứu quan trọng cho khoa học thời Phục hưng Năm 1348, Nicole Oresme giành được học bổng của đại học Paris, cũng chính năm đó ở Châu Âu đã xảy ra nạn dịch Cái chết đen làm chết hơn 1/3 dân số của Châu Âu Năm 1355, ông đã có bằng thạc sĩ

và được bổ nhiệm làm hiệu trưởng của trường Đại học Navarre của Pháp Ông là nhà khoa học lớn nhất ở thế kỉ XIV Ở giai đoạn khó khăn, dịch bệnh như vậy mà ông đã làm những điều quá sức phi thường, thật là một điều không tưởng

Phương trình hàm đã được các nhà khoa học nghiên cứu từ rất sớm Ngay từ thế kỉ XIV, nhà toán học Nicole Oresme đã xác định hàm số bậc nhất như một nghiệm của phương trình hàm Cụ thể là, ông đã đặt bài toán tìm hàm số f x( ) thỏa mãn với mọi x y z, , R, đôi một phân biệt, phương trình

hàm như sau:

1.1.2 Gregory of Saint – Vincent (1584 – 1667)

Trong vài trăm năm tiếp theo, phương trình hàm đã được biết đến nhiều hơn nhưng lại không có một lý thuyết chung nào cho các phương trình hàm lúc đó Trong số nhà toán học lớn có nhà toán học Gregory of Saint – Vincent, người đi đầu về lý thuyết Logarithm và đã tìm ra được hàm hypebol trong phương trình hàm: f xy( ) f x( ) f y( )

Ông đã xét bài toán diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi các đường 1

Ngày nay thì ta đã biết đó là hàm f x  loga x với a0,a1

Tuy nhiên, việc giải và tìm ra nghiệm của phương trình hàm

( ) ( ) ( ), ,

f xy  f x  f y x yR thì phải đến 200 năm sau mới tìm được nhờ công của Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885)

1.1.3 Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885)

Augustin – Louis Cauchy được sinh ra tại Paris năm 1789, năm xảy ra cuộc cách mạng Pháp kéo dài đến 10 năm Khi Cauchy được 10 tuổi thì bố ông đã đem cả gia đình về quê sống ẩn dật cho đến năm 1800 Năm 13 tuổi, Cauchy vào học trường trung tâm của Parthenon Ở đó vua Napoleon đã đặt

ra nhiều giải thưởng và một kỳ thi học sinh giỏi cho tất cả các trường của nước Pháp thuộc cùng một lớp Cauchy đứng đầu lớp và đạt nhiều giải nhất

về các môn học tiếng La Tinh, Hy Lạp và thơ La Tinh

Năm 1805, khi 16 tuổi Cauchy đã gặp được một thầy dạy Toán giỏi và

đã thi đỗ thứ hai vào trường Đại học Bách Khoa Năm 1807 ông vào học trường Đại học Cầu đường và tuy mới 18 tuổi nhưng ông đã vượt qua các bạn học 20 tuổi, mặc dù các bạn này đã học 2 năm ở trường này rồi Năm 1813, ông dạy toán ở Trường Bách Khoa và thành hội viên Hàn lâm viện Khoa học Pháp

Bước vào tuổi 27, ông là nhà toán học xuất sắc thời bấy giờ, ông nghiên cứu ở nhiều lĩnh vực Tuy nhiên, ông chủ yếu được biết đến trên lĩnh vực toán học và được công nhận là một trong những người sáng lập nên toán học hiện đại

Mặc dù định nghĩa của Nicole Oresme về tuyến tính có thể được hiểu như là một ví dụ đầu tiên về một phương trình hàm, nó không đại diện cho một điểm khởi đầu cho lý thuyết về phương trình hàm Các chủ đề của phương trình hàm được đánh dấu một cách chính xác hơn từ công việc của Augustin – Louis Cauchy Một trong những phương trình hàm nổi tiếng mà ta hay gọi là phương trình Cauchy có dạng:

f x y  f x  f y x y, R. (1.2) Nghiệm của phương trình (1.2) có dạng: f x ax.

