Bt chương 4

Tìm hình bao của họ... Tìm hình bao của họ đường thẳng IN f Cho Pcost, 0 và Q0, sint Tìm hình bao của các đường trung trực của PQ 18.

Bài tập chương 4

1 Tìm miền xác định của hàm f(x, y)

e arccos f) arcsin + (1 – y)x

2 Biến đổi biểu thức hàm

a) Cho f = (x > 0) Tìm f(x)

b) Cho z = x + y + f(x – y) và z = x2 khi y = 0

Tìm f(x) và z

c) Cho f(x + y, ) = x2 – y2 Tìm f(x, y)

d) Cho f(x, y) = x2 + y2, g(x, y) = x2 – y2

Tìm f(g(x, y), y2) và g(f(x, y), g(x, y))

3 Khảo sát giới hạn của hàm f(x, y) tại điểm (0, 0)

e)

4 Khảo sát tính liên tục của hàm f(x, y)

0 + > 1 b)

sin + sin ≠ 0

0 ≠ 0

c) | | ≤ | |

| | > | | d)

( ) ( , ) ≠ (0,0)

0 ( , ) = (0,0)

e) ( , ) ≠ (0,0)

0 ( , ) = (0,0)

f) ( ) ( , ) ≠ (0,0)

0 ( , ) = (0,0)

5 Tính các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2

a) z = x5 + y5 – 5x3y3 b) z = xy +

e) z = ln(x + + ) f) z = arcsin

6 Tính đạo hàm riêng tại một điểm

a) Cho f(x, y) = xyesin(xy) + (y – 1)arccos

Tính tại điểm (x, 1)

b) Cho f(x, y) = x3y + xy2 – 2x + 3y

Tính , , , và tại điểm (3, 2)

c) Cho f(x, y) = ∫

Tính , , , và tại điểm (1, 2)

d) Cho f(x, y) =

Tính , , và tại điểm (0, 1)

7 Khảo sát tính chất lớp Ck của hàm f(x, y)

a) ln(x + y ) ( , ) ≠ (0,0)

0 ( , ) = (0,0)

b)

( , ) ≠ (0,0)

0 ( , ) = (0,0)

c) ( , ) ≠ (0,0)

0 ( , ) = (0,0) d)

2 + 4

( , ) ≠ (0,0)

0 ( , ) = (0,0)

e) ( , ) ≠ (0,0)

0 ( , ) = (0,0)

f) ( , ) ≠ (0,0)

0 ( , ) = (0,0)

g) ( , ) ≠ (0,0)

0 ( , ) = (0,0)

h) ≠

0 =

8 Tính vi phân cấp 1 , cấp 2

a) z = x3 + 3x2y – y3 b) z = −

c) z = + 2 d) z =

e) z = (x + y)exy f) z = xln

9 Tính đạo hàm cấp 1 , cấp 2 của hàm hợp

a) z = e2x–3y với x = tant, y = t2 – t

b) z = ln(ex + ey) với y = x3 + x

c) z = u2lnv với u = , v = x2 + y2

d) z = u2v – uv2 với u = xsiny, v = ycosx

f) z = f(xy, x2 – y2) với f hàm lớp C2

g) z = f(xsiny, ycosx)

g) z = f( , x2 – 3y)

h) z = f(ln(x2 – y2), xy3)

10 Tính đạo hàm cấp 1 , cấp 2 của hàm ẩn

a) x2e2y – y2e2x = 0 b) ysinx – cos(x – y) = 0 c) x – y + arctany = 0 d) z3 – 2xy + y2 – 4 = 0 e) zln(x + z) = f) yz = arctan(xz)

g) f(x + y + z, x2 + y2 + z2) = 0

h) f(yz, exz) = 0 với hàm f thuộc lớp C2

11 Tìm vi phân cấp 1 , cấp 2 của hàm ẩn

a) yz = arctan(xz) b) xz – ez/y + x3 + y3 = 0

+ 2 + 3 = 1

+ + = 0 f)

