Phương trình hàm hai biến

Luận văn tập trung vào việc hệ thống lại kiếnthức liên quan đến phương trình hàm nói chung và phương trình hàm haibiến nói riêng, các dạng toán cơ bản và một số phương pháp thường gặp để

DƯƠNG THỊ NỮ

PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2020

DƯƠNG THỊ NỮ

PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN

Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS PHẠM QUÝ MƯỜI

ĐÀ NẴNG - 2020

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 4

1.1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN 4

1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 5

1.2.1 Ánh xạ 5

1.2.2 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh 5

1.2.3 Hàm số 6

1.2.4 Một số tính chất của hàm số 7

1.2.5 Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp 9

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY VÀ ỨNG DỤNG 11

2.1 PHƯƠNG TRÌNH CAUCHY 11

2.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ SUY RA TỪ PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY 13

2.3 ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH CAUCHY 14

2.4 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC 19

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN .25

3.1 PHƯƠNG PHÁP THẾ BIẾN 25

3.2 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG GIỮA

∀, ∃ : Các ký hiệu của logic ( Với mọi, tồn tại)

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Lý thuyết phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứuquan trọng của Giải tích toán học Các dạng toán về phương trình hàm rấtphong phú bao gồm các loại phương trình tuyến tính và phương trình phituyến, phương trình một ẩn hàm và phương trình nhiều ẩn hàm Trongcác kỳ thi olympic toán, thường xuất hiện các dạng toán khác nhau có liênquan đến phương trình hàm hai biến Tuy nhiên, hiện nay học sinh rấtkhó khăn trong việc tìm phương pháp để giải các phương trình hàm haibiến và ứng dụng của chúng Với mong muốn nâng cao kiến thức, kỹ nănggiải và sáng tạo từ các dạng toán cơ bản, điển hình của phương trình hàm

mà nghiệm của nó có thể dễ dàng tìm được trong lớp các hàm số sơ cấpquen thuộc, tôi quyết định chọn đề tài: “Phương trình hàm hai biến” choluận văn thạc sỹ của mình Luận văn tập trung vào việc hệ thống lại kiếnthức liên quan đến phương trình hàm nói chung và phương trình hàm haibiến nói riêng, các dạng toán cơ bản và một số phương pháp thường gặp

để giải phương trình hàm hai biến Luận văn cũng làm nổi bậc một số ứngdụng phương trình hàm Cauchy trong việc giải các bài toán về phươngtrình hàm hai biến

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Trên cơ sở hệ thống lại các kiến thức liên quan đến phương trình hàm,luận văn trình bày tổng hợp, sắp xếp lại lý thuyết về phương trình hàm haibiến, các dạng phương trình trình hàm cơ bản Luận văn cũng tập trungvào nghiên cứu ứng dụng phương trình hàm Cauchy và một số phươngpháp khác thường gặp để giải bài toán về phương trình hàm hai biến

3 Đối tượng nghiên cứu

- Phương trình hàm hai biến;

- Một số dạng phương trình hàm hai biến và ứng dụng;

- Phương pháp để giải phương trình hàm hai biến

4 Phạm vi nghiên cứu

Phương trình hàm; Các dạng phương trình hàm hai biến và ứng dụng;Một số phương pháp thường gặp để giải phương trình hàm hai biến

5 Phương pháp nghiên cứu

Với đề tài: “Phương trình hàm hai biến” tôi đã sử dụng các phươngpháp nghiên cứu sau:

- Nghiên cứu các tài liệu tham khảo về phương trình hàm hai biến vàmột số phương pháp để giải phương trình hàm hai biến;

- Thu thập, phân tích, so sánh và đánh giá đối với những bài toán khithay đổi tính chất của các hàm thì cách giải khác nhau nhưng kết quảkhông đổi;

- Tổng hợp một số phương pháp thường gặp để giải phương trình hàmhai biến

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và thực tiễn Có thể sử dụng luận vănnhư là tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành toán, bồi dưỡng họcsinh giỏi toán và các đối tượng quan tâm đến phương trình hàm nói chung

và phương trình hàm hai biến nói riêng

7 Bố cục của luận văn

Luận văn có cấu trúc như sau

Kết luận

Tài liệu tham khảo

CHƯƠNG1 TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ

MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Trong chương này, luận văn trình bày các khái niệm cơ bản về phươngtrình hàm, cách phân loại phương trình hàm và phương trình hàm haibiến Luận văn cũng nhắc lại các kiến thức cơ bản về hàm một biến như:Ánh xạ; tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh; khái niệm và tính chất của hàm

số Các khái niệm cơ bản về phương trình hàm và cách phân loại, luận văntham khảo tài liệu [10] Trong khi đó, các kiến thức cơ bản về ánh xạ vàhàm một biến, luận văn tham khảo các tài liệu [2, 3, 5, 7, 8]