Phương trình (1.2) cũng đã được Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) và Legandre nghiên cứu khi tìm ra định lí cơ bản của hình học xạ ảnh và khi nghiên cứu phân phối Gauss về phân bố xác suất G Darbour cũng đã nghiên cứu phương trình (1.2) và chỉ ra rằng chỉ cần f x  hoặc liên tục tại một điểm, hoặc bị chặn trên (hoặc dưới) trên một khoảng đủ nhỏ thì nghiệm của

phương trình (1.2) vẫn là f x kx. Sau đó các nhà toán học còn đưa ra nhiều hạn chế nữa, nhưng việc chỉ ra hàm số không liên tục và thỏa điều kiện

(1.2) mãi đến năm 1905 mới được thực hiện bởi nhà toán học người Đức Georg Hamel (1877 – 1954) với việc đưa ra hệ cở sở Hamel của tập số thực.

đúng với mọi n R và với mọi xR, trong đó các tổ hợp xR được xác

định từ tam giác Pascal và được tính theo công thức:

!

n n n n i i

Jean d'Alembert sinh năm 1717 ở Paris, ông là con ngoài giá thú của một

sĩ quan quân đội và một nhà văn Ông được sinh ra khi cha ông đang ở nước ngoài, vì sợ ảnh hưởng đến tiếng tăm của mình, mẹ ông đã để ông trên bậc thang lối vào nhà thờ Saint – Jean – leRond Theo tục lệ, ông được đặt tên là Jean le Rond, sau đó nhà thờ gởi ông vào trại trẻ mồ côi trông nom nhưng cũng sớm được nhận nuôi bởi vợ của người thợ làm kính Mặc dù, Destouches - cha ông hỗ trợ tài chính và lo cho con trai của mình ăn học, ông

đã không công khai thừa nhận Jean d'Alembert là con trai mình Năm 1738, Jean le Rond vào trường luật, ông lấy tên Daremberg Sau đó ông đã đổi thành d'Alembert Năm 1741, nhờ nỗ lực của mình, d'Alembert vào Viện Hàn lâm Khoa học Pháp như trợ lý thiên văn học, hai năm tiếp theo, ông đã thực hiện rất nhiều nghiên cứu về cơ học và xuất bản nhiều bài báo và nhiều cuốn sách, năm 1746, d'Alembert được thăng chức Phó Uỷ viên của Hội đồng toán học

Trong lịch sử, Jean d'Alembert có thể được coi là tiền bối về nghiên cứu phương trình Cauchy Tuy nhiên, trong vấn đề về phương trình hàm, nó có vẻ

tự nhiên hơn khi xem xét đóng góp của ông sau Cauchy

Khi nghiên cứu định luật tổng hợp lực theo quy tắc hình bình hành, ông

Phương trình này làm ta liên tưởng đến các tính chất của các hàm số lượng giác Xét các hàm số lượng giác đơn giản ta thấy hàm số g x( )cosx

thỏa mãn nhưng hàm số g x( )sinx thì lại không thỏa mãn Câu hỏi đặt ra là liệu có còn các nghiệm khác không? Và người ta đã chỉ ra các nghiệm đó có dạng: g x  .cosb ax, với việc chọn các hằng số a b, phù hợp

Tuy nhiên, khi thay x y 0 vào phương trình (1.5) ta được

2

(0) (0),

g g suy ra g(0)0 hoặc g(0)1 lần lượt tương ứng với trường hợp b0 và b1 Với a là một hằng số tùy ý, nếu g x( ) là một nghiệm bất kì của phương trình (1.5) thì g ax( ) cũng là một nghiệm

Như vậy, nghiệm ban đầu có thể mở rộng thành g x( )  0 hoặc

( ) cos

g x  x

Người ta lại tự hỏi, ngoài các nghiệm trên thì có nghiệm nào khác không? Câu trả lời là có Và một lần nữa, vào năm 1821, Cauchy đã giải được

phương trình hàm trên với điều kiện g x( ) là hàm liên tục và được nghiệm là:

Cấu trúc cơ bản của một phương trình hàm gồm ba phần chính:

- Miền xác định và miền giá trị

f f

Thử lại, với x y, 0hoặc x y 0 thì (1.10) thỏa mãn

Với x0 và y0 thì f x( )1 và f y( )a, thay vào (1.10) thì cũng thỏa mãn

Vậy f x( )  0, x R hoặc 1 khi 0

f x x a

a

b a

 2

11

f f

Thử lại, ta thấy f x  thỏa mãn điều kiện của bài toán

Vậy nghiệm của bài toán là:   2

nhiều lời giải cho bài toán này Cụ thể là chúng ta xây dựng nghiệm vô hạn

như sau, cho g là hàm liên tục được xác định trên nửa khoảng 0,1  Lấy

     ,

f x g x x trong đó  x là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng x.Khi đó, ta thấy hàm f x  thỏa mãn phương trình trên bởi vì

x  1 x   1 x  x . Tương tự, ta có phương trình f f x  x cũng có nghiệm vô hạn mà một trong số nghiệm đó là f x x. Và chúng ta có thể chứng minh được là f x  x sẽ vô nghiệm nếu f là hàm liên tục