= 3 − 2 +

= + +

g) x = ucosv, y = eu–v và z = uv

h) x = eu+v, y = usinv và z = v

i) x = u + v, y = u2 +v2, z = u3 + v3

j) x = acosuchv, y = bsinuchv, z = cshv

12 Biến đổi phương trình

a) (1 – x2)y” – xy’ = 0 với x = cost

b) x4y” + 2x3y’ – y = 0 với x =

c) y” + 2yy’2 = 0 với x = x(y)

d) 3y”2 – y’y”’ – y”y’2 = 0 với x = x(y)

e) (xy’ – y)2 = 2xy(1 – y’2) với x = rcos, y = rsin

f) w = xzx + yzy với x = rcos, y = rsin

g) x2 – y2 = 0 với u = xy, v =

h) (x + y) – (x – y) = 0

với u = ln + , v = arctan( )

13 Chứng minh rằng

a) z = xy + x thỏa phương trình x + y = xy + z b) z = z(x, y) với x = ucosu, y = usinv thỏa phương

trình y – x = –

c) z = z(x, y) với (cx – az, cy – bz) = 0 với  thuộc lớp C1 thỏa phương trình a + b = c

d) z = x(x + y) + y(x + y) với ,  thuộc lớp C2 thỏa phương trình – 2 + = 0

e) z = (xy) + ( ) với ,  thuộc lớp C2 thỏa phương

trình x2 – y2 + x – y = 0

f) u = f(x) + g( )

Tính A = xy + y2 + x + y

Giải

 u’x = f(x) + f’(x) − g’( )

u’y = − f(x) + g’( )

u”xy = − f(x) + − f’(x) − g’( ) − g”( )

u”yy = f(x) + g”( )

14 Tìm cực trị địa phương

a) z = 4xy + + với x, y > 0

b) z = xy2 (1 – y) với x, y > 0

c) z = x3 + xy2 – x2y – y3 d) z = 2x4 – 3x2y + y2

e) z = xyln(x2 + y2) f) z = (2x2 + y2)

g) z = z(x, y) xác định bởi phương trình

2x2 + 2y2 + z2 + 8xy – z – 6 = 0



= − = 0

= − = 0



= 4 + 8 = 0

= 4 + 8 = 0

= 2 − 1 ≠ 0

 x = y = 0, z(0, 0) = {–2, 3}

 z = z(x, y)

4x + 2z.z’x + 8y – z’x = 0

4 + 2z’x2 + 2z.z”xx – z”xx = 0  =

2z’yz’x + 2z.z”xy + 8 – z”xy = 0  = 4y + 2z.z’y + 8x – z’y = 0

4 + 2z’y2 + 2z.z”yy – z”yy = 0  =

 Tại A(0, 0, –2) : z’x(0, 0) = z’y(0, 0) = 0

 = ,  = ,  = ,  = 2 –  > 0

14 Tìm cực trị có điều kiện

a) z = xy2 với x + 2y = 1 b) z = + với x + y = 2

c) z = x + 2y với x2 + y2 = 1

d) u = 2x + y – 2z với x2 + y2 + z2 = 36

e) u = xy2z3 với x + 2y + 3z = 12

f) u = xyz với x + y + z = 4, xy + yz + zx = 5

15 Tìm trị lớn nhất, bé nhất

a) z = x2 – xy + y2 trên miền | x | + | y |  1

b) z = x3 + y3 – 3xy trên miền 0  x  2, –1  y  2

c) z = x2 + y2 – 12x – 16y trên miền x2 + y2  25

d) z = (2x2 + 3y2) trên miền x2 + y2  1

e) u = x + y + z trên miền x2 + y2  z  1

16 Lập phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến

a) x = t – t3, y = t2 – t4 , t = 1

b) x = t2 + , y = t + , t = –1

c) x = , y = , t = 0 d) y = + tại x = 2

e) y3 = x2(x – 6) , A(2, –2) f) y2 = 2px , A(1, 2p) g) x2y2 + x + y – 1 = 0 tại A(0, 1)

g) r = sin3 tại  = h) r = 1 + 2cos tại  =

i) r =cos + cos2 tại  = 0

17 Tìm hình bao của họ đường cong phẳng

a) x – ysin – cos = 0 với   ℝ

b) x + y + 1 = 0 với ,   ℝ sao cho 2 + 2 = 1 c) Cho (H ) : xy = 1 và các điểm A, B thuộc (H) sao

cho hoành độ điểm này bằng hai lần hoành độ điểm kia Tìm hình bao của họ đường thẳng (AB)

d) Cho a > 0, b > 0 và các điểm A(a, b), P(x, 0) và Q(0, y) sao cho AP vuông góc AQ Tìm hình bao của họ