1.1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN

Phương trình hàm là phương trình mà ẩn là một hoặc nhiều hàm số.Giải phương trình hàm là tìm các hàm số thỏa mãn phương trình đó.Cấu trúc cơ bản của một phương trình hàm gồm ba phần chính:

* Miền xác định và miền giá trị;

* Phương trình hoặc hệ phương trình hàm;

* Một số điều kiện bổ sung (tính tăng, giảm, bị chặn, liên tục, khả vi, của hàm số)

Người ta thường phân loại phương trình hàm theo hai yếu tố chính:Miền giá trị và số biến tự do Trong luận văn này, chúng ta phân loạiphương trình hàm dựa vào số biến tự do có mặt trong phương trình hàm

đó và chỉ giới hạn nghiên cứu các phương trình hàm hai biến với ẩn là hàm

số một biến

1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1.2.1 Ánh xạ

Định nghĩa 1.2.1 Cho hai tập hợp A và B Mỗi quy tắc tương ứng f

thỏa mãn với mỗi a ∈ A tương ứng với một và chỉ một phần tử b ∈ B,

được gọi là một ánh xạ f từ Ađến B, ký hiệu là f : A → B, a 7→ f(a) = b

hay ngắn gọn hơn là f : A → B

Phần tử b được gọi là ảnh của a qua ánh xạ f và viết b = f (a)

Cho ánh xạ f : A → B, ta thường quan tâm đến hai tập hợp sau đây:

* Tập hơp f (A) = {f (a) |a ∈ A} , được gọi là ảnh của tập hợp A (haycòn được gọi là tập giá trị của ánh xạ f)

* Tập hợp f−1(b) = {a ∈ A|f (a) = b} , được gọi là nghịch ảnh của b.1.2.2 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh

Định nghĩa 1.2.2 Ánh xạ f : A → B được gọi là đơn ánh nếu với mọi

a1, a2 ∈ A, a1 6= a2, ta có f (a1) 6= f (a2)

Chú ý 1.2.3

* Ánh xạ f : A → B là đơn ánh khi và chỉ khi với mọi a1, a2 ∈ A, nếu

f (a1) = f (a2) thì a1 = a2

* Ánh xạ f : A → B là đơn ánh khi và chỉ khi với mỗi b ∈ B, tập

f−1(b) có nhiều nhất một phần tử hay nói cách khác phương trình

f(a) = b có không quá một nghiệm

Định nghĩa 1.2.4 Ánh xạ f : A → B được gọi là toàn ánh nếu với mỗi

b ∈ B luôn tồn tại a ∈ A sao cho f (a) = b

Chú ý 1.2.5 Ánh xạ f : A → B là toàn ánh khi và chỉ khi f (A) = B

Định nghĩa 1.2.6 Ánh xạ f : A → B được gọi là song ánh nếu f vừa

là đơn ánh và vừa là toàn ánh

Chú ý 1.2.7 Ánh xạ f : A → B là song ánh khi và chỉ khi với mỗi

b ∈ B, tồn tại duy nhất a ∈ A sao cho f (a) = b

Định nghĩa 1.2.8 Giả sử ánh xạ f : A → B là một song ánh Khi đó,quy tắc tương ứng với mỗi phần tử y ∈ B với phần tử x = f−1(y)(tạoảnh của y) là một ánh xạ và được gọi là ánh xạ ngược của f, ký hiệu là

f−1

1.2.3 Hàm số

Định nghĩa 1.2.9 Cho hai tập khác rỗng X ⊂ R và Y ⊂ R Khi đó,mỗi ánh xạ f : X → Y được gọi là một hàm số một biến số từ tập X đếntập Y

Định nghĩa 1.2.10 Cho hàm số f : X → Y Khi đó,

* Tập X được gọi là tập xác định của hàm số fvà thường được ký hiệu

là Df hoặc D(f )

* Nếu x0 ∈ X thì f (x0) được gọi là giá trị của hàm f tại x0

* Tập hợp T = f (X) = {f (x) |x ∈ X} được gọi là tập giá trị của hàm

số f

* Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm bất động của hàm f nếu f (x0) = x0

Chú ý 1.2.11 Với những khái niệm trên, ta có:

* y0 là một giá trị của hàm số f khi và chỉ khi phương trình f (x) = y0

có nghiệm Hay nói cách khác, phương trình f (x) = y0 có nghiệmkhi và chỉ khi y0 thuộc tập giá trị của hàm f

* Hàm số f là toàn ánh khi và chỉ khi với mỗi y ∈ Y, phương trình

Định nghĩa 1.2.14 (Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn).

* Hàm số f được gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tạimọi điểm x0 ∈ (a; b)

* Hàm số f được gọi là liên tục trên đoạn [a, b] nếu f liên tục trênkhoảng (a, b) và lim

x →a +f (x) = f (a), lim

Định nghĩa 1.2.16 (Tính đơn điệu) Giả sử tập K là một trong các tập:

(a; b), (a, b] , [a, b), [a, b]

* Hàm sốf được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọix1, x2 ∈ K,

* Hàm số f được gọi là tăng thực sự trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2

f(x) − f(x0)

x− x0

tồn tại hữu hạn và giới hạn đó được gọi là đạo hàm phải của f tại

x0, kí hiệu f′(x+0) = B

* Hàm số f được gọi là có đạo hàm (khả vi) trái tại điểm x0 nếu

C = lim

x →x − 0

f(x) − f(x0)

x− x0

tồn tại hữu hạn và giới hạn đó được gọi là đạo hàm trái của f tại x0,

kí hiệu f′(x−0) = C

Định nghĩa 1.2.20 (Tính khả vi trên một khoảng, đoạn)

* Một hàm số được gọi là khả vi trong khoảng (a, b) nếu hàm số đó cóđạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a, b)

* Một hàm số được gọi là khả vi trong khoảng [a, b] nếu hàm số đó cóđạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a, b), có đạo hàm phải tại a và

có đạo hàm trái tại b

Để mô tả bức tranh mang tính định hướng, gợi ý và dự đoán công thứcnghiệm của các bài toán liên quan đến phương trình hàm, chúng ta xétmột vài tính chất hàm tiêu biểu của một số dạng hàm số quen thuộc sau:1) Hàm tuyến tính:f (x) = ax, (a 6= 0) có tính chất:

f(x + y) = f (x) + f (y) với mọi x, y ∈ R

2) Hàm bậc nhất: f (x) = ax + b, (a 6= 0, b 6= 0) có tính chất:

f



x+ y2



= f (x) + f (y)

2 ,∀x, y ∈ R

CHƯƠNG2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY VÀ ỨNG

DỤNG

Trong chương này, luận văn tập trung nghiên cứu phương trình hàmhai biến Cauchy và một số ứng dụng của phương trình hàm này Đầu tiên,luận văn nghiên cứu phương trình hàm Cauchy Sau đó, trình bày một

số ứng dụng của phương trình này để giải các bài toán khác nhau Cácphương trình được trình bày trong chương này được tham khảo từ các tàiliệu [1, 2, 3, 5, 10]

f(2x) = 2f (x) với ∀x ∈ R (2.2)

Từ (2.2) cho x = 0ta được:f (0) = 0 Từ (2.1) và (2.2) và bằng phươngpháp quy nạp ta chứng minh được:

f (nx) = nf (x) , ∀x ∈ R,∀n ∈ N (2.3)Hơn nữa, từ (2.1) cho y = −x và sử dụng f (0) = 0, ta được:

f(−x) = −f (x) với ∀x ∈ R (2.4)Bởi vậy, khi n= −1, −2, −3, , sử dụng (2.3) và (2.4), ta có:

f (nx) = f (−n (−x)) = −nf (−x) = nf (x) , ∀x ∈ R (2.5)

Từ (2.3) và (2.5) suy ra

f (nx) = nf (x) , ∀x ∈ R,∀n ∈ Z (2.6)

f (r) = rf (1) , ∀r ∈ Q.

Với mỗi x ∈ R, tồn tại dãy số hữu tỉ {rn}+∞

1 sao cho lim

Thử lại, ta thấy f (x) = ax thỏa mãn phương trình (2.1)

Vậy hàm số thỏa mãn đề bài là: f (x) = ax với a ∈ R tùy ý

Nhận xét 2.1.1

* Từ bài toán phương trình hàm Cauchy, ta có thể thấy rằng hàmf (x)

liên tục trên R thỏa mãn:

f (x1 + x2 + + xn) = f (x1) + f (x2) + + f (xn) ,

với mọi x1, x2, , xn ∈ R (n≥ 2) vẫn chỉ là hàm f (x) = ax

* Trong phương trình Cauchy (2.1), nếu ta thay giả thiết hàmf liên tụctrên R bởi hàm số f liên tục tại điểm x0 thì kết quả trên vẫn đúng.Thật vậy, nếu hàm f liên tục tại điểm x0 thì lim

t →x 0

f (t) = f (x0) Khi

Do đó, f liên tục tại mọi x ∈ R.