Trong giải các phương trình hàm, có rất nhiều nghiệm xuất hiện bằng cách lấy đạo hàm Điều quan trọng là chúng ta phải thử vào phương trình ban đầu và kiểm tra lại Nếu phép lấy đạo hàm chỉ ra có duy nhất một hàm số có thể là nghiệm thì hàm số đó chưa hẳn là nghiệm của phương trình ban đầu

Mặt khác chúng ta nên tìm một hướng giải độc lập với cách giải ban đầu cho đến khi tìm ra nghiệm hoàn toàn

Ví dụ 8: Tìm tất cả các hàm số f : 1,[ )[1, ,) sao cho:

với x y,  [1, )

Ta sẽ chứng minh nghiệm đó là duy nhất

Cho x y 1 thay vào (1.18) ta được: f f  1  f  1

Cho y f  1 thay vào (1.18) thì ta được:

Giả sử x0 sao cho f x 0  x0 ,ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: f x 0 x0  f  f x 0  f x 0 x0  f x 0 vô lý

Trường hợp 2: f x 0 x0  f f x 0  f x 0 x0  f x 0 vô lý

Vậy f x   x, x R.

Vậy f x   x, x R là nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 9: Tìm tất cả các hàm số f R: R thỏa mãn điều kiện:

 2    2 

đi chứng minh f x x là nghiệm duy nhất của phương trình

Hay f x  f  x ,  x R.

Bây giờ, ta giả sử f x    x u, x R. Xét các trường hợp sau:

Nếu u0 thì theo (1.26), (1.28) và (1.29) ta có:

         .

x f f x  f xu  f x  f u   x u f u Điều này mâu thuẫn vì u0 và f u  0 theo (1.28)

Nếu u0 thì  u 0 suy ra:

Vậy f x x là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Ví dụ 10: Tìm tất cả các hàm số f x  thỏa mãn điều kiện:

Thật vậy, cho x y 0 thay vào điều kiện a ta được: f  0  0.

Lại cho y x ta có: f    x f x , suy ra f x  là hàm số lẻ

x f

x x x

1

1

x f x x

1

f x x

x x

f x x

x x

CHƯƠNG 2 GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN 2.1 PHƯƠNG TRÌNH CAUCHY

Vậy f p  pf  1 với f  1 a nên ta có: f p ap,  p Q.

Mệnh đề 2.2 Giả sử f R: R và g R: R là hai hàm liên tục sao cho

( ) ( )

f q  g q với mọi q là số hữu tỉ

Khi đó f x( )g x( ) với mọi x là số thực

Chứng minh: Ta có thể viết số thực x dưới dạng khai triển số thập phân vô

hạn và cho ( )q i là dãy số hữu tỉ với iN Khi đó lim i .

Tuy nhiên, theo giả thiết thì f r( )g r( ), r Q.

Vì vậy f q( )i g q( )i với mọi i = 1,2,…

Do đó, f x( )g x( ), x R

Kết hợp mệnh đề 2.1 và mệnh đề 2.2 lại với nhau ta có được kết quả

Định lý 2.3 Cho f R: R là hàm liên tục thỏa mãn phương trình Cauchy

f xy  f x  f y x yR

Khi đó a sao cho f x( )ax với mọi x là số thực

Chứng minh: Từ mệnh đề 2.1, ta thấy rằng tồn tại một số thực a sao cho

Chứng minh:

a) Chứng minh rằng f nx( )nf x( ) với mọi số thực x

Từ phương trình hàm Cauchy suy ra f(0)0, (f   x) f x( )

b) Xác định p d c Chứng minh rằng f bị chặn dưới trên đoạn

[0, ].p Vì f bị chặn dưới trên đoạn [ , ]c d nên tồn tại một số thực A sao cho:

Theo câu b, ta có f bị chặn dưới trên đoạn [0, ]p nên tồn tại một sao thực B

sao cho f x( )B, với 0 x p

Vì vậy ta chia hai trường hợp đó là: f p( )0, ( )f p 0

Vậy g không những bị chặn dưới trên đoạn [0, ]p mà còn thỏa mãn phương trình Cauchy

d) Chứng minh rằng g là hàm tuần hoàn với chu kỳ p nghĩa là:

g x p g x  x R

Từ kết luận này và từ việc g bị chặn dưới trên đoạn [0, ]p suy ra g cũng bị

chặn dưới trên toàn trục số thực   , .