đường thẳng (PQ)

e) Cho (P) : y2 = 2px và điểm M thuộc (P) có hình

chiếu lên Oy là N và I là trung điểm OM Tìm hình bao của họ đường thẳng (IN)

f) Cho P(cost, 0) và Q(0, sint) Tìm hình bao của các đường trung trực của PQ

18 Tìm dạng chính tắc của các mặt bậc hai sau đây

a) 7x2 + 4xy – 4xz + 4y2 – 2yz + 4z2

– 2x + 8y – 14z + 16 = 0 b) 11x2 –16xy – 4xz + 5y2 – 20yz + 2z2 +

+ 30x – 66y + 24z + 45 = 0 c) x2 – 2xy + y2 + 2z2 + 2x – 5 = 0

d) 2(x + y)(y – z) – 3x = 0

e) xy + yz = 1

f) xy + xz + yz + 2y + 1 = 0

19 Lập phương trình pháp tuyến và tiếp diện

a) z = y2 (x3 – 1) tại A(0, 1)

b) z = 2x2 + 4y2 tại A(1, 1)

c) z3 – xy = 0 tại A(1, 1, 1)

d) x2 z2 – (x2 + y2) = 0 tại A(1, 0, 1)

e) x2 + 4y2 + 2z2 = 6 tại A(0, 1, 1)

f) x2 – y2 + 2z2 = –1 tại A(1, 2, 1)

g) y2 (y2 + z2) = (x2 – 1)2 tại A(1, 0, 1)

h) xy + yz + zx + xyz = 0 tại A(1, 1, 0)

i) x = u + v, y = uv, z = u3 + v3 tại u = 1, v = 0

j) x = u + , y = v + , z = + tại u =1, v = 1

k) x = cosu – vsinu, y = sinu + vcosu, z = u(u + 2v)

tại u = 0, v = 1

l) x = 3u + v, y = 2u2 + 2uv, z = u3v tại u = 1, v = – 1

20 Lập phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến

a) x = t4, y = t + t3, z = t2 tại t = 1

b) x = t3, y = (t + 1)3, z = 3t tại t = –1

c) x = t, y = , z = √2 lnt tại t = 1

d) x = et cost, y = et sint, z = et tại t = 0

e) x =cost + sin2t, y = sint(1 – cost), z = – cost , t = 0 f) x = t – sint, y = 1 – cost, z = 4cos tại t = 

g) z = x2 – y2, y = x tại A(1, 1, 0)

h) x2 + y2 + z2 = 9, x2 – y2 = 3 tại A(1, 1, 2)

i) x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 2x tại A(1, –1, √2)

j) x2 + y2 = z, x2 + y2 = 2x tại A(1, –1, 2)

k) y2 = x, x2 = z tại A(1, –1, 1)

l) x2 + y2 + z2 = 4, x + y – z = 0 tại A(0, √2, √2 )

Bài giải

1 Đạo hàm và vi phân

1) f(x, y) = arctan( ) Tính df

Giải

 df = f’x dx + f’y dy

 f’x = =

f’y =

2) Tính z’x, z’y biết xyz = x + y + z

Giải

 f = xyz – x – y – z = 0

f’x = , f’y = , f’z = ,

 f’z = xy – 1  0

= − , = −

 d(xyz = x + y + z)

yzdx + zxdy + xydz = dx + dy + dz

(xy – 1)dz = (1 – yz)dx + (1 – zx)dy

 xy – 1  0

dz = A.dx + B.dy

3) Tính z’x, z’y biết z = x + arctan( )

Giải

 f = z – x – arctan( ) = 0

 d( z = x + arctan( ) )

dz = dx + d( ), u =

= dx + (u’xdx + u’ydy + u’zdz)

= dx + (

( ) dx + dy +

( ) dz )

 dz = A.dx + B.dy

4) Tính y’(x), z’(x) biết x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = 1