2.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ SUY RA TỪ PHƯƠNG TRÌNH HÀMCAUCHY

Mệnh đề 2.2.1 Cho f : R → R thỏa mãn phương trình Cauchy:

x

Chứng minh Vì tập số hữu tỉ trù mật trong R nên ta suy ra f = g

trên R Chứng minh tương tự như trong phần cuối của chứng minh Bàitoán 1

Mệnh đề 2.2.3 Cho f : R → R là một hàm liên tục thỏa mãn phươngtrình Cauchy f(x + y) = f (x) + f (y) với mọi x, y ∈ R Khi đó tồn tại sốthực a sao cho f (x) = ax, ∀x ∈ R

Chứng minh Điều này suy ra từ chứng minh của Bài toán 1

Mệnh đề 2.2.4 Nếu hàm số f : R → R thỏa mãn phương trình Cauchy:

f(x + y) = f (x) + f (y) với mọi x, y ∈ R, (2.9)

và f là hàm đồng biến thì f (x) = ax với a > 0

Chứng minh Lần lượt thay y = 0 và y = x vào (2.9) ta được:

f (0) = 0 và f(2x) = 2f (x) với ∀x ∈ R Vì f là hàm đồng biến nên

f (x) > 0 khi x > 0 và f (mx) = mf (x), với ∀x ∈ R và ∀m ∈ N∗ Từphương trình này, thay x bởi x

m, ta được:

f  xm

Mệnh đề 2.2.5 Giả sử f : R → R là hàm liên tục và thỏa mãn cặpphương trình:

f(x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (2.10)

f (x.y) = f (x) f (y) , ∀x, y ∈ R (2.11)Khi đó, f (x) = 0 với mọi x ∈ R hoặc f (x) = x với mọi x ∈ R

Chứng minh Thay y = 1 vào (2.11) ta có:

f (x) = f (x) f (1) ⇔ f (x) [1 − f (1)] = 0 ⇔



f (x) = 0

f (1) = 1 (2.12)Nếu f (1) 6= 1 thì (2.12) suy ra f (x) = 0 và nghiệm này thỏa (2.10).Nếu f (1) = 1 thì từ (2.10) và tính liên tục của hàm f (Bài toánCauchy), ta có f (x) = f (1) x = x với mọi giá trị x

Vậy ta có điều cần chứng minh

2.3 ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH CAUCHY

Trong phần này, chúng ta ứng dụng phương trình Cauchy để giải một

số bài toán và ví dụ khác nhau Ý tưởng cơ bản ở đây là thông qua cácphép đổi biến và đặt hàm phụ, chúng ta biến đổi phương trình hàm cầngiải về phương trình Cauchy hoặc các phương trình đã giải được dựa trêncác kết quả đã biết từ phương trình Cauchy

Ví dụ 2.3.1 (Phương trình mũ Cauchy) Tìm tất cả các hàm sốf : R → Rliên tục trên R và thỏa mãn:

f (x + y) = f (x) f (y) , ∀x, y ∈ R (2.13)Giải Nhận xét rằng f (x) ≡ 0 là một nghiệm của (2.13) Xét trườnghợp f (x) 6= 0 Khi đó, tồn tại x0 ∈ R sao cho f (x0) 6= 0 Từ (2.13) ta có:

Vì thế, g là nghiệm của Bài toán 1 (phương trình hàm Cauchy)

Vậy, g(x) = bx, với b ∈ R tùy ý Khi đó, f (x) = eg(x) = ebx = ax, với

Từ ví dụ 2.3.1 và do f (x) 6= 0 nên f (x) = ax, với a > 0 tùy ý

Ví dụ 2.3.3 Xác định các hàm f (x) liên tục trên R\ {0} và thỏa mãn

f (x.y) = f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ R\ {0} (2.15)Giải Với x, y ∈ R+ Ta đặt x = eu, y = ev và f (et) = g (t) Khi đó, g