Theo câu c, ta có g thỏa mãn phương trình Cauchy nên:

 

Nên g là hàm tuần hoàn với chu kỳ p

e) Giả sử tồn tại giá trị x0thỏa mãn g x( 0)  0. Bằng chứng minh phản chứng, chỉ ra rằng dãy số g nx( 0), n    1, 2, 3, không bị chặn dưới

Giả sử dãy số g nx( 0), n    1, 2, 3, bị chặn dưới Nghĩa là

f) Chứng minh rằng g nx( 0)  0 với mọi số thực x, và vì thế f x( )ax với mọi số thực x, với ( )

f p a

n n

n n

n n

n n

Vì f là hàm đồng biến nên cho một đoạn [ , ]c d bất kỳ nào đó Ta có thể đặt

( )

A f c thì f x( ) Avới c x d

Do f x( )thỏa mãn các điều kiện của định lý 2.4 nên ta có đƣợc: f x( )ax

Chúng ta thấy rằng khi a0 thì f x( ) là hàm đồng biến

Mệnh đề 2.6 Giả sử f R: R thỏa mãn cả hai phương trình

( ) [ ( )]

Do đó, ta có thể kết luận: f z( )0, z 0 (2.3) Giả sử x y. Thay y y x vào (2.1), ta nhận đƣợc:

Cách này cũng áp dụng (2.3), nhƣng theo cách trực tiếp Từ (2.3), với mọi

0 c d, ta có f x( )0 với mọi x[ , ].c d Theo Định lí 2.4 hàm bị chặn

dưới trên đoạn [ , ]c d vì a0 Do đó,  a 0 : ( )f x ax, x R Lập luận như cách thứ nhất, ta có được a0 hoặc a1.

2.1.2 Các bài toán về phương trình Cauchy

Bài toán 1 Xác định tất cả các hàm số f x( ) liên tục trên R thỏa mãn điều

Giả sử, với k nguyên dương, ta có: f kx( )kf x( ), x R

Do đó, ta có:

( ) ( )( ) ( )

2 2

Vậy nghiệm của bài toán là: f x( )ax với xR a, R

Bài toán 2 (IMO 1979) Cho hàm f R: R thỏa mãn điều kiện:

f xy x y  f xy  f x  f y x yR (2.8) Chứng minh rằng:

Khi đó từ b) ta suy ra: 2 ( ) 1 ( ) 2 , , [0,1].

Phương trình này chính là phương trình Cauchy cho trung bình cộng Giả sử

f là hàm liên tục với miền của hàm f là toàn bộ trục số thực

2.2.2 Các bài toán về phương trình Jensen

Bài toán 5 Tìm tất cả các hàm f x( ) xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện:

Thử lại, ta thấy nghiệm f x( )axb thỏa mãn (2.18)

Vậy nghiệm của bài toán là: f x( )ax b, a b, R

Bài toán 6 Tìm hàm f R: Rxác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện:

Theo bài toán 5 thì g u( )aub

Vậy nghiệm của bài toán là: f x( )alnx b, a b, R

Bài toán 8 Xác định các hàm số f x  liên tục trên R\ 0  và thỏa mãn điều kiện:

Đây chính là phương trình Cauchy Vì f liên tục nên dẫn đến f0 cũng liên tục Do đó, ta có: f z0( ) cz,  z R(áp dụng nghiệm của phương trình Cauchy)

Vì vậy nghiệm của phương trình Pexider (2.27) là:

2.3.2 Các bài toán về phương trình Pexider

Bài toán 9 Tìm tất cả các hàm f x g x h x( ), ( ), ( ) xác định và liên tục trên R

thỏa mãn điều kiện:

(xy)  a b [ ( ) x   a b] [ ( ) y    a b] a b

(x y) ( )x ( ),y x y, R

Mà f x( )là hàm liên tục trên Rnên ( )x cũng là hàm liên tục trên R

Do đó, (2.33) chính là phương trình hàm Cauchy nên ( )x cx c, R

Thử lại, ta thấy hàm thỏa mãn phương trình đã cho

Nên nghiệm của bài toàn là:

( )( )

Bài toán 10 Tìm tất cả các hàm f x g x h x( ), ( ), ( ) xác định và liên tục trên R

thỏa mãn điều kiện: