Bt chương 1

Bài tập

1 Tập hợp

1.1 Cho A, B, C là các tập bất kỳ CMR

a) A  B  A  C  B  C,

A  C  B  C, A – C  B – C b) A  B  A  B = A và A  B = B

c) A  (B – C) = A  B – A  C

d) A  B = A  C  A  B = A  C

e) A  B = A  C, B  C = B  A,

C  A = C  B  A = B = C

1.2 Cho f : X  Y CMR

a)  A, B  X, f(A  B)  f(A)  f(B)

f(A  B) = f(A)  f(B) b)  A, B  Y, f–1(A  B) = f–1(A)  f–1(B)

f–1(A  B) = f–1(A)  f–1(B)

1.3 Cho f : E  F, g : F  G, h : G  E CMR

a) hogof và gofoh là toàn ánh

fohog là đơn ánh  f, g, h là song ánh b) hogof và gofoh là đơn ánh

fohog là toàn ánh  f, g, h là song ánh

1.4 Cho A, B  P(E)

f : P(E)  P(E)  P(E), X  (X  A, X  B) CMR

a) f là đơn ánh  A  B = E

b) f là toàn ánh  A  B = 

2 Hàm số

1.5 Tìm hàm f : I  ℝ biết rằng

a)  x  0, f(x + ) = x2 +

b)  x > 0, f( ) = x + √1 +

c)  x  ℝ, xf(x) + f(1 – x) = x3 + 1

d)  x, y  ℝ, f(x + y2) = f(x2) + f(y)

e) f = g–1 với g(x) = 1 + 2sin

f) f = go og (n lần) với g(x) =

1.6 Khảo sát các tính chất sơ cấp của hàm số

a) Tìm miền xác định, miền giá trị

) y = ln(1 – 2cosx) ) y = arcsin

b) Tìm ảnh của khoảng I qua ánh xạ f

) y = , I = (0, 1) ) y = √ − , I = [0, 1] c) Khảo sát tính đối xứng

) y = sinx – cosx ) y = ln(x + √1 + ) d) Khảo sát tính tuần hoàn

) y = | sinx | + | cosx | ) y = sin(x2)

) y = tan – tan ) y = x – E(x)

e) Vẽ đồ thị của hàm số

) y = x2 – 6| x | + 9 ) y = 2| | − 1

) y = arccos(cos3x) ) y = cosx + | sinx |

1.7 Hàm lượng giác ngược

a) Khảo sát và vẽ đồ thị

) y = arctan ) y = arccoss(4x3 – 3x)

) y = arcsin

√ ) y = sin(3arctanx) b) Giải phương trình

) arccosx = arcsin2x

) 2arctan + arcsin(2x – 1) =

) arcsin = arctanx

) arcsin2x = arcsinx + arcsin(x√2)

1.8 Xác định bậc của vô cùng bé và vô cùng lớn

a)  = tanx – sinx  = 1 + √ − 1

 = 2x – cosx  = sin(shx) – sh(sinx)

 = (1 + sinx)x – (1 + x)sinx

 Tìm k sao cho (x) ~ .xk

 f(x) = tan(x) f(0) = 0

f’(x) = 1 + tan2(x) f’(0) = 1

f”(x) = 2tan(x)( 1 + tan2(x)) f”(0) = 0

f(x) = f(0) + ( )

+ ( )( )

tan(x) = + + ( )

  = 1 + √ − 1 = 1 + − 1 ~

b) A = √ + + 5 + | x | B = √ − + √

E = xln(x + 1) – (x + 1)lnx

1.9 Tính các giới hạn sau đây

√

√ : m, n  ℕ d) √ √

k) (1 + tan ) l)

m) sin √ + 1 − sin √ n) ln

q) : a, b > 0 r) ( )

1.10 Tìm hàm f : I  ℝ trong các trường hợp sau đây

a) f : ℝ  ℝ liên tục tại 0 và 1 : f(x2) = f(x)

b) f : ℝ  ℝ liên tục tại –1 : f(2x + 1) = f(x)

c) f : ℝ  ℝ liên tục : f(x + y) = f(x) + f(y) + xy

d) f : ℝ∗  ℝ liên tục : f(x  y) = f(x) + f(y)

e) f : ℝ  ℝ liên tục : f(x + y) = f(x)  f(y)

1.11 Chứng minh rằng

a) Cho f : [0, 1]  [0, 1] liên tục

CMR  a  [0, 1] : f(a) = a

b) Cho f : ℝ  ℝ liên tục và tuần hoàn

CMR f bị chặn

c) Cho f : ℝ  ℝ liên tục và f(–) = f(+)