= f (x) − f(y), ∀x, y ∈ R+ (2.16)Giải Đặt t = xy Khi đó, x = ty và từ (2.16) ta có:

f (t) = f (ty) − f (y) ⇔ f (ty) = f (t) + f (y) , ∀t, y ∈ R+

Theo kết quả Ví dụ (2.3.4), nghiệm của bài toán là f (x) = a ln x, ∀x ∈



= f (x) + f (y)

2 , ∀x, y ∈ R

Giải Đặt f (x) − f (0) = g (x) và f (0) = b Ta có g(x) là hàm liêntục trên R, g(0) = 0 Hơn nữa,

g



x+ y2



= f



x+ y2

Vậy g là nghiệm của Bài toán 1 Vì thế g(x) = ax, ∀x ∈ R Khi đó, với

f(0) = b, ta cóf (x) = ax + b Vậy nghiệm của bài toán là f (x) = ax + b,

* Nếu ∃x0 > 0 sao cho f (x0) = 0 thì f √x0y



= h(u) + h (v)

với mọi u, v ∈ R Vì g(x) liên tục trên R nên h(u) cũng liên tục trên R

Từ Ví dụ 2.3.5, ta có: h(u) = au + b, với a, b ∈ R tùy ý Vì thế,

g(u) = eau+b và f(x) = g(ln x) = ea ln x+b = cxa với c > 0

Vậy, nghiệm của bài toán làf (x) ≡ 0hoặcf (x) = cxa,vớia ∈ R, c > 0

là các số tùy ý

Ví dụ 2.3.7 Tìm các hàm f (x) xác định, liên tục trên R\ {0} và thỏamãn

f (xy) = f (x) f (y) , ∀x, y ∈ R\ {0} (2.18)Giải Thay y = 1 vào (2.18) ta được:

f (x) (1 − f (1)) = 0, ∀x ∈ R (2.19)Nếu f (1) 6= 1 thì từ (2.19) suy ra f (x) ≡ 0 và là nghiệm của bài toán.Nếu f (1) = 1 thì f (1) = f xx1

= f (x) f x1

,∀x ∈ R\ {0} Điều

này suy ra f (x) 6= 0 với mọi x ∈ R\ {0} Từ (2.19) ta cũng có f x2
=

(b) Với x, y ∈ R− thì xy ∈ R+ Thay y = x trong (2.18) và theo kếtquả phần (a), ta có:



f (x) + f(y)1 ,∀x, y ∈ R

Ví dụ 2.3.9 Tìm hàm f xác định, liên tục trên R\ {0} , thỏa mãn

= g(u) + g (v)

với mọi u, v ∈ R\ {0} , u + v 6= 0

Vì hàm g(u) là hàm liên tục trên R\ {0}, nên theo kết quả Ví dụ 2.3.5

ta có g(u) = au + b Hơn nữa, vì g(u) 6= 0, ∀u 6= 0 nên g(u) = au, với

a 6= 0 hoặc g(u) = b, với b 6= 0

Vậy hàm f cần tìm là f (x) = xa, với a 6= 0 hoặc f (x) = 1b, với b 6= 0

2.4 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC

Ví dụ 2.4.1 Tìm tất cả các hàm số f : R → R liên tục trên R và thỏamãn

f(x + y) = f (x) + f (y) + xy, ∀x, y ∈ R (2.22)Giải Xét hàm số g : R → R thỏa mãn:

f (x) = g (x) + cx2,∀x ∈ R

Ta tìm c sao cho khi thay vào phương trình (2.22) ta được:

g(x + y) = g (x) + g (y)

Thử lại ta thấy hàm số f (x) = ax + x22 thỏa mãn phương trình (2.22).Vậy nghiệm của phương trình là: f (x) = ax + x22, với mọi x ∈ R, với

a ∈ R tùy ý

Ví dụ 2.4.2 Tìm tất cả các hàm số f : R → R liên tục trên R và thỏamãn

f(x + y) = f (x) + f (y) + x2y + xy2 + xy, ∀x, y ∈ R (2.23)Giải Đặt f (x) = g (x) + bx2 + cx3 Ta tìm b, c sao cho khi thay vàophương trình (2.23) ta được: g(x + y) = g (x) + g (y) với mọi x, y ∈ R