Giải

 y – z  0 :

dy = A.dx, dz = B.dx

5) Tính u’x, u’y biết u = , zez = xex + yey

Giải

 d(zez = xex + yey)

(1 + z)ezdz = (1 + x)exdx + (1 + y)eydy

1 + z  0

 du = u’xdx + u’ydy + u’zdz

= dx −

( ) dy +

+

 du = A.dx + B.dy

( )

= ( )

( )( )

u’y =

6) Tính z’(x) biết z = x2 + y2, x2 – xy + y2 = 1

Giải

 dy = dx, dz = A.dx

 y’(x) = − , f = x2 – xy + y2 – 1 = 0

z’(x) = 2x + 2y.y’(x)

2 Phương trình hàm

1) F(x – z, y – z) = 0, F’u + F’v  0

CMR z’x + z’y = 1

Giải

 u = x – z, v = y – z

dF = F’udu + F’vdv = F’u(dx – dz) + F’v(dy – dz) = 0

 dz = A.dx + B.dy

 A + B = 1

2) –x + y + z = (x2 + y2 + z2)

CMR (y – z)z’x – (z + x)z’y = x + y

Giải

 d( –x + y + z = (v = x2 + y2 + z2) )

–dx + dy + dz = ’(v)(2xdx + 2ydy + 2zdz)

 dz = A.dx + B.dy



3) u = f(x) + g( )

Tính A = + + +

Giải

 f, g  C2, v =

 u’x = ( ) + ( ) − ′( )

u’y = − ( ) + ′( )

u”yy = ( ) + ′′( )

 A = = 0

4) Cho z(u, v) với u = x – y, v = 2x + 3y sao cho z’x + z’y = 5 Tìm z(x, y)

Giải

 z’x = z’uu’x + z’vv’x = z’u + 2z’v

z’y = z’uu’y + z’vv’y = –z’u + 3z’v

z’x + z’y = 5z’v = 5

 z’v = 1

z = ∫ = v + C(u) = 2x + 3y + C(x – y)

5) Cho z’x = 2x + y2 và z(x, x2) = 1

Tìm z(x, y)

Giải

 z(x, y) = ∫ ′ = ∫(2 + )

= x2 + xy2 + C(y)

 z(x, x2) = x2 + x(x2)2 + C(x2) = 1

 C(x2) = 1 – x2 – x5

 y = x2 : C(y) = 1 – y –

6) Cho z”xx = 2, z(0, y) = 1, z’x(0, y) = y

Tìm z(x, y)

Giải

 z’x(x, y) =  z”xx dx =  2dx = 2x + C(y)

z’x(0, y) = 0 + C(y) = y

 z(x, y) =  z’x dx =  (2x + y)dx = x2 + xy + D(y) z(0, y) = 0 + 0 + D(y) = 1

7) Cho u = + , f và g có DH cấp 2

Giải

 u’y = ( ) + ′( ) , v =

u”yy = ′( ) + ′′( )

u”xy = u”yx = − ( ) − ( ) − ′′( )

3 Cực trị

 Cực trị địa phương

1) z = x2y + y3 – 4x – 5y – 1

Giải

a)

 z = x2y + y3 – 4x – 5y – 1  C1(D = ℝ2)

 = 2 − 4 = 0

= ±2

= ±1 ,

= ±1

= ±2 b)

 z”xx = 2y, z”xy = 2x, z”yy = 2y,  = 4(x2 – y2)

 Tại A(x = 2, y = 1) :  = 4(4 – 1) > 0

A không phải cực trị

 Tại B1(x = 1, y = 2) :  = 4(1 – 4) < 0,  = 4 > 0

B1 là CT và fmin = f(1, 2) =

 Tại B2(x = –1, y = –2) :  = 4(1 – 4) < 0,  = –4 < 0

B2 là CD và fmax = f(–1, –2) =

2) z = x2 + xy + y2 – 4lnx – 10lny

Giải

a)

 f  C1(D : x > 0, y > 0)

= 0 

=

=

3) z = (5 – 2x + y)

Giải

 f  C1(D = ℝ2)

 f’x = (– 4x2 + 2xy + 10x – 2)