CMR f thì đạt trị bé nhất

d) Cho f, g : [a, b]  ℝ liên tục : f(x ) > g(x)

CMR  m > 0 : f(x) > g(x) + m

e) Cho f : I  ℝ liên tục và tập f(I) là hữu hạn

CMR f là hàm hằng

f) Cho f : I  ℝ liên tục và đơn ánh

CMR f là hàm đơn điệu

1.12 Tìm giá trị của tham số để hàm liên tục trên toàn

tập số thực

a) y = − 1 ≤ 1

− 2 > 1 b) y =

+ 1 ≤ sin + >

Giải

 x < , f(x) = a.x + 1

x > , f(x) = sin(x) + b

 x0 =

f(x) = ( + 1) = a + 1

f( ) = a + 1

f(x) = (sin + ) = 1+ b

f liên tục tại  a + 1 = 1 + b

 Để f(x)

c) y = sin ≠ 0

= 0 d) y =

≤ 1 + > 1

1.13 Phân loại các điểm gián đoạn và thác triển liên tục

a) y = ln

Giải

 Mxd

x  0, 1 – x  0, > 0  x  0, x  1, –1 < x < 1 D(f) = (–1, 0)  (0, 1)

 a = –1, f(–1+0) = +

a = +1, f(1–0) = +

 a = 0

→ f(x) =

=

→ = 2 = f(0) Điểm a = 0 là gd loại 1 và bỏ qua được

b) y =

c) y = 3

Giải

 Mxd  x  2

 a = –2

f(x) = 3 = +

f(x) = 3 = 0

 a = +2

f(x) = 3 = +

f(x) = 3 = 0

d) y = (x +1)arctan

e) y = | |

( ) f) y =

g) y = h) y = 2 − 1 ≤− 1 1 < < 1≤ 4

1 = 1

1.14 Cho phương trình xtanx = 1 CMR

a)  n  ℕ, PT có một nghiệm xn  (n, n + )

b) Suy ra hệ thức tương đương : xn – n ~

1.15 Cho phương trình (x – n)lnn = xln(x – n) CMR a)  n  ℕ, PT có một nghiệm xn  (n + 1, n +2)

b) Suy ra hệ thức tương đương : xn – n – 1 ~

Bài giải

Số phức

Đa thức

2.1 Phân tích phân thức

1) F =

) 2 X )(

1 X (

X



a

 + X 2

b



Giải

 (X – 1)  : X = 1  a = (X – 1)F(1) = – 1

 (X – 2) : X = 2  b = (X – 2)F(2) = 2

2) F = 2 2 2

) 1 X

( ) 1 X (

X





Giải

 Phân tích

2 2

2

) 1 X

( ) 1 X

(

X



A

 + (X 1)2

B

E DX

2



 + 2 2

) 1 X

(

G FX





 Cân bằng hai vế

X = A(X – 1)(X2 + 1)2 + B(X2 + 1)2

+ (DX + E)(X – 1)2(X2 + 1) + (FX + G)(X – 1)2

X = 1  B =

X = i  i = 2F – 2Gi  F = 0 và G = −

 Đạo hàm hai vế

1 = A(X2 + 1)2 + B4X(X2 + 1) + (X – 1)( )

1 = (DX + E)2X(X – 1)2 + + (X2 + 1)( )

X = 1  1 = 4A + 2  A = −

X = i  1 = (4E + 1) + (4D – )i  D = và E = 0

Hàm số

3.1 Khảo sát hàm số

1) Miền xác định y = ln(1 – 2cosx)

 D(f) : 1 – 2cos(x) > 0  cos(x) <

2) Tính đối xứng y = ln

 y(–x) = ln = − ln = –y(–x)

3) Tính tuần hoàn y = tan − tan

 tan : T1 = 2 và tan : T2 = 3

 y : T = 6

Giới hạn

4.1 Tính các giới hạn

1) lim

→

Giải

 Gọi ℓ Đổi biến

t = x – 1  +0  x = t + 1

ℓ =

 Dùng công thức

(1 + u)m ~

→ 1 + mu

√ = (1 + ) ~

→ 1 +

√ − 1 = √2 + = (2 ) 1 + ~

→ (2 ) (1 + )

 Thay

ℓ = lim

=

√

2) lim

Giải

 t = x – 1  0  x = t + 1

tan x ~ x , cot x ~

tan = tan + = − cot ~

→ −

sin = sin ~

→

 ℓ = lim

→ − = −

3) lim

Giải

 u =

→

⎯⎯⎯ 1, v = cot x

→

⎯⎯⎯ + : dạng 1

 sinx ~ x – x3

v(u – 1) =

0

→

⎯⎯⎯ 0

 ℓ = → ( )