Ta có:

f(x + y) = g(x + y) + b(x + y)2 + c(x + y)3

= g (x) + bx2 + cx3 + g(y)+ by2 + cy3 + 3c(x2y + xy2) + 2bxy

Ta cần chọn b, c sao cho: 2bxy + 3c(x2y+ xy2) = xy + x2y+ xy2, nghĩa là

2b = 13c = 1 ⇔

3 và g(x + y) = g (x) + g (y) với mọi

x, y ∈ R Vì g là hàm liên tục nên g(x) = ax, a là hằng số tùy ý

Vậy f (x) = ax + x22 + x33 với mọi x ∈ R, trong đó a là hằng số tùy ý

Ví dụ 2.4.3 Tìm tất cả các hàm số f : R → R liên tục trên R và thỏa

f(x + y) = f (x) + f (y) + 1

2(x

2y + xy2) − xy, ∀x, y ∈ R (2.24)Giải Đặt f (x) = g (x) + bx2 + cx3 Ta tìm b, c sao cho khi thay vàophương trình (2.24) ta được

Vậy f (x) = ax − x22 + x63 với mọi x ∈ R, trong đó a là hằng số tùy ý

Ví dụ 2.4.4 Tìm tất cả các hàm số f : R → R liên tục trên R và thỏamãn



f



x+ y2

2

= f (x) f (y) , ∀x, y ∈ R (2.25)Giải Ta thấy f (x) ≡ 0 là một nghiệm của phương trình

Nếu f (x) 6= 0 thì tồn tại x0 ∈ R sao cho f (x0) 6= 0 Ta có:



=

q

Ta định nghĩa hàm số g(x) như sau:

Và hàm g liên tục trên R nên theo kết quả Ví dụ 2.3.5, ta nhận được

g(x) = ax + b Từ đây suy ra f (x) = eax+b, với a, b là các số thực tùy ý.Thử lại, ta có f (x) = eax+b,∀x ∈ R thỏa mãn phương trình (2.25).Xét trường hợp: f (x) < 0 với mọi x ∈ R Khi đó, −f (x) > 0 với mọi

x ∈ R Từ chứng minh phần trên, ta suy ra f (x) = −eax+b Trong trườnghợp này, hàm f cũng thỏa mãn phương trình (2.25)

Vậy, nghiệm của phương trình (2.25) là

Vì f liên tục và cộng tính trên R nên f (x) = kx, ∀x ∈ R (k tùy ý).Thay f(x) = kx vào (2.27) ta được: f (x + f (y)) = f (x + ky) =

Ví dụ 2.4.6 (IMC 2010) Tìm tất cả các hàm số f : R → R liên tục trên

f (u + v) = f (2xy + y)(2.30)= f (2xy) + f (y) = f (u) + f (v)

Vậy f (u + v) = f (u) + f (v) , ∀u, v ∈ R Theo phương trình hàmCauchy, suy ra f (x) = ax, ∀x ∈ R, a là hằng số bất kỳ

CHƯƠNG3 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM

HAI BIẾN

Trong chương này, luận văn trình bày một số phương pháp cơ bản,thường được sử dụng khi giải các phương trình hàm Ở đây, luận văn chỉtập trung vào các phương pháp thế biến, phương pháp sử dụng tính chấtđối xứng giữa các biến, phương pháp dựa vào giá trị của biến số và giá trịhàm số, phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số và phương pháp

sử dụng tính đơn ánh, toàn ánh và song ánh của hàm số Các kết quả củachương này được tác giả tham khảo trong các tài liêu:[1, 2, 3, 4, 5,9].3.1 PHƯƠNG PHÁP THẾ BIẾN

Phương pháp thế biến là phương pháp thường hay sử dụng khi giải cácphương trình hàm, đặc biệt là phương trình hàm hai biến Nội dung cơbản của phương pháp này là ta thay các biến bởi các giá trị đặc biệt hoặc

sử dụng tính chất đối xứng của các biến để có thể dự đoán được hàm cầntìm Điều quan trọng phải lưu ý là giá trị các biến này phải thuộc tập xácđịnh của hàm số và phải thỏa mãn các điều kiện ràng buộc giữa hai biếnnếu có

Chú ý 3.1.1 Đối với phương trình hàm với cặp biến tự do x, y thì phépthế giá trị đặc biệt được sử dụng nhiều nhất Khi thế các giá trị đặc biệtvào phương trình hàm đã cho ta có thể thu được các hệ quả, sau đó ta kếtnối các hệ quả lại với nhau để thu được dạng hàm số f (x) Khi tìm đượcbiểu thức của hàm số, ta phải thử lại rồi mới kết luận

Một số phép thế giá trị đặc biệt sau thường được sử dụng:

* Các phép thế thường sử dụng là cho x = y = 0, x = y = ±1, x =

0, y = 0, x = 1, y = 1, x = ±y, x = ±f (y) ,