 Cực trị có điều kiện

4) z = lnx + 3lny với x + 3y = 1

Giải

 x + 3y = 1, x > 0, y > 0  x = 1 – 3y

 g(y) = ln(1 – 3y) + 3ln(y) , 0 < y <

( ) = 0  y =

y 0 g’ + 0 –

g

 Hàm g(y) đạt cực đại tại y = nên f(x, y) đạt cực đại

có điều kiện tại x = 1 – , y =

fmax = f( , ) =

5) z = 3x + y – 1 với 9x2 + 4y2 = 5

Giải

 9x2 + 4y2 = 5  + = 1

x = √ cost, y = √ sint, t  [0, 2]

 g(t) = = √5cos t + √ sin t – 1, t  [0, 2]

g’(t) = −√5sin t + √ cos t = 0

y 0  + 2

g’ + 0 – 0 +

g

 g(t) CD tại t = , CT tại t = +

t =  : y = x, 9x2 + 4( x)2 = 5

 L = (3x + y – 1) + (9x2 + 4y2 – 5)

= 3 + 18x = 0

= 1 + 8y = 0

 = 9x2 + 4y2 – 5 = 0



⎩

⎪

⎨

⎪

⎧ = − l

= −

l

 = ±

 L”xx = 18, L”xy = 0, L”yy = 8

d2L = 2(9dx2 + 4dy2)

d = 9xdx + 4ydy = 0

 Tại  = , d2L > 0 : CT

 Tại  = − , d2L < 0 : CD

6) z = cos2x + cos2y với x – y =

Giải

 y = x –

g(x) = 1 + cos(2x) + cos(2x – )

 Trị lớn nhất, bé nhất

7) f(x, y) = xy2, D : x2 + y2  3

Giải

 x2 + y2 < 3

= = 0

= 2 = 0 

≤ 3

= 0

f(x, 0) = 0

 x2 + y2 = 3  y2 = 3 – x2 , –√3 < x < √3 g(x) = x(3 – x2) = 3x – x3,

g’(x) = 3 – 3x2 = 0  x =

f(x = 1, y = √2) = 2

 TLN = max{ 0, 2 } = 2 = f(1, √2)

TBN = min{ 0, 2 } = –2 = f(–1, √2)

8) z = xy2(4 – x – y), D : x = 0, y = 0, x + y = 6

Giải

 D :

 f(x, y) = 4xy2 – x2y2 – xy3

f’x = = 0

f’y = = 0

 O(0, 0), A(6, 0), B(0, 6)

 x = 0, 0 < y < 6

y =

y = 6 – x

4 Hình vi phân

 Pháp tuyến và tiếp diện

1) z = arctan( ), A(1, –1, − )

Giải

 ⃗ = (–z’x, –z’y, 1)

z’x =

z’y =

 A(1, –1, − )

 (D) = A + vect( ⃗)

(P) = A + ⃗

2) x2 + 3y2 – 2z2 + 2xy + yz + zx + 3 = 0, A(0, 1, 2)

Giải

 ⃗ = (f’x, f’y, f’z)

= (2x + 2y + z, 6y + 2x + z, –4z + y + x)

 A(0, 1, 2), ⃗ = (0, 0, 0)

3) 2 + 2 = 8, A(2, 2, 1)

Giải

 f = u + v, u = 2 , v = 2

f’x = u’x + v’x =

 Tiếp tuyến và pháp diện

4) x = 2sin2t, y = sint cost, z = cos2t, t =

Giải

 ⃗ = (x’(t), y’(t), z’(t))

 A(1, , )

2sin2t = 1, sint cost = , cos2t =

 t =

 (D) = A + vect( ⃗)

(P) = A + ⃗

5) x2 + y2 + z2 = 6, x – y + z = 0, A(1, 2, 1)

Giải

 (C) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 – 6 = 0

g(x, y, z) = x – y + z = 0

⃗ = (f’x, f’y, f’z)  (g’x, g’y, g’z)

 A(1, 2, 1)

grad(f) = (2x, 2y, 2z) = (2, 4, 2)

grad(g) = (1, -1, 1)

1 −1 1 = (6, 0, -6) // (1, 0, -1)