= e0

4) lim

Giải



 ℓ = lim

4.2 Tính các giới hạn

1) lim

→ ( − tan )

Giải

 u = e − tan(x) ~ (1 + 4 ) −

→

⎯⎯ 1

v =

( ) ~

→

⎯⎯  : dạng 1

v(u – 1) ~ 3

→

⎯⎯ 1

 ℓ = e1

2) lim

Giải

 u =

( )

→

⎯⎯⎯⎯ 1, v = 3x.ln2x

→

⎯⎯⎯⎯ + : dạng 1

 v(u – 1) = 3 ln 2 ( )

= −3

( )ln 1 +

( ) ⎯⎯⎯⎯ 1, ln 1 +→ ~

v(u – 1) ~ −3 1

→

⎯⎯⎯⎯ –3

 ℓ = e–3

3) lim

→

Giải

 u = (1 + )

ln(1 + )~

u = ( ) ~ ~ (1 − )

 ℓ = lim

4) lim

Giải

 u = xlnx , v = (ln x)x

→

⎯⎯⎯⎯ +

 y =

( )

ln y(x) = (ln x)2 – ln x.ln(ln x) = ln2 x (1 – ( ))

lim

→

→ ⎯⎯⎯⎯ 0 →

ln y(x) = ln2 x (1 – ( ))

→

⎯⎯⎯⎯ + ?

 ℓ = e+ = +

5) lim

Giải

 t = x – 1  0  x = 1 + t

 ln(1 + t) ~ −

( ) ~

4.3 Tính các giới hạn

1) lim

→

√

Giải

 1 – √ 4 ~ 1 – 1 − (4 )

~ 1 – 1 − 8 = 4x2 arcsin2 x ~ x2

 ℓ = 4

2) lim

Giải

0 1 + +

(arcsin x)2 ~ +

0 +

x3 sin x ~ x4

 u ~ 1 + x4

→

⎯⎯ 1, v ~

→

⎯⎯ 

v(u – 1) ~

→

⎯⎯

 ℓ =

Liên tục

5.1 Tìm A để f(x) = − 1 ≤ 1

+ > 1 liên tục trên ℝ

Giải

 x < 1 : f(x) = x2 – 1 liên tục

x > 1 : f(x) = x + A liên tục

 a = 1, f(1) = 0

f(1–0) = lim

→ (x2 – 1) = 0 = f(1)

f(1+0) = lim

→ (x + A) = 1 + A Hàm f liên tục tại 1  0 = 1 + A  A = –1

 Vậy A = –1 thì hàm f liên tục trên tập ℝ

5.2 Khảo sát tính liên tục f(x) =

| |

≠ ±1

− = ±1

Giải

 Với a  1, f(x) = | | là HSC liên tục

 Xét tại a = –1

f(x) = =

lim

→ ( ) = lim

→ = − = f(–1) Hàm f liên tục

 Xét tại a = 1

f(x) = = −

lim

→ ( ) = lim

→ − = − = f(1) Hàm f liên tục



5.3 Tính chất hàm liên tục

1) Cho f : ℝ  ℝ liên tục sao cho f(x)  ℚ CMR

f(x) = const

Giải

 Phản chứng :

 x < y  ℝ và f(x) < f(y)

  f(x) <   ℝ – ℚ < f(y)   x < c < y : f(c) = 

!

2) Cho f : ℝ  ℝ liên tục và bị chặn CMR f(x) = 2x

có nghiệm

Giải

  m, M :  x  ℝ, m  f(x)  M

 g(x) = f(x) – 2x liên tục trên tập ℝ

g( ) = f( ) – 2  m – m  0

g( ) = f( ) – 2  M – M  0

 Theo

  c  : g(c) = f(c) – 2.c = 0

5.4 Phân loại điểm gián đoạn

1) f(x) = ( )

2) f(x) =

3) f(x) = ( )

Giải

1)

 D(f) : x  + k

 a = + k

t = x – ( + k)  0  x = t + + k

sin 2x = sin(2t +  + k2) = – sin 2t

cos x = cos (t + + k) = – sin(t + k) = (–1)k+1 sin t

f(x) =

→

– ( ) = 2(–1)k

Điểm a là gián đoạn loại 1

3)

 D(f) : x  + k

 4x – 5 = 0  x = , k = 1

Xét tại a = + 

t = x –  0  x = t +

(4x – 5)2 = 16t2

1 – sin 2x = 1 – sin(2t + ) = 1 – cos 2t

→

f(x) =

Điểm a = là gián đoạn bỏ qua được

 Xét tại b = + k, k  1

→

f(x) = 

Điểm b = + k, k  1 là gián đoạn loại 2